高中数学必修二 (教案)复数的四则运算

1、 8/8复数的四则运算【第一课时】复数的加、减运算及其几何意义教学重难点教学目标核心素养复数加法、减法的运算掌握复数代数形式的加法、减法运算法则数学运算复数加法的几何意义理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义直观想象【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2复数的加、减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1：复数的加、减法运算（1）计算：（56i）（2i）（34i）；（2）设z1x2i，z23yi（x，yR），且z1z256i，求z1z2解：（1）原式（523）（614）i11i（2）因为z1x2i，z23yi，z1z256i，所

2、以（3x）（2y）i56i，所以eq blc(avs4alco1(3x5，,2y6，)所以eq blc(avs4alco1(x2，,y8，)所以z1z2（22i）（38i）（23）2（8）i110ieq avs4al()解决复数加、减运算的思路两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）探究点2：复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，32i，24i（1）求eq o(AO,sup6(

3、)表示的复数；（2）求eq o(CA,sup6()表示的复数解：（1）因为eq o(AO,sup6()eq o(OA,sup6()，所以eq o(AO,sup6()表示的复数为（32i），即32i（2）因为eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(CA,sup6()表示的复数为（32i）（24i）52i互动探究：1变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数解：因为eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，所以eq o(OB,sup6()表示的复数为（32i）（24i）16i所以点B所对应的复

4、数为16i2变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数解：由题意知，点M为OB的中点，则eq o(OM,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，3)，所以点M对应的复数为eq f(1,2)3ieq avs4al()复数加、减法几何意义的应用技巧（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则三、课堂总结1复数加、减法的运算法则及加法运算律（1）加、减法的运算法则设z1abi，z

5、2cdi（a，b，c，dR）是任意两个复数，则z1z2（ac）（bd）i，z1z2（ac）（bd）i（2）加法运算律对任意z1，z2，z3C，有交换律：z1z2z2z1结合律：（z1z2）z3z1（z2z3）2复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z1abi，z2cdi（a，b，c，dR）对应的向量分别为eq o(OZ1,sup6()，eq o(OZ2,sup6()，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1z2对应的向量是eq o(OZ,sup6()，与z1z2对应的向量是eq o(Z2Z1,sup6()四、课堂检测1（63i）（3i1）（22i）的结果为（）A53iB35iC78iD72i解

6、析：选C（63i）（3i1）（22i）（612）（332）i78i2已知复数z1（a22）3ai，z2a（a22）i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为_解析：由z1z2a22a（a23a2）i是纯虚数，得eq blc(avs4alco1(a22a0，,a23a20)a2答案：23已知复数z12i，z212i（1）求z1z2；（2）在复平面内作出复数z1z2所对应的向量解：（1）由复数减法的运算法则得z1z2（2i）（12i）1i（2）在复平面内作复数z1z2所对应的向量，如图中eq o(OZ,sup6()【第二课时】复数的乘、除运算教学重难点教学目标核心素养复数的乘除运算掌握复数乘除运算的运

7、算法则，能够进行复数的乘除运算数学运算复数乘法的运算律理解复数乘法的运算律逻辑推理解方程会在复数范围内解方程数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1复数的乘法和除法运算法则各是什么？2复数乘法的运算律有哪些？3如何在复数范围内求方程的解？二、新知探究探究点1：复数的乘法运算（1）（1i）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)（1i）（）A1eq r(3)iB1eq r(3)iCeq r(3)iDeq r(3)i（2）已知a，bR，i是虚数单位，若ai与2bi互为共轭复数，则（abi）2（）A54iB54iC34iD34i（3）把复数z

8、的共轭复数记作eq o(z,sup6()，已知（12i） eq o(z,sup6()43i，求z解：（1）选B（1i）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)（1i）（1i）（1i）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)（1i2）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)1eq r(3)i（2）选D因为ai与2bi互为共轭复数，所以a2，b1，所以（abi）2（2i）234i（3）设zabi（a，bR），则eq

