2015应用数理统计青4-1方差分析

1、第四章 方差分析 1.单因素方差分析2.双因素方差分析2方差分析(Analysis of variance简称ANOVA)前面已经讨论两个均值相等的假设检验问题，但在统计分析与决策中，常常遇到两个以上均值是否相等的判断与检验问题，这便需要通过方差分析来解决。方差分析是一种实用的统计方法，一般按误差来源作平方和分解，再将因素平方和、误差平方和、总平方和作比较分析。3方差分析 方差分析又叫变异(差异）分析，1928年由英国统计学家Ronald Fisher爵士首先提出来的，在无效假设成立的前提下检验统计量F的分布规律，当时的检验统计量记做Z，1934年，WSnedecor转换了另一个更容易计算的统

2、计量，为了纪念Fisher的贡献，将检验统计量命名为F，所以方差分析又叫F检验。4方差分析的用途1 用于两个或多个均数间的比较2 分析两个或多个因素的交互作用3 回归方程的假设检验方差齐性检验5方差分析的基本概念 在方差分析中，我们将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因素的水平。 只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。61 单因素方差分析方差分析的最基本的形式就是单因素分析。单因素方差分析可用于检验两个以上的总体均值相等的原假设。假定检验总体均值是正态分布，总体方差是相等的，并且随机样本是

3、相互独立的。71 单因素方差分析问题试验次数因素水平 12.niA1x11x12.X1n1A2x21x22.x2n2.Aixi1xi2.xini.Aaxa1xa2.xana8 假定各组数据分别是来自相互独立的正态总体，且方差相等，观察值是分别从总体中随机抽取的样本. 通过各个总体均值是否相等的检验，判断总体均值是否相等。 应用方差分析时要符合两个前提条件：1）正态性：各水平的观察数据能够看作是从服从正态分布的总体中随机抽取的样本。 2）同方差性：各组观察数据是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取的。92 统计分析原理单因素A有a个水平A1 , A2, . , Aa ,在水平Ai (i=1,2,

4、 . ,a)下,进行ni次独立试验，试验指标的观察值为：10试验指标的观察值试验次数因素水平 12.niA1x11x12.x1n1A2x21x22.x2n2.Aixi1xi2.xini.Aaxa1xa2.xana111）统计模型 在水平Ai (i=1,2, . ,a)下来自总体XiN(i, 2)的样本为 Xi1 , Xi2 , . , Xini 线性统计模型为121）统计模型总平均值第i个水平Ai的效应i = i -显然有统计模型变为132）建立假设原假设 H0：m1= m2 = . = mr对立假设 H1：mi (i=1,2, . ,r)不完全相等142）建立假设方差分析：就是检验统计模型中

5、a个 总体N(i, 2)中各i的相等性原假设 H0：m1= m2 = . = ma对立假设 H1：mi mj,至少有一对i,j假设等价于： H0：1= 2 = . = a=0 H1：i 0,至少有一个i153）总变差的分解1)总变差在水平Ai下的样本均值样本数据的总平均值总变差（离差）平方和163）总变差的分解2)组间变差：各处理组间的均值各不相同，这种差异叫组间（变差）变异，反映了处理因素。因素A效应平方和173）总变差的分解 3)组内变差：各个处理组内的观察值也大小不一，这种差异叫组内变差（变异），反映了随机误差的大小。随机误差平方和183）总变差的分解193）总变差的分解203）总变差的

6、分解则 ST= SA + SE ST称为总变差 SA称为因素A效应平方和 SE称为误差平方和214）统计分析若H0真，则 xij N(, 2)即所有样本可看作来自同一正态总体.224）统计分析234）统计分析244）统计分析即254）统计分析264）统计分析274）统计分析由于所以在H0：i=0成立的条件下：可证284）统计分析记对于给定的，查出F(a-1,n-a)，由样本值计算出SA , SE ，从而算出F值。若F F(a-1,n-a)，则拒绝H0，若F 4.43= F0.01(4,20) ，故拒绝原假设H0 ，接受H1： i j说明棉花的百分比对人造纤维的抗拉强度有影响。 第四章 方差分析

7、2无重复试验的双因素方差分析382 双因素方差分析在许多实际问题中，往往不能只考虑一个因素的各水平的影响，还必须同时考虑几种因素的相互影响作用。研究两种因素对试验指标的影响，称为双因素方差分析。不考虑交互作用影响采用无重复双因素方差分析，考虑交互作用影响采用有重复双因素方差分析。39无重复试验的双因素方差分析因素A有a个水平A1 , A2, . , Aa ,因素B有b个水平B1 , B2, . , Bb ,在每一个组合水平 (Ai, Bj)下,进行1次试验，试验指标的观察值为：401）数据表B(j)A(i) B1B2.Bj.BbxiA1x11x12.x1j.x1bx1A2x21x22.x2j.

8、x2bx2.Aixi1xi2.xij.xibxi.Aaxa1xa2.xaj.xabxaxjx1x2.xj.xbx412）统计模型设xijN(ij, 2)，i=1,2, . ,a, j=1,2, . ,b 线性统计模型为记ij = +i + j ,i为因素A的Ai水平效应,j为因素B的Bj水平效应,422）统计模型线性统计模型变为432）统计模型检验的假设为：443）总变差的分解1)总变异在水平Ai下的样本均值在水平Bj下的样本均值样本数据的总平均值总离差平方和453）总变差的分解2)因素间变异：各因素间的均值各不相同，这种差异叫因素间变异，反映了处理因素的作用。因素A效应平方和因素B效应平方和

9、463）总变差的分解3)组内变异：各个因素组内的观察值也大小不一，这种差异叫组内变异，反映了随机误差的大小。随机误差平方和473）总变差的分解483）总变差的分解则ST= SA + SB + SE 494）统计分析ST的自由度为ab-1,SA的自由度为a-1,SB的自由度为b-1,SE的自由度为(ab-1)-(a-1)-(b-1) = (a-1)(b-1)504）统计分析均方值514）统计分析均方值期望524）统计分析在HA0：i=0 ，HB0：i=0成立的条件下：可证534）统计分析统计量对于给定的，查出F(a-1, (a-1)(b-1)，F(b-1, (a-1)(b-1)，由样本值计算出S

10、A , SB , SE ，从而算出F1 , F2值。若F1 F(a-1,(a-1)(b-1)，则拒绝HA0，若F2 F(b-1, (a-1)(b-1)，则拒绝HB0 。545）双因素方差分析表无重复试验的双因素方差分析表方差来源平方和自由度均方F 比因素ASAa-1因素BSBb-1误差ESE(a-1)(b-1)总和TSTab-155简化计算与列表记56简化计算与列表57使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验得火箭射程(单位：海里)列于表，试分析各种燃料(Ai)与各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响？（=0.05）6）双因素方差分析问题举例58 BjAiB1B2B3xiA15825626531797A24915415161548A36017093921702A47585824871827xj2432239420486874=x 59解这是双因素试验，不考虑交互作用。设火箭射程为 xij= + i + j + ij , i=1,2,3,4, j=1,2,3原假设HA0：1 = 2 = 3 = 4 = 0 HB0： 1 = 2 = 3 = 0对立假设HA1：I 0 至少有一个i HB1：j 0 至少有一个j这里a=4，b=3，ab=1260 61火箭射程方差分析表为 方差来源平方和自由度均方F 比燃料43推