高考数学考点函数与方程

1、考点09函数与方程（1）结合二次函数的图象，认识函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）依据详尽函数的图象，可以用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点1函数零点的看法关于函数yf(x),xD，我们把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x),xD的零点2函数的零点与方程的根之间的联系函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标即方程f(x)0有实数根?函数yf(x)的图象与x轴有交点?函数yf(x)有零点【注】并不是全部的函数都有零点，比方，函数f(x)=x21，因为方程x21=0无实数根，故该函数无零点3二次

2、函数yax2bxc(a0)的零点000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104零点存在性定理假如函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不停的一条曲线，而且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.【注】上述定理只好判断出零点存在，不可以确立零点个数.5常用结论若连续不停的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；连续不停的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号；(3)函数F(x)f(x)g(x)有零点方程F(x)0有实数根函

3、数yf(x)与yg(x)的图象有交点；(4)函数F(x)f(x)a有零点方程F(x)0有实数根函数yf(x)与ya的图象有交点ay|yf(x)，此中a为常数.二、二分法1二分法的看法关于在区间a，b上连续不停且f(a)f(b)0的函数yf(x)，经过不停地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获取零点近似值的方法叫做二分法2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤以下：确立区间a，b，考据f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；a若f(c)=0，则c就是函数的零点；b若f(a)f

4、(c)0，则令b=c(此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)0，则令a=c(此时零点x0(c，b)判断能否达到精确度：即若|a-b|，则获取零点近似值a(或b)；不然重复.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口考向一函数零点（方程的根）所在区间的判断函数零点的判断方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数yf(x)一定在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内最罕有一个零点方程法：判断方程f(x)0能否有实数解(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用

5、图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.典例1函数fxexx的零点所在的区间为A1B11,022C0,1D1,122【答案】D【规律总结】第一确立函数是连续函数，而后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点常常是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断典例2在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，此刻已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以判定该根所在区间为_.【答

6、案】3,22【分析】令fxx32x1，f3273150，f120，f28530，288故下一步可以判定根所在区间为3,2，故填3,2.221若函数fx2ax1a在区间1,1上存在一个零点，则a的取值范围是Aa1Ba13或a13C1Da11a31x32已知函数fxx213（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x0，2的实数解x0在哪个较小的区间内考向二函数零点个数的判断判断函数零点个数的方法解方程法：令f(x)=0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不但要求函数在区间，上是连续不停的曲线

7、，且f()(b)0，还必abaf须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确立函数有多少个零点或零点值所拥有的性质数形结合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，此中交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点.典例3函数f(x)=2xlg(x1)-2的零点有A0个B1个C2个D3个【答案】B【分析】解法一：因为f(0)=10-2=-10，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点又f(x)=2xlg(x1)-2在(-1，)上为增函数，故f(x)=0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点解法二：在同一坐标系

8、中作出h(x)=2-xx1)的图象，以以下图，2和g(x)=lg(由图象可知h(x)=2-2x和g(x)=lg(x1)有且只有一个交点，即f(x)=2xlg(x1)-2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点23函数fxlog2xx的零点个数为A1B2C3D4考向三函数零点的应用问题高考对函数零点的观察多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出此刻解答题中常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常有种类及解题策略1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围依据函数零点或方程的根求解参数的要点是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，获取参数所

9、满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用2已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般状况下，常利用数形结合法，把此问题转变为求两函数图象的交点问题3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，平常先比较f(a)、f(b)与0的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确立零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点地址关系确立大小.典例4b,ab1(x21)(4x)，若函数对任意实数a，b定义运算“?”：abb,设fxa,a1fxk恰有三个零点，则实数k的取值范围是A(-2,1)B0,1C

10、-2,0)D-2,1)【答案】D421)(4x)14x,x或x3x,(x2【分析】由新定义可得f(x)1,(x2，即f(x)x21,2x.其图象如图x21)(4x)13所示，所以由yfxk恰有三个零点可得，-1-k2，所以-2k1.应选D.1x1x1kx恰有两个不一样的实根时，实数k的取值范围是4已知函数fx5，则方程fxlnx(x1)1B1A0,0,e5C1,1D1,15e5e1以下函数中，既是偶函数又存在零点的是Ayx21BylgxCycosxDyex12已知函数fx2log3x，在以下区间中包含fx零点的是xA0,1B1,2C2,3D3,43命题p:7a1，命题q:函数fx2x1a在1,