9、 o(z,sup6()abi，由已知得，（12i）（abi）（a2b）（2ab）i43i，由复数相等的条件知，eq blc(avs4alco1(a2b4，2ab3，)解得a2，b1，所以z2ieq avs4al()复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成1，并将实部、虚部分别合并多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（abi）2a22abib2i2a2b22abi，（abi）3a33a2bi3ab2i2b3i3a33ab2（3a2bb3）i 探究点2：复数的除法运算计算：（1）eq f(（12i）23（1i）,2i)；（2）eq f(（14i）（1

10、i）24i,34i)解：（1）eq f(（12i）23（1i）,2i)eq f(34i33i,2i)eq f(i,2i)eq f(i（2i）,5)eq f(1,5)eq f(2,5)i（2）eq f(（14i）（1i）24i,34i)eq f(53i24i,34i)eq f(7i,34i)eq f(（7i）（34i）,（34i）（34i）)eq f(2128i3i4,25)eq f(2525i,25)1ieq avs4al()复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算探究

11、点3：i的运算性质（1）复数zeq f(1i,1i)，则z2z4z6z8z10的值为（）A1B1CiDi（2）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)eq sup12(2 019)等于_解析：（1）z2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)eq sup12(2)1，所以111111（2）eq blc(rc)(avs4alco1(f(1i,1i)eq sup12(2 019)eq blcrc(avs4alco1(f(（1i）（1i）,（1i）（1i）)eq sup12(2 019)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2i,2)eq sup12(2

12、019)i2 019（i4）504i31504（i）i答案：（1）B（2）ieq avs4al()（1）i的周期性要记熟，即inin1in2in30（nN*）（2）记住以下结果，可提高运算速度（1i）22i，（1i）22ieq f(1i,1i)i，eq f(1i,1i)ieq f(1,i)i探究点4：在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程（1）x250；（2）x24x60解：（1）因为x250，所以x25，又因为（eq r(5)i）2（eq r(5)i）25，所以xeq r(5)i，所以方程x250的根为eq r(5)i（2）法一：因为x24x60，所以（x2）22，因为（eq r(2)i）

13、2（eq r(2)i）22，所以x2eq r(2)i或x2eq r(2)i，即x2eq r(2)i或x2eq r(2)i，所以方程x24x60的根为x2eq r(2)i法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi（a，bR且b0），则（abi）24（abi）60，所以a22abib24a4bi60，整理得（a2b24a6）（2ab4b）i0，所以eq blc(avs4alco1(a2b24a60，,2ab4b0，)又因为b0，所以eq blc(avs4alco1(a2b24a60，,2a40，)解得a2，beq r(2)所以x2

14、eq r(2)i，即方程x24x60的根为x2eq r(2)ieq avs4al()在复数范围内，实系数一元二次方程ax2bxc0（a0）的求解方法（1）求根公式法当0时，xeq f(br(b24ac),2a)当0时，xeq f(br(（b24ac）)i,2a)（2）利用复数相等的定义求解设方程的根为xmni（m，nR），将此代入方程ax2bxc0（a0），化简后利用复数相等的定义求解三、课堂总结1复数乘法的运算法则和运算律（1）复数乘法的运算法则设z1abi，z2cdi（a，b，c，dR），则z1z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）i（2）复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z

15、3C，有交换律z1z2z2z1结合律（z1z2）z3z1（z2z3）乘法对加法的分配律z1（z2z3）z1z2z1z32复数除法的运算法则设z1abi，z2cdi（cdi0）（a，b，c，dR），则eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(acbd,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i（cdi0）名师点拨对复数除法的两点说明（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开四、课堂检测1若复数（1bi）（2i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b

16、（）A2Beq f(1,2)Ceq f(1,2)D2解析：选D因为（1bi）（2i）2b（2b1）i是纯虚数，所以b22已知i为虚数单位，则复数eq f(i,2i)的模等于（）Aeq r(5)Beq r(3)Ceq f(r(3),3)Deq f(r(5),5)解析：选D因为eq f(i,2i)eq f(i（2i）,（2i）（2i）)eq f(i（2i）,5)eq f(1,5)eq f(2,5)i，所以|eq f(i,2i)|eq f(1,5)eq f(2,5)i|eq r(（f(1,5)）2（f(2,5)）2)eq f(r(5),5)，故选D3计算：（1）eq f(22i,（1i）2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),1i)eq sup1