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1、15. 1 基本概念与计算5. 3 n维向量空间的正交化5. 4 实对称矩阵的相似对角化第五章 特征值与特征向量5. 2 矩阵的相似对角化2一、特征值与特征向量的定义三、特征值与特征向量的计算 5.1 基本概念与计算 二、特征值与特征向量的性质3一、特征值与特征向量的定义例 矩阵4定义设A是n阶方阵，成立， 是方阵A的一个特征值， 是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.若数 和n维非零列向量 ，使得例 则称5二、 性质6特征子空间7三、特征值与特征向量的计算8称为矩阵A的特征方程,定义数是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,特征方程91011解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值

2、.例 求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解.12齐次线性方程组为当 时，系数矩阵自由未知量令 得基础解系常数)是对应于的全部特征向量.13齐次线性方程组为常数)是对应于的全部特征向量.得基础解系14解练习15系数矩阵1617 特征值的重数与其对应的线性无关特征向量个数的关系:(不证,知道结论即可)18例 设 求A的特征值与特征向量. 解19202122例 求矩阵的特征值和全部特征向量.解矩阵A的特征多项式为得基础解系为23常数)是对应于的全部特征向量.得基础解系为常数)是对应于的全部特征向量.对角矩阵以及三角形矩阵的特征值为其主对角元.24 求数量矩阵 的特征值和特征向量.解而所有n维非零向量都是此数量矩阵的特征向量，即特征向量可表示为练习25例 设矩阵 A 可逆, 且 解26例27证思考28设 A2 = A , 证明：A 的特征值为 0 或 1 .证练习29例 设A是奇数阶实矩阵，证30例 设 为矩阵 的特征值, 求 的特征值；若 可逆，求 的特征值.解 31解练习32定理 设n阶方阵 的n个特征值为 则称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）注 A可逆的条件.33证明证毕.34设A为3阶方阵, A的特征值分别为 -1、4、2, 求例 解 35小 结1. 特征值与特征向量的定义2.

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