课标备战高考数学二轮复习难点21利用导数探求参数的范围问题教学案理2

1、学习资料汇编利用导数研究参数的范围问题利用导数研究参数的取值范围是高考观察的要点和热门，因为导数是高等数学的基础，关于中学生来说运算量大、思想密度强、解题方法灵巧、综合性高等特色，成为每年高考的压轴题，所以也是学生感觉头疼和茫然的一种类题，究其原由，其一，基础知识掌握不够到位（导数的几何意义、导数的应用），其二，没有形成详尽的解题格式和套路，从而以致学生产生害怕心理，成为考试一大阻碍，本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.与函数零点有关的参数范围问题函数f(x)的零点，即f(x)0的根，亦即函数f(x)的图象与x轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，常常利用导数研究函数的单调区间和

2、极值点，并结合特别点，从而判断函数的大体图像，谈论其图象与x轴的地址关系（也许转变成两个熟习函数交点问题），从而确立参数的取值范围例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数为常数，.（1）当在处获得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，务实数的取值范围.（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，务实数的取值范围.思路分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，而后求得的最值，即可获取的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，而后构造新函数，再对求导，而后谈论，得出的单调性，即可求出的取值范围.金戈出品评论：本题主要观察函数的单调性及恒成立问

3、题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难.在办理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较简单下手，求导后含参数的问题注意分类谈论，关于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧许多，需多加领悟.与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是相应曲线在点(x0,f(x0)处切线的斜率，即kf(x0)，此类试题能与切斜角的范围，切线斜率范围，以及与其余知识综合，常常先求导数，而后转变成关于自变量x0的函数，经过求值域，从而获取切线斜率k的取值范围，也许切斜角范围问题例2.已知函数fxexax2bx.

4、（1）当a0，b1时，求fx的单调区间；（2）设函数fx在点Pt，ft0t1处的切线为l，直线l与y轴订交于点Q，若点Q的纵坐标恒小金戈出品于1，务实数a的取值范围.思路分析：（）先明确函数定义域，再求函数导数fxex1，依据导函数零点进行分类谈论：当x，0时，fx0，所以减区间为，0，当x0，时，fx0递加区间为，递减区间为0，（）依据导数几何意义得切线的斜率kftet2atb，再依据点斜式写出切线方程yetat2btet2atbxt，得点Q的纵坐标y1tetat20t1，即不等式1tetat21恒成立，而不等式恒成立问题，一般转变成对应函数最值问题：a(1t)et1,0t1的t2t1,最大

5、值，利用导数研究函数y(1t)e0t1单调性，为单调递减，再利用洛必达法规得t2x0,y(1t)et1et11，也可直接构造差函数，分类谈论最值进行求解t22，所以a22e时，et2a0，所以，当t0，1时，gt0，即gt在0，1上单调递减，所以即a2gtg00，所以aee2aea12a1，不满足题意.若1，即时，0ln222则t、gt、gt的关系以下表：t0，ln2aln2aln2a，1gt0gt递减极小值递加所以gln2ag00e1不满足题意，结合，可得，当a1，所以a时，222金戈出品gt00t1时，此时点Q的纵坐标恒小于1.评论：该题观察导数的几何意义、斜率的定义等基础知识，观察学生基

6、本运算能力、灵巧运用导数知识处理问题的能力，需要注意的是解决问题的门路是将存在问题转变成方程有解问题.利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，第一要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分别变量，构造函数，直接把问题转变成函数的最值问题与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式f(x)g(x)恒成立的办理方法：yf(x)的图象永久落在yg(x)图象的上方；构造函数法，一般构造F(x)f(x)g(x)，F(x)min0；参变分别法，将不等式等价变形为ah(x)，或ah(x)，从而转变成求函数h(x)的最值.3.1参变分别法将已知

7、恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分别开，转变成一个已知函数的最值问题办理，要点是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般依据“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则例3【安徽省淮南市2018届第四次联考】已知函数fxexax33x6aR（e为自然对数的底数）（）若函数fx的图像在x1处的切线与直线xy0垂直，求a的值；（）对x0,4总有fx0成立，务实数a的取值范围思路分析：（I）求出函数的导数，由函数fx的图像在x1处的切线与直线xy0垂直可得f11，从而求出a的值；（II）对x0,4总有fx0成立，等价于对x0,43x6上恒成立，设?a3xgx3x6x0,3时，gx为增函数，x3

8、，只需agxmin即可，利用导数研究函数的单调性可得x3,4时，gx为减函数，从而gxg3，从而可求出a的范围.金戈出品综合性较高，需要具备优异的数学素质，第二问中参变分别时，要考虑符号利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分别参数法：将原不等式分别参数，转变成不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，依据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转变成某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，而后成立不等式求解.3.2构造函数法参变分别后固然转变成一个已知

