【高考调研】2014届高考数学总复习 第九章 解析几何 课时作业67（含解析）理 新人教A版

1、PAGE PAGE 14课时作业(六十七)1与直线4xy30平行的抛物线y2x2的切线方程是()A4xy10B4xy10C4xy20D4xy20答案C解析y4x4，x1，y2，过(1,2)斜率为4的直线为y24(x1)，即4xy20.2(2013石家庄质检)已知抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，若|AB|10，P为抛物线的准线上一点，则ABP的面积为()A20B25C30D50答案B解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质属于基础知识、基本运算的考查抛物线y22px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，则|

2、AB|2p，|AB|10，所以抛物线方程为y210 x，P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p5，则ABP的面积为eq f(1,2)10525.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若eq o(OA,sup10()eq o(AF,sup10()4，则点A的坐标为()A(2，2eq r(2)B(1，2)C(1,2)D(2,2eq r(2)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，eq o(OA,sup10()(x0，y0)，eq o(AF,sup10()(1x0，y0)，eq o(OA,sup10()eq o(AF,sup10()x0(1x0)yeq oal(2

3、,0)4.yeq oal(2,0)4x0，x0 xeq oal(2,0)4x040 xeq oal(2,0)3x040，x11，x24(舍)x01，y02.4已知坐标原点为O，A、B为抛物线y24x上异于O的两点，且eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()0，则|eq o(AB,sup10()|的最小值为()A4B8C16D64答案B解析由于eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()0，设直线OA、OB的方程为ykx、yeq f(1,k)x，分别与抛物线方程联立求得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,k2)，f(4,k)，B(4k2，4k)

4、，|AB|eq r(blc(rc)(avs4alco1(4k2f(4,k2)2blc(rc)(avs4alco1(4kf(4,k)2)4eq r(k4f(1,k4)k2f(1,k2)8，故选B.5已知抛物线C的方程为x2eq f(1,2)y，过点A(0，1)和点(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(r(2),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，)C(，2eq r(2)(2eq r(2)，)D(，eq r(2)(eq r(2)，)答案D解析如下图，设过A的直线方程为ykx1

5、，与抛物线方程联立得x2eq f(1,2)kxeq f(1,2)0，eq f(1,4)k220，k2eq r(2)，求得过点A的抛物线的切线与y3的交点为(eq r(2)，3)，则当过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(，eq r(2)(eq r(2)，)，故选D.6长为l(l1)的线段AB的两个端点在抛物线y2x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是()A.eq f(l,2)B.eq f(l2,2)C.eq f(l,4)D.eq f(l2,4)答案D解析由l0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R

6、、S.若|PF|a，|QF|b，M为RS的中点，则|MF|的值为()AabB.eq f(1,2)(ab)CabD.eq r(ab)答案D解析根据抛物线的定义，有|PF|PR|，|QF|QS|.易知RFS为直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形PRSQ中，容易求得|RS|2eq r(ab).故|FM|eq f(1,2)|RS|eq r(ab).8已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)

7、，1)C(1, 2)D(1，2)答案A解析焦点F(1,0)，准线为l：x1.过Q点作直线l的垂线交抛物线于P点，交准线l于M点，则|QP|PF|QP|PM|QM|3为所求的最小值，此时Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1).9设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若eq o(FA,sup10()eq o(FB,sup10()eq o(FC,sup10()0，则|eq o(FA,sup10()|eq o(FB,sup10()|eq o(FC,sup10()|()A9B6C4D3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(

8、x2，y2)，C(x3，y3)eq o(FA,sup10()(x11，y1)，eq o(FB,sup10()(x21，y2)，eq o(FC,sup10()(x31，y3)eq o(FA,sup10()eq o(FB,sup10()eq o(FC,sup10()0，x11x21x310.x1x2x33.|eq o(FA,sup10()|eq o(FB,sup10()|eq o(FC,sup10()|eq r(x112yoal(2,1)eq r(x212yoal(2,2)eq r(x312yoal(2,3)eq r(x112)eq r(x212)eq r(x312)x11x21x316.10设O

9、是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，eq o(FA,sup10()与x轴正向的夹角为60，则|eq o(OA,sup10()|为()A.eq f(21p,4)B.eq f(r(21)p,2)C.eq f(r(23),6)pD.eq f(13p,36)答案B解析设A(x0，y0)(y00)，则过A作ABx轴于B.则|BF|x0eq f(p,2)，|AF|x0eq f(p,2).又AFB60，|AF|2|BF|.x0eq f(3,2)p，y0eq r(3)p.|OA|eq r(xoal(2,0)yoal(2,0)eq f(r(21)p,2).11(2012陕西)右图