11、2上有零点，则p是q的2xA充分必需条件B充分不用要条件C必需不充分条件D既不充分也不用要条件4已知函数fxx2,xafx2x恰有三个不一样的零点，则实数a的取值x25x，若函数gx2,xa范围是A1,1B1,2C2,2D0,25设方程10 xlgx两个根分别为x1,x2，则A0 x1x21Bx1x21Cx1x21Dx1x206已知函数fx满足fx1fx1，且fx是偶函数，当x1,0时，fxx2，若在区间1,3内，函数gxfxlogax2有4个零点，则实数a的取值范围是A1,5B1,5C5,D5,7已知函数fxx24x5,x1，若关于x的方程fxkx1恰有四个不相等的实数根，则实lnx,x12

12、数k的取值范围是A1,eB1,e22C1,eD1,e2e2e8已知定义域为R的函数fx既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x0,3时，fxsinx，2则函数fx在区间0,6上的零点个数是_9已知函数fx2x1,x0，若函数gxfx3m有3个零点，则实数m的取值范围是x22x,x0_10已知函数fx2mxm1a0.ax（1）若f10，判断函数fx的零点个数；2m，函数fx恒有两个相异的零点，务实数a的取值范围；（）若对任意实数（3）已知x1,x2R且x1x2，fx1fx2，求证：方程fx1fx1fx2在区间x1,x22上有实数根.x，x，1（2018年高考新课标I卷理科）已知函数fxe0 xf

13、xxa若g（x）存在2，g，lnxx0个零点，则a的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）2（2017年高考新课标卷理科）设函数fxcos(x)，则以下结论错误的选项是3Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x8对称3f(x)的一个零点为xD单调递减C6f(x)在(,)23（2017年高考新课标卷理科）已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有独一零点，则a=1B1A32C1D124(2016年高考天津卷理科)已知函数fxx24a3x3a,x0logax11,x0(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|fx|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是A(7,

14、2B2,34334C1,2U3D1,2)U33343345（2018年高考新课标卷理科）函数fxcos3x在0，的零点个数为_66（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=x4,x，当=2时，不等式f(x)0的解集x24x3,x_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_72018年高考天津卷理科）已知a0，函数fx2axa,x0,若关于x的方程fxax（x2x22ax2a,x0.恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_.8（2015年高考湖北卷理科）函数fx4cos2xcos(x)2sinx|lnx1|的零点个数为22_9（2017年高考江苏卷理科）设f(x)是定义在R上且周期为1的函

15、数，在区间0,1)x2,xD,上，f(x)D,x,xn1，nN*，则方程f(x)lgx0的解的个数是_此中会集Dxxn10（2016年高考山东卷理科）已知函数fxx,xm,，此中m0若存在实数b，使x22mx4mxm得关于x的方程fxb有3个不一样的根，则实数m的取值范围是_变式拓展【名师点睛】本题主要观察函数的零点存在性定理，一次函数的性质，分类谈论的数学思想等知识，意在观察学生的转变化归能力和计算求解能力.求解时，由题意分类谈论a0和a0两种状况即可求得最后结果.2【答案】（1）见分析；（2）1,32【分析】（1）f010，f10，213f0f20，13又函数fxx3x21是连续函数，3由

16、函数的零点存在性定理可得方程fx0在区间0,2内有实数解（2）取x11021，得f10，由此可得f1f21210，则下一个有解区间为391,2，1123310，由此可得f131再取x22，得f8f0，则下一个有解区间222243为1,，综上所述，所务实数解x0在较小区间1,3内.2【思路分析】（1）经过f0与f2的乘积小于0，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，转变求解即可3【答案】Clog2x2x，则原问题等价于求解函数ylog2x与【分析】函数的零点满足：x，即log2xx的交点的个数，在同一个平面直角坐标系中绘制两个函数的图象以以下图，3个，故函数fx2

17、观察可得，函数图象的交点个数为log2xx的零点个数为3.本题选择C选项.【名师点睛】先将原问题转变为两个函数图象的交点个数问题，再绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法：直接求零点：令f(x)0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不但要函数在区间a，b上是连续不停的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确立函数有多少个零点利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点故答案为C.【名师点睛】（1）本题观察了函数与方程的关系，

