高中数学必修二 6.3.1 平面向量的基本定理（含答案）

1、 6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1 HYPERLINK ，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作eq

2、 o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则AOB (0180)叫做向量a与b的夹角范围：向量a与b的夹角的范围是0，180当0时，a与b同向当180时，a与b反向(2)垂直：如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.【合作探究】探究一 基底的概念 【例1】下面说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使ae1e2成立的实数对一定是唯一的A BC D答案B解析因为不共线的任意两个向量均可作为平面

3、的一组基底，故正确，不正确；由平面向量基本定理知正确综上可得正确归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.【练习1】设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2答案B解析：在B中，因为6e18e22(3e14e2)，所以(3e14e2)(6e18e2)所以3e14e2和6e18e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底探究二

4、 用基底表示向量【例2】如图所示，在OAB中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，M、N分别是边OA、OB上的点，且eq o(OM,sup6()eq f(1,3)a，eq o(ON,sup6()eq f(1,2)b，设eq o(AN,sup6()与eq o(BM,sup6()交于点P，用向量a、b表示eq o(OP,sup6().答案eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.分析利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定1，2.解eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MP,sup6()，eq o(OP,sup6

5、()eq o(ON,sup6()eq o(NP,sup6()，设eq o(MP,sup6()meq o(MB,sup6()，eq o(NP,sup6()neq o(NA,sup6()，则eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()meq o(MB,sup6()eq f(1,3)am(beq f(1,3)a)eq f(1,3)(1m)amb，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()neq o(NA,sup6()eq f(1,2)(1n)bna.a与b不共线，eq blcrc (avs4alco1(f(1,3)1mn，,f(1,2)1nm，)eq blcrc (avs4

6、alco1(mf(2,5)，,nf(1,5).)eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.归纳总结：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，试以a，b为基底表示eq o(DE,sup6()、eq o(BF,sup6().答案eq o(DE,sup6()=aeq f(1,2)b; eq o

7、(BF,sup6()beq f(1,2)a解：四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(BE,sup6()，eq o(CD,sup6()eq o(BA,sup6()2eq o(CF,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)b，eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a.eq o(DE,sup6()eq

8、 o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()baeq f(1,2)baeq f(1,2)b.eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(CF,sup6()beq f(1,2)a.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，则的值为()

9、A.eq f(5,3) B.eq f(1,2)C.eq f(1,2) D.eq f(2,3)答案D解析在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，在ABD中，BDeq f(1,2)AB1.又BC3，BDeq f(1,3)BC，eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6().M为AD的中点，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(BC,sup6().eq o(AM

10、,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq f(1,2)，eq f(1,6)，eq f(2,3).归纳总结：应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.【练习3】如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求AP : PM与BP : PN的值答案 AP:PM4:1，BP:PN3:2解：设eq o(BM,sup6()e1，eq o(CN,sup6()e2，则eq o(AM,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CM,sup6()3e2e1，eq o(BN,sup6()eq o(

11、BC,sup6()eq o(CN,sup6()2e1e2.因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数，使得eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()e13e2，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()2e1e2.故eq o(BA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()(2)e1(3)e2.又eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blcrc (avs4alco1(22，,33，)解得e

12、q blcrc (avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5)，)所以eq o(AP,sup6()eq f(4,5)eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq f(3,5)eq o(BN,sup6()，所以AP:PM4:1，BP:PN3:2.课后作业A组 基础题一、选择题1等边ABC中，eq o(AB,sup6()与eq o(BC,sup6()的夹角是()A30 B45 C60 D120答案D2若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e1eq f(1,2)e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，

13、e1e2答案D3下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对 HYPERLINK 不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A B C D答案B4若a、b不共线，且ab0(，R)，则()Aa0，b0 B0C0，b0 Da0，0答案B5.如图所示， HYPERLINK 平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分，(不包括边界)，若eq o(OP,sup6()aeq o(OP1,sup6()beq o(OP2,sup6()，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b

14、0答案C解析当点P落在第部分时，eq o(OP,sup6()按向量eq o(OP1,sup6()与eq o(OP2,sup6()分解时，一个与eq o(OP1,sup6()反向，一个与eq o(OP2,sup6()同向，故a0.6下列说法中，正确说法的个数是( )在ABC中，eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()可以作为基底；能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；零向量不能作为基底A0 B1 C2 D3答案C解析：正确，错误7如图，设O是ABCD两对角线的交点，有下列向量组：eq o(AD,sup6()与eq o(AB,sup6()；eq o(DA,sup6()与eq

15、o(BC,sup6()；eq o(CA,sup6()与eq o(DC,sup6()；eq o(OD,sup6()与eq o(OB,sup6().其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A BC D答案B解析：eq o(AD,sup6()与eq o(AB,sup6()不共线，eq o(DA,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(CA,sup6()与eq o(DC,sup6()不共线，eq o(OD,sup6()eq o(OB,sup6()，则可以作为该平面内所有向量的基底8M为ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则eq o(MA,sup6()eq o(MB,