10、是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米答案2eq r(6)解析设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26.所以水面宽为2eq r(6)米12已知抛物线C：y2x，过点A(x0,0)(x0eq f(1,8)作直线l交抛物线于P，Q(点P在第一象限)(1)当过抛物线C的焦点，且弦长|PQ|2时，求直线l的方程；(2)设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BPBQ.求证：点B的坐标是(x0,0)，并求点B到直线l的距离d的取值范围解析(1)由抛物线C：y2x得抛物线的焦点坐标为eq bl

11、c(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0)，设直线l的方程为xnyeq f(1,4)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由eq blcrc (avs4alco1(y2x，,xnyf(1,4)，)得y2nyeq f(1,4)0.所以n210，y1y2n.因为x1ny1eq f(1,4)，x2ny2eq f(1,4)，所以|PQ|x1eq f(1,4)x2eq f(1,4)x1x2eq f(1,2)n(y1y2)12.所以n21，即n1.所以直线l的方程为xyeq f(1,4)0或xyeq f(1,4)0.(2)设l：xmyx0(m1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则M(x2，y2

12、)由eq blcrc (avs4alco1(xmyx0，,y2x，)得y2myx00.因为x0eq f(1,8)，所以m24x00，y1y2m，y1y2x0.设B(xB,0)，则eq o(BM,sup10()(x2xB，y2)，eq o(BP,sup10()(x1xB，y1)由题意知，eq o(BM,sup10()eq o(BP,sup10()，x2y1y1xBx1y2xBy2.即(y1y2)xBx1y2x2y1yeq oal(2,1)y2yeq oal(2,2)y1(y1y2)y1y2.显然y1y2m0，xBy1y2x0.B(x0,0)由题意知，BMQ为等腰直角三角形，kPB1，即eq f(

13、y1y2,x1x2)1，即eq f(y1y2,yoal(2,1)yoal(2,2)1.y1y21.(y1y2)24y1y21.m24x01.m214x00.x0eq f(1,4).x0eq f(1,8)，eq f(1,8)x0eq f(1,4).deq f(2x0,r(m21)eq f(2x0,r(24x0)eq f(r(2),r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,x0)22blc(rc)(avs4alco1(f(1,x0)eq f(r(2),r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,x0)1)21)eq blcrc)(avs4alco1(f(r(6),12)，f(1,2).即

14、d的取值范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(r(6),12)，f(1,2).13在四边形ABCD中，已知A(0,0)，D(0,4)，点B在x轴上，BCAD，且对角线ACBD.(1)求点C的轨迹方程；(2)若点P是直线y2x5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点求证：PMx轴；(3)在(2)的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由解析(1)如右图，设点C的坐标为(x，y)(x0，y0)，则B(x,0)，eq o(AC,sup10()(x，y)，eq o(BD,sup10()(x,4)，eq o(AC,

15、sup10()eq o(BD,sup10()，x(x)y40，即yeq f(1,4)x2(x0)所求的轨迹是除去顶点的抛物线(2)对函数yeq f(1,4)x2求导，得yeq f(1,2)x.设切点为eq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(1,4)xoal(2,0)，则过该切点的切线的斜率是eq f(1,2)x0.该切线方程是yeq f(1,4)xeq oal(2,0)eq f(1,2)x0(xx0)又设点P的坐标为(t,2t5)，切线过点P，有2t5eq f(1,4)xeq oal(2,0)eq f(1,2)x0(tx0)，化简得xeq oal(2,0)2tx08t200.设E、

16、F两点的坐标分别为eq blc(rc)(avs4alco1(x1，f(1,4)xoal(2,1)，eq blc(rc)(avs4alco1(x2，f(1,4)xoal(2,2)，则x1、x2为方程x22tx8t200的两根，x1x22t，x1x28t20.xMeq f(x1x2,2)t.因此，当t0时，直线PM与y轴重合，当t0时，直线PM与y轴平行因此可证：PMx轴(3)yMeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)xoal(2,1)f(1,4)xoal(2,2)eq f(1,8)(x1x2)22x1x2eq f(1,8)4t22(8t20)eq f(1,2)t

