高中数学必修二 6.3.1 平面向量基本定理 导学案

1、6.3.1 平面向量基本定理1.理解平面向量基本定理及其意义；2.会用基底表示平面内某一向量；3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数1，2，使a 2基底：不共线的向量e1，e2，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底一、探索新知探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向

2、分解，你有什么发现？思考1.若向量与共线，还能用表示吗？思考2.当是零向量时，还能用表示吗？思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 实数1，2，使a 。例1.如图，不共线，且，用表示。思考：观察你有什么发现？例2.如图，CD是的中线，用向量方法证明是直角三角形。2.平面向量基本定理及其补充说明：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 。我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基

3、底后，是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同1已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()Aeq o(AB,sup6()，eq o(DC,sup6()Beq o(AD,sup6()，eq o(BC,sup6()Ceq o(BC,sup6()，eq o(CB,sup6()Deq o(AB,sup6()，eq o(DA,sup6()2已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线 B共线 C相等 D不确定3如图，在矩形ABCD中，若eq o(BC,sup6()5e1，eq o(DC,su

4、p6()3e2，则eq o(OC,sup6()()Aeq f(1,2)(5e13e2)Beq f(1,2)(5e13e2)Ceq f(1,2)(3e25e1)Deq f(1,2)(5e23e1)4已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq o(CD,sup6()eq f(4,3)eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()，则()Aeq f(2,3)Beq f(1,3)Ceq f(1,3)Deq f(2,3)5已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.这节课你的收获是什么？ 参考答案：探究：如图，思考1.当向量与共

5、线时，。当向量与共线时，。思考2.思考3：假设，即，所以，所以唯一。例1.解：因为，所以思考4.如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。例2.证明：设所以，所以。于是是直角三角形。达标检测1.【解析】由于eq o(AB,sup6()，eq o(DA,sup6()不共线，所以是一组基底【答案】D2.【解析】ab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线【答案】B3.【解析】eq o(OC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(DC,sup6()

6、eq f(1,2)(5e13e2)【答案】A4.【解析】A，B，D三点共线，存在实数t，使eq o(AD,sup6()teq o(AB,sup6()，则eq o(CD,sup6()eq o(CA,sup6()t(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()，即eq o(CD,sup6()eq o(CA,sup6()t(eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()(1t)eq o(CA,sup6()teq o(CB,sup6()，eq blc(avs4alco1(1tf(4,3)，,t，)即eq f(1,3).【答案】C5.【解】a，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2