18、函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象进行解答即由方程f（x）=kx恰有两个不一样的实数根，等价于y=f（x）与y=kx的图象有2个不一样的交点，数形结合求出k的取值范围（2）零点问题是高中数学的一个重要问题，常用的方法有方程法、图象法、方程+图象法.考点冲关1【答案】C【分析】选项A中，函数无零点，不合题意，故A不正确.选项B中，函数不是偶函数，不合题意，故B不正确.选项C中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C正确.选项D中，函数不是偶函数，不合题意，故D不正确.综上可知选C.2【答案】Cfx2【分析】由题意，函数log3x为单调递减函数，且2x21flog321log320,f3

19、0，所以f2f30，所以函数2log33233f2log3x在区间2,3Cx上存在零点，应选x【名师点睛】本题观察了函数与方程的综合应用，解答时依据函数的单调性，利用函数的零点存在性定理判断是解答的要点，侧重观察学生的推理与运算能力4【答案】B【分析】由题意得gxx2,xa，若gx0，则应有x2或x1或x2，若函数x23x2,xagx有三个不一样的零点，则应满足1a2，应选择B【名师点睛】函数yfx的零点等价于方程fx0的实根，等价于函数yfx的图象与x轴交点的横坐标.本题先画出函数gx的图象，再确立分点a的取值范围，这里要特别注意端点值能否获得等号.5【答案】A【分析】作出函数y10 x,y

20、lgx的图象，由图象可知，两个根一个小于1，一个区间1,0内，不如设x11,1x20，则10 x1lgxlgx,10 x2lgxlgx2，112两式相减得：lgx1(lgx2)lgx1lgx2lgx1x210 x110 x20，即0 x1x21，应选A6【答案】D【分析】由题意可知函数fx是周期为2的偶函数，结合当x1,0时，fxx2，绘制函数fx的图象以以下图所示，函数gx有4个零点，则函数fx与函数ylogax2的图象在区间1,3内有4个交点，结合函数图象可得：当x3时，loga321，求解对数不等式可得：a5，即实数a的取值范围是5,.本题选择D选项.【名师点睛】由题意确立函数fx的性质

21、，而后将原问题转变为两个函数的图象有4个交点的问题求解实数a的取值范围即可.函数零点的求解与判断方法：直接求零点：令f(x)0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不但要函数在区间a，b上是连续不停的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确立函数有多少个零点利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点7【答案】C【分析】方程fxkx1yfx的图象与ykx1恰有四个不相等的实数根转变为的图象有四22个不一样的交点，以以下图，直线ykx1过定点0,1，且过

22、点1,0时，函数yfx的图象与ykx1的图象有三个不222101k2同的交点，此时；012设直线ykx1与ylnx(x1)切于点x0,lnx0，则过该切点的切线方程为ylnx01xx0，2x0把点0,1代入切线方程，可得1lnx01，解得x0e，所以切点为e,1，则切线的斜222率为1e，ee所以方程fxkx1恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是1,e，应选A22e【名师点睛】本题主要观察了根的存在性与根的个数的判断问题，此中把方程fxkx1恰有四个2不相等的实数根转变为yfx的图象与ykx1结合函数的图象求解是的图象有四个不一样的交点，2解答的要点，侧重观察了转变与化归的思想方法，以

23、及数形结合思想的应用8【答案】7【分析】因为函数fx的定义域为R的奇函数，且当x0,3时，fxsinx，所以2f00,f1f10，又周期为3，以以下图，画出函数fx的函数图象，由图象可知，在区间0,6上的零点为0,1,2,3,4,5,6，所以共有7个零点.【名师点睛】本题观察了三角函数图象、周期函数、奇函数和零点的综合应用，要点是画出函数图象，利用图象来判断零点个数，属于难题.依据定义域为R和奇函数的定义可得f00，利用周期为3和x0,3时，fxsinx可画出函数图象，依据图象判断零点个数.29【答案】1,03【分析】作出函数yfx的图象，以以下图，因为gxfx3m有三个零点，所以03m1，解

24、得1m的取值范围是m0，即实数3,0【名师点睛】作出函数yfx的图象，结合函数的图象，即可求解本题主要观察了函数的零点问题的判断，此中解答中把函数的零点个数问题转变函数的图象与x轴的交点个数，结合函数的图象求解是解答的要点，侧重观察了转变思想方法，以及数形结合思想方法的应用10【答案】（1）见分析；（2）0a1；（3）见分析.【分析】（1）Qf10,amm10,a1，fxx2mxm1，m24m1m22,当m2时，0，函数fx有一个零点；当m2时，0，函数fx有两个零点.（2）已知a0，则m24am10关于mR恒成立,即m24am4a0恒成立，16a216a0,从而解得0a1.故实数a的取值范围