17、22t5，点M的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(t，f(1,2)t22t5).又kEFeq f(f(1,4)xoal(2,1)f(1,4)xoal(2,2),x1x2)eq f(1,4)(x1x2)eq f(1,4)2teq f(1,2)t，直线EF的方程为yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)t22t5)eq f(1,2)t(xt)，即t(x4)102y0.(*)当x4，y5时，方程(*)恒成立对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为(4,5)14(2013江南十校联考)已知椭圆C1：eq f(x2,4)eq f(y2,b2)1(0b0)的焦点是椭圆的顶点

18、(1)求抛物线C2的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)椭圆C1的长半轴长a2，半焦距ceq r(4b2)，由eeq f(c,a)eq f(r(4b2),2)eq f(r(3),2)，得b21.椭圆C1的上顶点为(0,1)抛物线C2的焦点为(0,1)抛物线C2的方程为x24y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)由x24y，得yeq f(1,4)x2.yeq f(1,2)x.切线l1，l2的斜率分别为eq f(1,2)x1，eq

19、 f(1,2)x2.当l1l2时，eq f(1,2)x1eq f(1,2)x21，即x1x24.由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x24y，)得x24kx4k0.(4k)24(4k)0，解得k0.由x1x24k4，得k1，满足式，直线l的方程为xy10.1过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若CBF90，则|AF|BF|的值为()A.eq f(p,2)BpC.eq f(3p,2)D2p答案D解析如图，设B(x1，yB)在直角三角形CBF中利用射影定理得yeq oal(2,B)eq blc(rc)(avs4alco1(x1

20、f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)x1)eq f(p2,4)xeq oal(2,1)2px1，x1eq f(r(5)2,2)p，|BF|eq f(r(5)1,2)p，又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，eq f(|AF|,p)eq f(|DF|,|BF|)eq f(|AF|p,|BF|)，|AF|eq f(r(5)3,2)p，则|AF|BF|的值为2p，故选D.2(2013衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()Ay24xBy28xCy24xDy28x答案B解

21、析由题可知抛物线焦点坐标为(eq f(a,4)，0)，于是过焦点且斜率为2的直线方程为y2(xeq f(a,4)，令x0，可得A点坐标为(0，eq f(a,2)，所以SOAFeq f(1,2)eq f(|a|,4)eq f(|a|,2)4.a8，故选B.3(2013粤西北九校联考)已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足eq o(OR,sup10()eq f(1,2)(eq o(OP,sup10()eq o(OQ,sup10()，R在抛物线准线上的射影为S，设、是PQS中的两个锐角，则下列四个式子中不一定正确的是()Atantan1Bsinsineq r(2)Ccoscos1

22、D|tan()|taneq f(,2)答案D解析由题意PSQeq f(,2)，eq f(,2)，所以A.tantan1.B.sinsineq r(2).C.coscos1都正确4(2012山东)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为eq f(3,4).(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为eq r(2)，直线l：ykxeq f(1,4)与抛物线C有两个不同的交点A

23、，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当eq f(1,2)k2时，|AB|2|DE|2的最小值解析(1)依题意知F(0，eq f(p,2)，圆心Q在线段OF的垂直平分线yeq f(p,4)上，因抛物线C的准线方程为yeq f(p,2)，所以eq f(3p,4)eq f(3,4)，即p1，因此抛物线C的方程为x22y.(2)假设存在点M(x0，eq f(xoal(2,0),2)(x00)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y|xx0(eq f(x2,2)|xx0 x0，所以直线MQ的方程为yeq f(xoal(2,0),2)x0(xx0)令yeq f(1,4)，得xQeq f(x0,2)eq

24、 f(1,4x0).所以Q(eq f(x0,2)eq f(1,4x0)，eq f(1,4)又|QM|OQ|，故(eq f(1,4x0)eq f(x0,2)2(eq f(1,4)eq f(xoal(2,0),2)2(eq f(1,4x0)eq f(x0,2)2eq f(1,16).因此(eq f(1,4)eq f(xoal(2,0),2)2eq f(9,16)，又x00，所以x0eq r(2)，此时M(eq r(2)，1)故存在点M(eq r(2)，1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M.(3)当x0eq r(2)时，由(2)得Q(eq f(5r(2),8)，eq f(1,4)，Q的半径为req