16、sup6()eq o(MC,sup6()等于()A6eq o(ME,sup6() B6eq o(MF,sup6() C0 D6eq o(MD,sup6()答案C解析eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(MA,sup6()2eq o(MD,sup6()eq o(MA,sup6()eq o(AM,sup6()0.二、填空题9.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_(写出所有满足条件的序号)答案解析对于4

17、e22e12e14e22(e12e2)，e12e2与4e22e1共线，不能作为基底10.如图，已知eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(BD,sup6()3eq o(DC,sup6()，用a，b表示eq o(AD,sup6()，则eq o(AD,sup6()_.答案eq f(1,4)aeq f(3,4)b解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,su

18、p6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,4)aeq f(3,4)b.11设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用m，n表示p，则p_.答案eq f(7,4)meq f(13,8)n解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得eq blcrc (avs4alco1(2x4y3,3x2y2)eq blcrc (avs4alco1(xf(7,4)，,yf(13,8).)12在ABC中，eq o(AB,sup6()c，eq o(AC,sup6()b.若点D满足eq o(BD,su

19、p6()2eq o(DC,sup6()，则eq o(AD,sup6()_.(用b、c表示)答案eq f(2,3)beq f(1,3)c解析eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)beq f(1,3)c.13已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x4y)e1(2x

20、3y)e26e13e2，则xy3.答案3解析：e1、e2不共线，eq blcrc (avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得eq blcrc (avs4alco1(x6，,y3，)xy3.14.如图，平面内有 HYPERLINK 三个向量eq o(OA,sup6()、eq o(OB,sup6()、eq o(OC,sup6().其中eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为120，eq o(OA,sup6()与eq o(OC,sup6()的夹角为30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|2eq r

21、(3)，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(，R)，则的值为_答案6解析如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq o(OC,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OE,sup6().在RtOCD中，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3)，COD30，OCD90，|eq o(OD,sup6()|4，|eq o(CD,sup6()|2，故eq o(OD,sup6()4eq o(OA,sup6()，eq o(OE,sup6()2eq o(OB,sup6()，即4，2，6.15设D，E分别是A

22、HYPERLINK BC的边AB，BC上的点，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC，若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2为实数)，则12的值为_答案eq f(1,2)解析易知eq o(DE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6().所以12e

23、q f(1,2).三、解答题16.如图所示，在ABC中，点M为AB的中点，且ANeq f(1,2)NC，BN与CM相交于点E，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，试以a，b为基底表示eq o(AE,sup6().解eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)b，eq o(AM,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)a，由N，E，B三点共线知存在实数满足eq o(AE,sup6()eq o(AN,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)b(1)a.由C，E，

24、M三点共线知存在实数满足eq o(AE,sup6()eq o(AM,sup6()(1)eq o(AC,sup6()eq f(,2)a(1)b.eq blcrc (avs4alco1(1f(,2)，,1f(,3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(3,5)，,f(4,5).)eq o(AE,sup6()eq f(2,5)aeq f(1,5)b.17.如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求证：APPM41.证明设eq o(AB,sup6()b，eq o(AC,sup6()c，则eq o(AM,sup6()eq f(1,2)be

25、q f(1,2)c，eq o(AN,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，eq o(BN,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AN,sup6()eq f(2,3)cb.eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()，存在，R，使得eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()，又eq o(AP,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(AM,sup6()eq o(BN,sup6()eq

26、o(AB,sup6()，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)bf(1,2)c)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)cb)b得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(2,3)cb.又b与c不共线eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)1，,f(1,2)f(2,3)0.)解得eq blcrc (avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5).)故eq o(AP,sup6()eq f(4,5)eq o(AM,sup6()，即APPM41.18在平行四边形ABCD中，eq o(

27、AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示eq o(BF,sup6()，eq o(DE,sup6().(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示eq o(AG,sup6().解(1)eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)ab.eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()

28、eq o(CE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()aeq f(1,2)b.(2)eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()ba，O是BD的中点，G是DO的中点，eq o(BG,sup6()eq f(3,4)eq o(BD,sup6()eq f(3,4)(ba)，eq o(AG,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BG,sup6()aeq f(3,4)(ba)eq f(1,4)aeq f(3,4)b.B组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD中，AB/CD，ABAD，AB2AD2DC

29、，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（）ABCD【答案】C【解析】由梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则；故选：C2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，可知=，选B.3.中，、分别是、上的点，且，与交于点，则下列式子正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】如下图所示：连接，则，因此，.故选：D.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，BC=3EC，F为AE的中点，则BF=（ ）A13AB-23ADB-2

30、3AB+13ADC-13AB+23ADD23AB-13AD【答案】B【解析】由图可知：BF=12BA+12BE，BE=23BC，BC=ACAB，AC=AD+DC，DC=12AB，BF=12AB+13（AD+12ABAB）=23AB+13AD，故选B5.如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为，由此，故，解得.故选B.6.如图四边形ABCD为平行四边形，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】D【解析】选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得故选D7.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则( )ABCD【答案】C【解析】因为为的中点，所以，而，即有，又，所以故选：C二、填空题8.如图，在中，点在线段上移动（不含端点），若，则的取值范围是