25、是(0,1).【思路点拨】（1）利用鉴识式判断二次函数的零点个数；（2）零点个数问题转变为图象交点个数问题，利用鉴识式办理即可；（3）利用零点的定义，将方程fx1fx1fx2在区间x1,x2上有实数根，转变为函数12gxfxfx2x1,x2上有零点，结合零点存在性定理可以证明.fx1在区间2【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：学！1）直接法：直接依据题设条件成立关于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；2）分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域问题加以解决；3）数形结合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形结合求解直通高考1【答案】C

26、【分析】画出函数fx的图象，yex在y轴右边的图象去掉，再画出直线yx，以后上下挪动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，而且向下可以无穷挪动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程fxxa有两个解，也就是函数gx有两个零点，此时满足a1，即a1，应选C【名师点睛】该题观察的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转变为方程解的个数问题，将式子移项变形，转变为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线挪动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：第一依据g（x）存在2个零点，获取方程fxxa0

27、有两个解，将其转变为fxxa有两个解，即直线yxa与曲线yfx有两个交点，依据题中所给的函数分析式，画出函数fx的图象，再画出直线yx，并将其上下挪动，从图中可以发现，当a1时，满足yxa与曲线yfx有两个交点，从而求得结果.2【答案】D【分析】函数f(x)的最小正周期为2f(x)的周期为T2kkZk1T2，取，则函数1可得函数fx的一个周期为2，选项A正确；函数f(x)图象的对称轴为k3xZ，即xkkZ，取，可得y=f(x)的图象关kk33于直线x8对称，选项B正确；3fxcosxcosx，函数f(x)的零点满足，即xkZ333k2xkkZ，取k0，可得f(x)的一个零点为x，选项C正确；6

28、6当x,时，x5,4，函数f(x)在该区间内不但调，选项D错误.2363应选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，则最小正周期为T2yAsinx或；奇偶性的判断要点是看分析式能否为yAcosxb的形式.（2）求fxAsin(x)0的对称轴，只要令xkkZ，求x即可；求f(x)2的对称中心的横坐标，只要令xk(kZ)即可.3【答案】C【分析】函数f(x)的零点满足x22xaex1ex1，x1ex1x1x1ex11e2x11设gxe，则gxeex1x1，ee当gx0时，x1；当x1时，gx0，函数gx单调递减；当x1时，gx0，函数g

29、x单调递加，当x1时，函数gx获得最小值，为g12.设hxx22x，当x1时，函数hx获得最小值，为1，若a0，函数hx与函数agx没有交点；若a0，当ag1h1时，函数hx和agx有一个交点，即a21，解得a1.应选C.2【名师点睛】函数零点的应用主要表此刻利用零点求参数范围，若方程可解，经过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不行解，则将问题转变为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表现了数形结合思想的应用.42a243a244a27a34a14a3，鉴识式1因为1a3，所以034当3a-20，即a2时，方程x21x3a20有一个正实根、一个负实

30、根，满足要求；22a3当3a-2=0，即a=2时，方程x222a1x3a20的一个根为0，一个根为2，满足要求；33当3a-20，即2a3时，因为-(2a-1)0，此时方程x222a1x3a20有两个负实34根，不满足要求；当a=3时，方程x222a1x3a20有两个相等的负实根，满足要求4综上可知，实数的取值范围是123a,U应选C3345【答案】3【分析】Q0 x，3x19，由题可知3x3或5，解得，3x3x666626262,4或7，故有3个零点.999【名师点睛】本题主要观察三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，第一求出3x的范6围，再由函数值为零，获取3x的取值可得零点个数

31、.66【答案】(1,4)1,3U4,【名师点睛】依据分段函数，转变为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先谈论一次函数零点的取法，再对应确立二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：直接法：直接依据题设条件成立关于参数的不等式，再经过解不等式确立参数范围；分别参数法：先将参数分别，转变为求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对分析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，而后数形结合求解7【答案】4，8【分析】分类谈论：当x0时，方程fxax即x22axaax，整理可得：x2ax1，很明显x1不是方程的实数解，则ax2；x1当x0时，方程fxax即x22ax2aax，整理可得：x2ax2，很明显x2不是方程的实数解，则ax2.x2x2令gxx1