25、 r(f(5r(2),8)2f(1,4)2)eq f(3r(6),8)，所以Q的方程为(xeq f(5r(2),8)2(yeq f(1,4)2eq f(27,32).由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)x2，,ykxf(1,4)，)整理得2x24kx10.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由于116k280，x1x22k，x1x2eq f(1,2)，所以|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x2(1k2)(4k22)由eq blcrc (avs4alco1(xf(5r(2),8)2yf(1,4)2f(27,32)，,ykxf(1,4)，)整理得(1k

26、2)x2eq f(5r(2),4)xeq f(1,16)0.设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)，由于2eq f(k2,4)eq f(27,8)0，x3x4eq f(5r(2),41k2)，x3x4eq f(1,161k2).所以|DE|2(1k2)(x3x4)24x3x4eq f(25,81k2)eq f(1,4).因此|AB|2|DE|2(1k2)(4k22)eq f(25,81k2)eq f(1,4).令1k2t，由于eq f(1,2)k2，则eq f(5,4)t5，所以|AB|2|DE|2t(4t2)eq f(25,8t)eq f(1,4)4t22teq f(25,8

27、t)eq f(1,4).设g(t)4t22teq f(25,8t)eq f(1,4)，teq f(5,4)，5，因为g(t)8t2eq f(25,8t2)，所以当teq f(5,4)，5时，g(t)g(eq f(5,4)6，即函数g(t)在teq f(5,4)，5上是增函数，所以当teq f(5,4)时，g(t)取到最小值eq f(13,2).因此当keq f(1,2)时，|AB|2|DE|2取到最小值eq f(13,2).5已知动圆C过点A(1,0)，且与直线l0：x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹D的方程；(2)设圆心C的轨迹在x4的部分为曲线E，过点P(0,2)的直线l与曲线E交于A，B两

28、个不同的点，且eq o(PA,sup10()eq o(PB,sup10()(1)，试求的取值范围解析(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，圆心C到直线l0的距离为d，由题意可知|CA|d，故由抛物线的定义可知动圆圆心C的轨迹D的方程为y24x.(2)易知曲线E的方程为y24x(x4)，显然当直线l的斜率为零或不存在时不符合题意，故可设直线l的方程为ykx2(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq o(PA,sup10()eq o(PB,sup10()(1)知x1x2，且0 x24,00，,f040，,f444k24k30，,0f(21k,k2)4，)从而可得keq f(3,2).由

29、根与系数的关系可知x1x2eq f(41k,k2)，x1x2eq f(4,k2).又x1x2，所以eq f(12,)eq f(41k2,k2)4(eq f(1,k)1)2.而keq f(3,2)，所以eq f(2,3)eq f(1,k)0，故可得1(eq f(1,k)1)2eq f(25,9).从而可得4eq f(12,)eq f(100,9)，解得eq f(1,9)1或11，所以的取值范围是(1,9)6已知A、B两点在抛物线C：x24y上，点M(0,4)，满足eq o(MA,sup10()eq o(BM,sup10().(1)求证：eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()

30、；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.()求证：点N在一定直线上；()设49，求直线MN在x轴上截距的取值范围解析(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：ykx4，与x24y联立得x24kx160，(4k)24(16)16k2640，x1x24k，x1x216.eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()x1x2y1y2x1x2(kx14)(kx24)(1k2)x1x24k(x1x2)16(1k2)(16)4k(4k)160，eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10().(2)()过点A的切线yeq f(1,2)x1(xx1)y1eq f(1

31、,2)x1xeq f(1,4)xeq oal(2,1)，过点B的切线yeq f(1,2)x2xeq f(1,4)xeq oal(2,2)，联立得点Neq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，4).所以点N在定直线y4上()eq o(MA,sup10()eq o(BM,sup10()，(x1，y14)(x2,4y2)联立eq blcrc (avs4alco1(x1x2，,x1x24k，,x1x216.)可得k2eq f(12,)eq f(221,)eq f(1,)2,49.eq f(9,4)k2eq f(64,9).直线MN：yeq f(8,2k)x4在x轴的截距为k，直线M

32、N在x轴上截距的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(8,3)，f(3,2)eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，f(8,3).7(2012课标全国)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4eq r(2)，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|eq r(2)p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|eq r(2)p.因为ABD的面积为4eq r(2)，所以eq f(1,2)|BD|d4eq r(2)，即eq f(1,2)2peq r(2)p4eq r(2)，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三