复变函数测试题包括

1、第一章复数与复变函数一、选择题1当z1i时，z100z75z50的值等于（）1i（A）i（B）i（C）1（D）12设复数z满足arc(z2)，arc(z5，那么z（）32)6（A）13i（B）3i（C）13i（D）31i22223复数ztani()的三角表示式是（）2（A）seccos()isin()（B）seccos(3)isin(3)2222（C）seccos(3)isin(3)（D）seccos(2)isin()2224若z为非零复数，则z2z2与2zz的关系是（）（A）z2z22zz（B）z2z22zz（C）z2z22zz（D）不可以比较大小设x,y为实数，z1x11yi,z2x11y

2、i且有z1z212，则动点(x,y)的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线一个向量顺时针旋转，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为313i，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）13i（C）3i（D）3i使得z2z2建立的复数z是（）（A）不存在的（B）独一的（C）纯虚数（D）实数设z为复数，则方程zz2i的解是（）（A）3i（B）3i（C）3i（D）3i4444满足不等式zi）z2的所有点z构成的会合是（i（A）有界地区（B）无界地区（C）有界闭地区（D）无界闭地区10方程z23i2所代表的曲线是（）（A）中心为23i，半径为2的圆周（B）中心为23i，半径为的圆周

3、（C）中心为23i，半径为2的圆周（D）中心为23i，半径为的圆周11以下方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A）z12（B）z3z34z2（C）za1(a1)（D）zzazazaac0(c0)1az12设fzzziz25i，则f(zz)（）()1,123,12（A）44i（B）44i（C）44i（D）44i13limIm(z)Im(z0)（）xx0zz0（A）等于i（B）等于i（C）等于0（D）不存在14函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z0 x0iy0处连续的充要条件是（）（A）u(x,y)在(x0,y0)处连续（B）v(x,y)在(x0,y0)处连续（C）u(x,y)和v(x,

4、y)在(x0,y0)处连续（）在(x0,y0)处连续Du(x,y)v(x,y)15设zC且zz2z1）1，则函数f(z)的最小值为（z（A）3（B）2（C）1（D）1二、填空题1设z(1i)(2i)(3i)，则z(3i)(2i)2设z(23i)(2i)，则argz3设z5,arg(zi)3，则z4(cos5isin5)24复数isin3的指数表示式为(cos3)25以方程z6715i的根的对应点为极点的多边形的面积为不等式z2z25所表示的地区是曲线的内部方程2z1i1所表示曲线的直角坐标方程为2(1i)z方程z12iz2i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直均分线关于映照i，圆周x2(y1)2

5、1的像曲线为z10lim(1z22z4)z1i三、若复数z满足zz(12i)z(12i)z30，试求z2的取值范围四、设a0，在复数集C中解方程z22za.五、设复数zi，试证z是实数的充要条件为z1或IM(z)0.z21六、关于映照1(z1)，求出圆周z4的像.2z七、试证.z10(z20)的充要条件为z1z2z1z2；z2z10(zj0,kj,k,j1,2,n)的充要条件为.z2z1z2znz1z2zn.八、若limf(z)A0，则存在0，使合适0zz0时有f(z)1A.xx02xy九、设zxiy，试证zxy.2十、设zxiy，试谈论以下函数的连续性：2xy,z01.f(z)x2y20,z

6、0f(z)x3y,z02.x2y20,z0第二章分析函数一、选择题：1函数f(z)3z20处是()在点z（A）分析的（B）可导的（C）不行导的（D）既不分析也不行导2函数f(z)在点z可导是f(z)在点z分析的()（A）充分不用要条件（B）必需不充分条件（C）充分必需条件（D）既非充分条件也非必需条件3以下命题中，正确的选项是()（A）设x,y为实数，则cos(xiy)1（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不行导（C）若u,v在地区D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)uiv在D内分析（D）若f(z)在地区D内分析，则if(z)在D内也分析4以下函数中，为分析函数的是()（A）x2

