高中数学必修二 6.2.1 向量的加法运算 教学设计新

1、【新教材】6.2.1 向量的加法运算教学设计（人教A版）本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学

2、科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则

3、进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则和平行四边形法则(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a， 规定： a + 0= 0 +a a aABCa+ba+baabbaa(2)平行四边形法则如图所示：eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()(三角形法则) ，又因为eq o(BC,sup16()

4、eq o(AD,sup16()，所以eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(AD,sup16()(平行四边形法则)， 注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，ab的方向与a，b都不相同，且|ab|a|b|.(2)当a与b同向时，ab，a，b的方向相同，且|ab|a|b|.(3)当a与b反向时，若|a|b|，则ab与a的方向相同，且|ab|a|b|.若|a|b|，则ab与b的方向相同，且|ab

5、|b|a|.4向量加法的运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：abc(ab)ca(bc)四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作eq o(OA,sup16()a，然后作eq o(AB,sup16()b，则eq o(OB,sup16()ab解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和

6、(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点以这两个已知向量为邻边作平行四边形平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作ab；【答案】见解析 【解析】如图所示题型二 向量的加法运算例2如图，在ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：【答案】(1) eq o(BA,sup16(). (2) eq o(OB,sup16(). (3) eq o(AC,sup16().【解析】(1)eq o(BC,sup16()eq o(CE,sup16()eq o(EA,sup16()eq o(BE,

7、sup16()eq o(EA,sup16()eq o(BA,sup16().(2)eq o(OE,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(EA,sup16()(eq o(OE,sup16()eq o(EA,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(OA,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(OB,sup16().(3)eq o(AB,sup16()eq o(FE,sup16()eq o(DC,sup16()eq o(AB,sup16()eq o(BD,sup16()eq o(DC,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DC,sup16(

8、)eq o(AC,sup16().解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二1、化简或计算：(1)eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()；(2)eq o(AB,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(FA,sup16().【答案】(1)eq o(AD,sup16(). (2) 0.【解析】(1)eq o(CD,s

9、up16()eq o(BC,sup16()eq o(AB,sup16()(eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(AD,sup16().(2)eq o(AB,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(CD,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(FA,sup16()(eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()(eq o(CD,sup16()eq o(DF,sup16()eq o(FA,sup16()eq o(AC,sup16()eq

10、 o(CF,sup16()eq o(FA,sup16()eq o(AF,sup16()eq o(FA,sup16()0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq o(AO,sup16()eq o(OC,sup16()，eq o(DO,sup16()eq o(OB,sup16().求证：四边形ABCD是平行四边形【答案】见解析.【解析】证明eq o(AB,sup16()eq o(AO,sup16()eq o(OB,sup16()，eq o(DC,sup16()eq o(DO,sup16()eq o(OC,sup16()，又eq o(AO,sup1

11、6()eq o(OC,sup16()，eq o(OB,sup16()eq o(DO,sup16()，eq o(AB,sup16()eq o(DC,sup16()，ABDC且ABDC，四边形ABCD为平行四边形解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题跟踪训练三1如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BEDF，求证：四边形AECF是平行四边形【答案】见解析【解析】证明eq o(AE,sup16()eq o(AB,sup16()e

12、q o(BE,sup16()，eq o(FC,sup16()eq o(FD,sup16()eq o(DC,sup16()，又eq o(AB,sup16()eq o(DC,sup16()，eq o(FD,sup16()eq o(BE,sup16()，eq o(AE,sup16()eq o(FC,sup16()，即AE与FC平行且相等四边形AECF是平行四边形题型四 向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq r(3) km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向【答案】船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120.【

13、解析】如图所示，eq o(OA,sup16()表示水速，eq o(OB,sup16()表示船实际航行的速度，eq o(OC,sup16()表示船速，由eq o(OB,sup16()eq o(OC,sup16()eq o(OA,sup16()易知|eq o(BC,sup16()|eq o(OA,sup16()|10，又OBC90，所以|eq o(OC,sup16()|20，所以BOC30，所以AOC120，即船行驶速度为20 km/h，方向与水流方向的夹角为120.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35的方向行驶800 km到达B地接

14、到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和【答案】救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800eq r(2) km，方向为北偏东80.【解析】如图所示，设eq o(AB,sup16()，eq o(BC,sup16()分别表示救护车从A地按北偏东35方向行驶800 km，从B地按南偏东55的方向行驶800 km. 则救护车行驶的路程指的是|eq o(AB,sup16()|eq o(BC,sup16()|；两次行驶的位移的和指的是eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16().依题意，有|eq o(AB,sup16()|eq o(BC,sup16()|8008001600(km)又35，55，ABC355590.所以|eq o(AC,sup16()|eq r(avs4al(|o(AB,sup16()|2|o(BC,sup16()|2)eq r(80028002)800eq r(2)(km)其中BAC45，所以方向为北偏东354580.从而救护车行驶的路程是1600 km，两次行驶的位移和的大小为800eq r(2) km