高中数学必修二 6 平面向量的共线定理、量积（精练）(含答案)

1、6.2.2 平面向量的共线定理、数量积(精练)【题组一 共线定理】 1(2021江西宜春高一期末)如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为( ) ABC1D3【答案】A【解析】由题意可知，所以，又，即.因为、三点共线，所以，解得.故选：A2(2021黑龙江哈师大附中高一期末)中，点M满足，若，则的值为( )A1BCD【答案】A【解析】因为，所以，又因为，所以，因此，故选：A.3(2021上海高一课时练习)如图所示，在中，D、F分别是BC、AC的中点，(1)用、表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线.【答案】(1)，;(2)证明见解析.【解析】(1)如图，延长AD到G，使连接BG，CG，得到

2、平行四边形，所以，则，.(2)证明：由(1)可知，因为与有公共点B，所以B，E，F三点共线.【题组二 共线定理的应用】1(2021福建泉州五中高一期中)中，与相交于点，若与的面积之比为，则正实数的值为( )ABCD1【答案】C【解析】由与的面积之比为，令的面积为3，则的面积为4，因为，所以，因为，所以，因为，因为，所以,所以，解得，故选：C2(2021上海市行知中学高一期中)设O为ABC内部的一点，且，则AOC的面积与BOC的面积之比为_【答案】【解析】若，即为的重心，令，则，由，故答案为：3(2021浙江浙江高一期末)已知为内的一点，满足，则与的面积之比为_【答案】【解析】分别取的中点，连接

3、，即，；又为中点，.故答案为：.【题组三 向量的数量积】1(2021陕西绥德中学高一月考(文)已知，均为单位向量，若，的夹角为，则( )ABCD【答案】D【解析】因为，均为单位向量，的夹角为，所以，故选：D2(2021四川巴中高一期末(理)在菱形中，若点为中点，则( )ABCD【答案】B【解析】由为中点知，由菱形的性质知，故；由知，所以故选：B.3(2021全国高一课时练习)如图所示，在RtABC中，A=90，AB=1，则的值是_.【答案】-1【解析】由题意可得，.故答案为-1.4(2021全国高一课时练习)已知正方形的边长为2，E为的中点，点F在上，则_.【答案】【解析】由题可得，.故答案为

4、：.5(2021全国高一课时练习)(多选)在中，P为线段上任意一点，则的可能值有( )ABC2D3【答案】CD【解析】设，则，因为,所以因为，所以，所以的取值范围为，故选：CD【题组四 向量的夹角】1(2021重庆第二外国语学校高一月考)若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为( )A30B60C120D150【答案】C【解析】由已知，所以，设向量与的夹角为，则故选：C2(2021天津红桥高一学业考试)已知，若，则与夹角的大小为( )A30B60C120D150【答案】C【解析】因为， ,所以,因为，所以.故选：C3(2021江西九江一中高一月考)已知非零向量满足，与夹角的余弦值为，若，则实数(

5、)ABCD【答案】A【解析】由可设，则.因为，所以，又，所以.故选：A.4(2021福建泉州高一期末)如图，在中，分别是，的中点.(1)设，试用，表示，；(2)若，求.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因为，分别是，的中点，所以，所以，(2)因为，所以，所以化简整理得，又因为，所以即所以即，所以5(2021四川雅安高一期末)设两个向量，满足，.(1)若，求，的夹角；(2)若，夹角为60，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，即，所以(2)，且与不共线，且6(2021辽宁锦州高一期末)已知，为单位向量，满足，向量，的夹角为.(1)求的取值范围；(2)

6、求的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】1)因为，所以所以，所以.又所以的取值范围是(2)设，则所以所以的最小值是.【题组五 向量的模长】1(2021甘肃嘉峪关市第一中学高一期末)已知与的夹角为，则_.【答案】【解析】，.故答案为：.2(2021上海高一课时练习)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，则|等于_【答案】2【解析】由，得，而故答案为：23(2021全国高一课时练习)已知向量，的夹角为120，|2|2|2，则|_【答案】【解析】向量的夹角为，即，求得.故答案为：4(2021全国高一课时练习)已知为共线的两个向量，且，则_.【答案】或【解析】依题意共线，且为非零向量，当

7、同向时，当反向时，.故答案为：或5(2021山东任城高一期中)已知平面向量，满足，且与的夹角为，则的最大值为 _【答案】【解析】，cos，即与的夹角为，如图，作，连接AC，BC，则，ACB，又AOB，O，A，C，B四点共圆，故当OC为圆的直径时，|最大，此时AB，OA，OB1，BOCAOC，在中，OC，在中，OC，即，cosAOC(cosAOC+sinAOC)，整理得，2cosAOCsinAOC，tanAOC2，cosAOC，OC，即|的最大值为故答案为：6(2021河南高一期末)向量，满足，则_.【答案】【解析】由题意，故答案为：7(2021上海高一课时练习)设，为单位向量，非零向量，若，的

8、夹角为，则的最大值等于_【答案】2【解析】，为单位向量，和的夹角等于，当时，则；非零向量，当时，故当时，取得最大值为2，综上，取得最大值为2故答案为：28(2021全国高一课时练习)在平行四边形中，已知，则( )ABCD【答案】B【解析】在平行四边形中，因，于是得，所以.故选：B9(2021全国高一课时练习)若向量，均为单位向量，且，则的最小值为( )AB1CD【答案】A【解析】因为，所以 则当与反向时最小，最小，此时=，所以=，所以的最小值为，故选：A.10(2021上海高一课时练习)在ABC中，则AB边的长度为( )A1B3C5D9【答案】B【解析】由得，即，所以，所以，同理由可得，两个等