7、y22xyi（B）x2xyi（C）2(x1)yi(y2x22x)（D）x3iy3z05函数f(z)z2Im(z)在处的导数()（A）等于0（B）等于1（C）等于1（D）不存在6若函数f(z)x22xyy2i(y2axyx2)在复平面内到处分析，那么实常数a()（A）0（B）1（C）2（D）27假如f(z)在单位圆z1内到处为零，且f(0)1，那么在z1内f(z)()（A）0（B）1（C）1（D）随意常数8设函数f(z)在地区D内有定义，则以下命题中，正确的选项是（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数（B）若Re(f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数（C）若f(z)

8、与f(z)在D内分析，则f(z)在D内是一常数（D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数9设f(z)x2iy2，则f(1i)()（A）2（B）2i（C）1i（D）22i10ii的主值为()（A）0（B）1（C）e2（D）e211ez在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不分析（C）有可导点，且在可导点集上分析（D）到处分析12设f(z)sinz，则以下命题中，不正确的选项是()（A）f(z)在复平面上到处分析（B）f(z)以2为周期eizeiz（D）f(z)是无界的（C）f(z)213设为随意实数，则1()（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复

9、数，其模等于114以下数中，为实数的是()（A）(1i)3（B）cosi（C）lni3i（D）e215设是复数，则()（A）z在复平面上到处分析（B）z的模为z（C）z一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍二、填空题1设f(0)1,f(0)1f(z)1i，则limzz02设f(z)uiv在地区D内是分析的，假如uv是实常数，那么f(z)在D内是3导函数f(z)uiv在地区D内分析的充要条件为xx4设f(z)x3y3ix2y2，则f(33i)225若分析函数f(z)uiv的实部ux2y2，那么f(z)6函数f(z)zIm(z)Re(z)仅在点z处可导7设f(z)1z5(1i)z，则方程f(z

10、)0的所有根为58复数ii的模为9Imln(34i)10方程1ez0的所有解为三、设f(z)u(x,y)iv(x,y)为zxiy的分析函数，若记zzzzzzzzww(z,z)u(,)iv(,)，则022i22iz四、试证以下函数在z平面上分析，并分别求出其导数1f(z)cosxcoshyisinxsinhy;2f(z)ex(xcosyysiny)iex(ycosyixsiny);五、设w32zwez0dw,d2w，求dzdz2.六、设f(z)xy2(xiy),z0试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不行导.x2y40,z0七、已知uvx2y2，试确立分析函数f(z)uiv.八、设s和n为

11、平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n.假如f(z)uiv为分析函数，2则有uv,uv（与分别表示沿s,n的方导游数）.snnssn九、若函数f(z)在上半平面内分析，试证函数f(z)在下半平面内分析.十、解方程sinzicosz4i.第三章复变函数的积分一、选择题：1设c为从原点沿y2x至1i的弧段，则(xiy2)dz()c（A）15i（B）15i（C）15i（D）15i666666662设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则zdz为()c(z1)(z1)2（A）i（B）i（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能223设c1:z1为负向，c2:z3正向，则sin2zdz()cc1c2z（A）

12、2i（B）0（C）2i（D）4i4设c为正向圆周z2，则coszdz()c(1z)2（A）sin1（B）sin1（C）2isin1（D）2isin11z3cos15设c为正向圆周zz2dz()，则(12cz)2（A）2i(3cos1sin1)（B）0（C）6icos1（D）2isin16设f(z)ed，此中z4，则f(i）()z（A）2i（B）1（C）2i（D）17设f(z)在单连通域B内到处分析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分f(z)2f(z)f(z)dz()cf(z)（A）于2i（B）等于2i（C）等于0（D）不可以确立8设c是从0到1i的直线段，则积分zezdz（）2c（A）

13、1e(B)1e(C)1ei(D)1ei2222sin(z)9设c为正向圆周x2y22x0，则4dz()z2c1（A）2i（）2i（）02i（）2BCD210设c为正向圆周zi1,ai，则zcoszdz()c(ai)2（A）2ie（B）2i（C）0（D）icosie11设f(z)在地区D内分析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D假如f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f(z0)()（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不可以确立12以下命题中，不正确的选项是()（A）积分1dz的值与半径r(r0)的大小没关zarza（B）(x2iy2)dz2此中c为连结i到i的线段,c

