正多边形和圆20131027

1、24.3 正多边形和圆正多边形和圆ABCDE你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.问题1，什么样的图形是正多边形？各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.想一想：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？ 弦相等（多边形的边相等）弧相等 圆周角相等（多边形的角相等） 多边形是正多边形ABCD1: 把一个圆5等分, 并依次连接这些点,得到正五边形ABCDE.证明：AB=BC=CD=DE=EAABCDEAB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3ABA=B同理B=C=D=EA=B=

2、C=D=E又顶点A、B、C、D、E都在O上五边形ABCDE是O的 内接正五边形.O五边形ABCDE的 外接圆.EFCD.O中心角半径R边心距r正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.正多边形的半径: 外接圆的半径正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.二. 正多边形有关的概念 如图,把O分成把O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE. AB=BC=CD=DE=EA, A=B.ABCDEO同理B=C=D=E.又五边形ABCDE的顶点都在O上, 五边形ABCD是O的内接正五边形, O是五边形ABCD的外接圆.1

3、：我们以圆内接正五边形为例证明.2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形A1A2A3A4An是O的内接多边形,且A1A2=A2A3=A3A4=An1An,多边形A1A2A3A4An是正多边形.A1AAAAAAAnO先说A1正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.O中心角半径R边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.EFCD.O中心角ABG边心距把AOB分成2个全等的直角三角形设

4、正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.Ra正n边形的一个内角的度数是_;中心角是_;正多边形的中心角与外角的大小关系是_.相等EFCD.O中心角ABGRa正n边形的一个内角的度数是_;中心角是_;正多边形的中心角与外角的大小关系是_.相等例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l =46=24(m).在RtOPC中,OC=4, PC=利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积OABCDEFRPr练习1. 矩形是正

5、多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.解答：3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.解：作等边ABC的BC边上的高AD,垂足为D连接OB，则OB=R在RtOBD中 OBD=30,边心距OD=在RtABD中 BAD=30,ABCDO解：连接OB，OC 作OEBC垂足为E， OEB=90 OBE= BOE=45在RtOBE中为等腰直角三角形ABCDOE抢答题：1、O是正 圆与圆的圆心。ABC的中心，它是ABC的2、OB叫正ABC的，它是正ABC的

6、 圆的半径。 3、OD叫作正ABC的它是正ABC的 圆的半径。ABC.OD半径外接边心距内切外接内切4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做正方形ABCD的ABCD.OE中心边心距6、O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的 ，它是正五边形ABCDE的圆的半径。7、 AOB叫做正五边形ABCDE的角，它的度数是DEABC.OF边心距内切中心72度8、图中正六边形ABCDEF的中心角是它的度数是9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度解答：正六边形的半径与边

7、长数量关系是相等因为：正六边形的中心角是60度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边长与半径相等。 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120 用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或30角的三角板度量，使BAO=CAO=30 AOCB 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？ABCDO只要作出已知O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与O相交，或作各中心角的角平分线与O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEFD 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形. 先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形 ABCDMN达标检测：1、判断题。各边都相等的多边形是正多边形。 （ ）一个圆有且只有一个内接正多边形。 （