9、式相加可得，解得，所以AB边的长度为.故选：B【题组六 向量的投影】1(2021重庆西南大学附中)已知向量，满足，且(-)，则在方向上的投影为( )AB3C-D【答案】D【解析】由题设，即，.在方向上的投影为.故选：D2(2022全国高三专题练习)已知平面向量，满足：，且，则向量在向量方向上的投影的取值范围为_.【答案】【解析】平面向量，满足：，设向量，的夹角为，则，所以，因为，所以如图，将，的起点重合，可知与的夹角为，又因为，所以向量在向量方向上的投影的最小值为0，最大值为2，所以向量在向量方向上的投影的取值范围为故答案为：3(2021河北高三月考)已知向量、满足，则在上的投影为_【答案】【

10、解析】根据题意，所以在上的投影为，故答案为：.4(2021江西临川一中高三月考(文)已知，与的夹角，则向量在向量方向上的投影为_.【答案】【解析】，与的夹角在方向上的投影为故答案为：5(2021云南昭通市昭阳区第一中学高二月考(文)已知向量与的夹角为，且，设，则向量在方向上的投影为_【答案】2【解析】与的夹角为，且， ,又，设,在方向上的投影为在方向上的投影为故答案为：26(2021云南省大姚县第一中学高一月考)已知为单位向量，当它们的夹角为时，则在方向上的投影为_【答案】【解析】因为在方向上的投影为，且，所以，故答案为：7(2021河北石家庄市华西高级中学高一月考)已知，且，则在上的投影向量

11、为_【答案】【解析】因为，且，则在上的投影向量为，故答案为：.8(2021重庆市江津中学校高一月考)已知ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为_【答案】【解析】由，可得O为BC的中点，设ABC的外接圆的半径为r，可得|AB|OA|OB|OC|r，,则所以向量在向量上的投影为，则向量在向量上的投影向量为.故答案为：.【题组七 向量的综合运用】1(2021全国高一课时练习)已知在中，则的形状是( )三角形A直角B等腰直角C等边D钝角【答案】C【解析】由题得，所以844cos BAC，于是cos BAC，因为0BAC180，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形.故选：C.

12、2(2021云南昆明市外国语学校高一月考)若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为( )A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】在中，取的中点，连接，如图所示：因为，所以，所以，即，即.又因为中是否有直角不确定，和是否相等也无法确定，所以为等腰三角形.故选：A3(2021云南省下关第一中学高一期中)在中，则直线通过的( )A垂心B外心C重心D内心【答案】D【解析】因为,，设,则，又，在的角平分线上，由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合，故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D.4(2021上海高一专题练习)是平面上一定点

13、，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定经过的( )A外心B内心C重心D垂心【答案】B【解析】因为分别表示向量方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致，又因为，所以，所以向量的方向与的角平分线一致所以点的轨迹一定经过的内心故选：B5(2021吉林延边二中高一月考)点满足则点依次是的( )A重心，外心，垂心B重心，外心，内心C外心，重心，垂心D外心，重心，内心【答案】C【解析】依题意，由得，O到的三个顶点的距离相等，所以O为外心；设的中点为D，则由得，所以N为重心；由得，所以，同理可得，所以P为垂心.故选：C6(2021河北张家口市第一中学高一月考)(多选)下列命题中假命题的是(

14、)A向量与向量共线，则存在实数使B，为单位向量，其夹角为，若，则C若，则D已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.【答案】ACD【解析】A.根据共线向量定理可知，此时，故错误；B.因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故正确；C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；D.因为向量与的夹角为锐角，所以，所以，即，且与不同向，当向量与共线时，设，所以，所以，显然时，与同向，综上可知，的取值范围是，故错误；故选：ACD.7(2021黑龙江齐齐哈尔高一期末)(多选)是的重心，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )AB在方向上的投影向

15、量等于CD的最小值为-1【答案】AC【解析】A：当点为的重心时，如图所示：四边形为平行四边形，根据重心性质可得.则，A正确，B：在方向上的投影为，在方向上的投影向量为，B错误，C：是的重心，C正确，D：当与重合时，与的最小值为矛盾D错误，故选：AC8(2021江苏常熟市海虞中学高一月考)(多选)设，是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有( )ABC与垂直D【答案】CD【解析】对于A：由向量的减法运算以及其几何意义可知：，当，同向时等号成立，故选项A不正确；对于B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以不一定成立，故选项B不正确；对于C：，所以与垂直，故选项C正确；对于D：，故选项D正确；

16、故选：CD.9(2021福建三明一中高一月考)(多选)下列说法正确的是( )A两个向量的夹角的范围是B向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量D若，则【答案】AC【解析】A选项，两个向量的夹角的范围是，A正确.B选项，向量与向量是共线向量，则不一定四点共线，B错误.C选项，两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量，C正确.D选项，无法得出，D错误.故选：AC10(2021江苏苏州市苏州高新区第一中学高一月考)(多选)设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的( )AO为的外心BO为的重心CO为的垂