14、（C）若在地区D内有f(z)g(z)，则在D内g(z)存在且分析（D）若f(z)在0z1内分析，且沿任何圆周c:zr(0r1)的积分等于零，则f(z)在z0处分析13设c为随意实常数，那么由调解函数ux2y2确立的分析函数f(z)uiv是()(A)iz2c（B）iz2ic（C）z2c（D）z2ic14以下命题中，正确的选项是(（A）设v1,v2在地区D内均为)u的共轭调解函数，则必有v1v2（B）分析函数的实部是虚部的共轭调解函数（C）若f(z)uiv在地区D内分析，则u为D内的调解函数x（D）以调解函数为实部与虚部的函数是分析函数15设v(x,y)在地区D内为u(x,y)的共轭调解函数，则以

15、下函数中为D内分析函数的是()（A）v(x,y)iu(x,y)（B）v(x,y)iu(x,y)（C）u(x,y)iv(x,y)（D）uxivx二、填空题1设c为沿原点z0到点z1i的直线段，则2zdzc2设c为正向圆周z41，则z23z2dzc(z4)2设sin(2)此中z2，则3f(z)df(3),2z4设c为正向圆周z3，则zzdzcz5z4c(zez设c为负向圆周i)5dz，则6分析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7设f(z)在单连通域B内连续，且关于B内任何一条简单闭曲线c都有f(z)dz0，那c么f(z)在B内8调解函数(x,y)xy的共轭调解函数为9若函数u(x,y)x3axy2为

16、某一分析函数的虚部，则常数a10设u(x,y)的共轭调解函数为v(x,y)，那么v(x,y)的共轭调解函数为三、计算积分6z1.21)(zdz,此中R0,R1且R2;zR(z2)2.dz42z2z2z2四、设f(z)在单连通域B内分析，且满足1f(z)1(xB).试证在B内到处有f(z)0；关于B内随意一条闭曲线f(z)0c，都有dzf(z)五、设f(z)在圆域zaR内分析，若maxf(z)M(r)(0rR)，zar则f(n)(a)n!M(r)(n1,2,).rn六、求积分ezdz，从而证明ecoscos(sin)d.z1z0七、设f(z)在复平面上到处分析且有界，关于随意给定的两个复数a,b

17、，试求极限f(z)limdz并由此推证f(a)f(b)（刘维尔Liouville定理）.Rb)zR(za)(z八、设f(z)在zR(R1)内分析，且f(0)1,f(0)2，试计算积分(z1)2f(2z)dzz1z22f(ei)d之值.并由此得出cos02九、设f(z)uiv是z的分析函数，证明222242ln(1f(z)ln(1f(z)f(z)x2y2(1f(z)2)2.十、若uu(x2y2)，试求分析函数f(z)uiv.第四章级数一、选择题：1设an(1)nni(n1,2,)，则liman()n4n（A）等于0（B）等于1（C）等于i（D）不存在2以下级数中，条件收敛的级数为()（A）(13

18、i)n（B）(34i)nn12n1n!（C）in（D）(1)ninn1n1n13以下级数中，绝对收敛的级数为()（B）1i(1)nin1n(1n)（B）n1n2n(C)in（D）(1)nin2lnn2nnn14若幂级数cnzn在z12i处收敛，那么该级数在z2处的敛散性为()n0（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不可以确立5设幂级数cnzn,ncnzn1和cnzn1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则n0n0n0n1R1,R2,R3之间的关系是()（A）R1R2R3（B）R1R2R3（C）R1R2R3（D）R1R2R36设0q1，则幂级数qn2zn的收敛半径R()n0（A）q（B）1