9、函数的最值问题，但是有些函数分析式复杂，利用导数知识没法完成，也许是不易参变分别，故可利用构造函数法例4已知函数f(x)1x22axlnx(aR)，x(1,).2（1）若函数f(x)有且只有一个极值点，务实数a的取值范围；（2）关于函数f(x)，f1(x)，f2(x)，若关于区间D上的任意一个x，都有f1(x)f(x)f2(x)，则称函数f(x)是函数f1(x)，f2(x)在区间D上的一个“分界函数”.已知f1(x)(1a2)lnx，f2(x)(1a)x2，问能否存在实数a，使得函数f(x)是函数f1(x)，f2(x)在区间(1,)上的一个“分界函数”？若存在，务实数a的取值范围；若不存在，说

10、明原由.思路分析：（）先求函数导数：，再依据函数f(x)有且只有一个极值点，得在区间上有且只有一个零点，最后结合二次函数实根分布得，金戈出品解得实数的取值范围是；（）由题意合适时，恒成立，且恒成立，即问题为恒成立问题，解决方法为转变成对应函数最值问题：记，利用导数研究其单调变化规律，确立其最大值：当时，单调递减，最大值为，由，解得；当时，最大值为正无量大，即在区间上不恒成立，同理记，利用导数研究其单调变化规律，确立其最小值：因为，所以在区间上单调递加，其最小值为，得.评论：本题主要观察导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合观察导数的应用属难题.解题时要熟练应用利用导数研究

11、函数的性质的一般方法，包含构造新函数，分别变量，以及求极值、最值等.金戈出品与函数单调区间有关的参数范围问题若函数f(x)在某一个区间D可导，f(x)0函数f(x)在区间D单调递加；f(x)0函数f(x)在区间D单调递减.若函数f(x)在某一个区间D可导，且函数f(x)在区间D单调递加f(x)0恒成立；函数f(x)在区间D单调递减f(x)0恒成立.4.1参数在函数分析式中转变成f(x)0恒成立和f(x)0恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法办理例5.【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（且）（）若为定义域上的增函数，务实数的取值范围；（）令，设函数，且，求证：思路分析：()利用导函数研究函数

12、的单调性，将原问题转变成恒成立的问题，谈论可得实数的取值范围是；()由题意结合函数的单调性谈论函数g(x)的性质，结合函数的零点性质即可证得题中的结论.金戈出品评论：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判断方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，假如f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；假如f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包含：求函数的单调区间，常常经过求导，转变成解方程或不等式，常用到分类谈论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.4.2参数在定义域中函数分析式确立，故可先确立其单调区间，而后让所给定义域区间包含在单调区间中.例6.已知函数f(

13、x)alnx，曲线f(x)alnx在点(e,f(e)处的切线与直线e2xye0垂直.xx注：e为自然对数的底数.1f(x)在区间(m,m1)上存在极值，务实数m的取值范围；（）若函数（2）求证：当x1时，f(x)(x2ex1.e11)(xex1)思路分析：(1)求函数alnx的导数falnxf(x)x(x)，由曲线f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x金戈出品2ye0垂直可得f(e)1lnx(x0)，谈论导数的符号知函ex2，可求出a的值，这时f(x)x2e数f(x)仅当x1时，获得极值，由1(m,m1)即可务实数m的取值范围；（2）当x1时，f(x)2ex11(x1)(lnx1)2ex1

14、(x1)(lnx1)2ex1，e1(x1)(xex1)e1x令g(x)x，令h(x)xexxex11g(x)h(x)max证之即可.由1emin所以当x1时，h(x)2，所以g(x)h(x)，即f(x)2ex1.e1e1e1(x1)(xex1)评论：本题观察了利用导数判断函数单调性等基础知识，理解单调性的看法是解题要点.与逻辑有关的参数范围问题新课程增添了全称量词和特称量词应用这一知识点，而且在考试卷中凡是出现，使得恒成立问题花式推陈出新，别有一番风味，解决的要点是弄懂量词的特定含义.金戈出品2x，0 x2axex7e2例7.已知函数fx1在x2处的切线斜率为.x，x02b（1）务实数a的值；

15、（2）若x0时，yfxm有两个零点，务实数m的取值范围.（3）设gxlnxb，若关于x10，3，总有x21，e，使得fx1gx2，fx2ee2.71828务实数b的取值范围.思路分析：（1）依据导数几何意义得f27e2，所以求导数fxexx222ax2a列出等量关2系，求解得a3fxx2x单调变化趋向：在0，1单调递减，在1，（2）利用导数研究函数2axe4单调递加，再考虑端点值：f0f30,f()，所以要有两个零点，需me，0（3）不等22式恒成立问题，一般方法为转变成对应函数最值：fxmingx，由前面谈论可知fxf1emin，2所以gxlnxbblnxe1，e有解，即be1lnxlnx的最大值，先求y12在x21x，fxxe1x1，e最大值，而=利用导数易得x1时y1lnx1e，即bexex取最大值21ee金戈出品综合上述五各种类，利用导数求解含参问题时，第一具备必需的基础知识（导