19、（C）qnsin(z)n的收敛半径R(7幂级数2)n1n2（A）1（B）2（C）8幂级数(1)nzn1在z1内的和函数为n0n10（D）2（D）（A）ln(1z)（B）ln(1z)（D）ln1(D)ln11zz19设函数ez的泰勒睁开式为cnzn，那么幂级数cnzn的收敛半径R()coszn0n0（A）（B）1（C）（D）210级数111zz2的收敛域是()z2z（A）z1（B）0z1（C）1z（D）不存在的11函数1在z1处的泰勒睁开式为()z2（A）(1)nn(z1)n1(z11)（B）(1)n1n(z1)n1(z11)n1n1（C）n(z1)n1(z11)（D）n(z1)n1(z11)n

20、1n112函数sinz，在z处的泰勒睁开式为()2（A）(1)n(z)2n1(z2)n0(2n1)!2（B）(1)n(z2)2n(z2)n0(2n)!（C）(1)n1(z)2n1(z2)n0(2n1)!2（D）(1)n1(z)2n(z2)n0(2n)!213设f(z)在圆环域H:R1zz0R2内的洛朗睁开式为cn(zz0)n，c为H内n绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么f(z)dz()c(zz0)2(A)2ic1（B）2ic1（C）2ic2（D）2if(z0)14若cn3n(1)n,n0,1,2,，则双边幂级数cnzn的收敛域为()4n,n1,2,n（A）1z1（B）3z443（C）1z（D）

21、1z4315设函数f(z)1在以原点为中心的圆环内的洛朗睁开式有m个，那么z(z1)(z4)m()（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题1若幂级数cn(zi)n在zi处发散，那么该级数在z2处的收敛性n0为2设幂级数cnzn与Re(cn)zn的收敛半径分别为R1和R2，那么R1与R2之间的关n0n0系是3幂级数(2i)nz2n1的收敛半径Rn04设f(z)在地区D内分析，z0为内的一点，d为z0到D的界限上各点的最短距离，那么当zz0d时，f(z)cn(zz0)n建立，此中cnn05函数arctanz在z0处的泰勒睁开式为6设幂级数cnzn的收敛半径为R，那么幂级数(2n1)cnzn的收敛

22、半径n0n0为7双边幂级数(1)n12(1)n(1z)n的收敛域为n1(z2)n1218函数ezez在0z内洛朗睁开式为9设函数cotz在原点的去心邻域0zR内的洛朗睁开式为ncnzn，那么该洛朗级数收敛域的外半径R10函数1在1zi内的洛朗睁开式为z(zi)三、若函数1z2在z0处的泰勒睁开式为anzn，则称an为菲波那契(Fibonacci)数1zn0列，试确立an满足的递推关系式，并明确给出an的表达式四、试证明1ez1ez1zez(z);2(3e)zez1(e1)z(z1);f(z)在圆域zR内分析，Snnf(k)(0)zk试证五、设函数k0k!1Sn(z)1n1zn1d(zrR).2

23、f()zn1ir2f(z）Snzn1f()d(zrR)。(z)in1(2rz)六、设幂级数n2zn的和函数，并计算n2之值.n1n12n七、设f(z)anzn(zR1),g(z)bnzn(zR2)，则对随意的r(0rR1)，在n0n0zrR2内anbnzn1f()g(z)d。n02ir八、设在zR内分析的函数f(z)有泰勒睁开式f(z)a0a1za2z2anzn试证当0rR时12f(rei2an22n.0)dr2n0九、将函数ln(2z)在0z11内睁开成洛朗级数.z(z1)十、试证在0z内以下睁开式建立：z1cn(zn11e2coscosnd(n0,1,2,).ezc0)此中cnn1zn0第

24、五章留数一、选择题：1函数cotz在zi2内的奇点个数为()2z3（A）1（B）2（C）3（D）42设函数f(z)与g(z)分别以za为天性奇点与m级极点，则za为函数f(z)g(z)的()（A）可去奇点（B）天性奇点（C）m级极点（D）小于m级的极点3设z1ex2的m级极点，那么m()0为函数z4sinz（A）5（B）4(C)3（D）24z1是函数(z1)sin1z的()1(A)可去奇点（B）一级极点（C）一级零点（D）天性奇点5z是函数32zz3的()z2(A)可去奇点（B）一级极点（C）二级极点（D）天性奇点6设f(z)anzn在zR内分析，k为正整数，那么Resf(z),0()n0zk

25、（A）ak（B）k!ak（C）ak1（D）(k1)!ak17设za为分析函数f(z)的m级零点，那么Resf(z),a()f(z)(A)mBmCm1（D）(m1)（）（）8在以下函数中，Resf(z),00的是（）（A）f(z)ez1z2（C）f(z)sinzcoszz9以下命题中，正确的选项是()（A）设f()(zz0)m()zz，极点sinz1（B）f(z)zz11(D)f(z)1zez(z)在z0点分析，m为自然数，则z0为f(z)的m级（B）假如无量远点是函数f(z)的可去奇点，那么Resf(z),0（C）若z0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则Resf(z),00（D）若cf(z)d

26、z0，则f(z)在c内无奇点10Resz3cos2i,()z（A）22（C）2（D）2i3（B）i333111Resz2ezi,i()（A）1i（B）5156i（C）i（D）i66612以下命题中，不正确的选项是()（A）若z0()是f(z)的可去奇点或分析点，则Resf(z),z00（B）若P(z)与Q(z)在z0分析，z0为Q(z)的一级零点，则ResP(z)P(z0),z0Q(z0)Q(z)（C）若z0为f(z)的m级极点，nm为自然数，则1dnz0)n1Resf(z),z0limn(zf(z)n!xx0dz（D）假如无量远点为f(z)的一级极点，则z0为f(1)的一级极点，并且zRes

27、f(z),lim1)zf(z0z13设n1为正整数，则1dz()z2zn1(A)0（B）2i2i（D）2ni（C）n14积分z9dz()3z101z2（A）0（B）2i（C）10（D）i515积分z2sin1dz()z1z（A）0（B）1（C）ii6（D）3二、填空题1设z0为函数z3sinz3的m级零点，那么m2函数f(z)1在其孤立奇点zk1(k0,1,2,)处的留数1kcosz2Resf(z),zk3设函数f(z)expz21，则Resf(z),0z24设zf(z)a为函数f(z)的m级极点，那么Res,af(z)5双曲正切函数tanhz在其孤立奇点处的留数为2z6设f(z)1z2，则R

28、esf(z),7设f(z)1cosz，则Resf(z),0z518积分z3ezdzz19积分1dz1sinz10积分xeix2dx1x三、计算积分zzsinz2dz1z)1(ez4四、利用留数计算积分d(a0)2sin20a五、利用留数计算积分x2x2410 x2dxx9六、利用留数计算以下积分：xsinxcos2xdxcos(x1)22dx0 x1x1七、设a为f(z)的孤立奇点，m为正整数，试证a为f(z)的m级极点的充要条件是lim(za)mf(z)b，此中b0为有限数za八、设a为f(z)的孤立奇点，试证：若f(z)是奇函数，则Resf(z),aResf(z),a；若f(z)是偶函数，

29、则Resf(z),aResf(z),a九、设f(z)以a为简单极点，且在f(z)1a处的留数为A，证明limf(z)2.za1A十、若函数(z)在z1上分析，当z为实数时，(z)取实数并且(0)0，f(x,y)表示2tsin(xiy)的虚部，试证明012tcost2f(cos,sin)d(t)(1t1)第一章复数与复变函数一、1（B）2（A）3（D）4（C）（B）（A）（D）（B）（D）10（C）11（B）12（C）13（D）14（C）15（A）二、122arctan8312i16i5334ez2z25（或x2y21）x2y21(5)2(3)22212i,2iRe(w)11072i2三、52,52（或52z252）四、当0a1时解为(11a)i或(1a1)当1a时解为(1a1).u17cosu2v2六、像的参数方程为202表示w平面上的椭圆1.v15(17)2(15)2sin222十、1f(z)在复平面除掉原点外连续，在原点处不连续；2f(z)在复平面到处连续.第二章分析函数一、1（B）2（B）3（D）4（C）（A）（C）（C）（C）