高中数学必修二 3 第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

1、第3课时余弦定理、正弦定理应用举例考点学习目标核心素养测量中的术语理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象测量距离、高度、角度问题会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题数学建模 问题导学预习教材P48P51的内容，思考以下问题：1什么是基线？2基线的长度与测量的精确度有什么关系？3利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？1基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线2基线与测量精确度的关系一般来说，基线越长，测量的精确度越高名师点拨 实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在

2、水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)南偏西60（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得()(3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向()答案：(1)(2)(3) 从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()ABC90 D180解析：选B.根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等

3、，所以. 轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mile B70 n mileC90 n mile D110 n mile解析：选B.如图，设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C，D两处，则OC50，OD30，DOC120.由余弦定理可得CD2OC2OD22OCODcos 12050230225030eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2 5009001 5004 900，所以CD70 n mile. 如图，要测出山上一座天文台BC的高，

4、从山脚A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为_m.解析：由题图可得B45，BAC30，故BCeq f(ACsinBAC,sinB)eq f(60sin 30,sin 45)30eq r(2)(m)答案：30eq r(2)测量距离问题海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛间的距离是_【解析】如图，在ABC中，C180(BA)45，由正弦定理，可得eq f(BC,sin 60)eq f(AB,sin 45)，所以BCeq f(r(3),r(2)105eq r(6)(海里)【

5、答案】5eq r(6) 海里变条件在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？解：由已知在ABC中，AB10，AC20，BAC60，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可BC2AB2AC22ABACcos 6010220221020eq f(1,2)300.故BC10eq r(3).即B，C间的距离为10eq r(3)海里eq avs4al()测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解构造数学模型时，尽量把已知元

6、素放在同一个三角形中 1要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距eq r(3) km的C，D两点，并测得BCA75，BCD45，ADC30，ADB45，则AB()A2 kmB.eq r(5) kmC3 km D.eq r(6) km解析：选B.在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCDeq r(3) km，在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，所以BCeq f(r(3) sin 75,sin 60)eq f(r(6)r(2),2)(km)在ABC中，由余弦定理，得AB23eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6)r(2),2)eq sup12(2)2eq

7、r(3)eq f(r(6)r(2),2)cos 755，所以ABeq r(5) km.2如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB6 m，ABD60，DBC90，DAB75，试求C，D之间的距离解：ABCABDDBC150.因为ABCD，所以C18015030.在ABD中，AB6，ADB180756045，所以ADeq f(ABsinABD,sinADB)eq f(6sin 60,sin 45)3eq r(6)，所以BDeq f(ADsinDAB,sinABD)eq f(3r(6)sin 75,sin 60

8、)33eq r(3).在RtDBC中，CDeq f(BD,sinC)eq f(33r(3),sin 30)66eq r(3).所以C，D之间的距离为(66eq r(3)m.测量高度问题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得eq f(600,sin 45)eq f(BC,sin 30)，解得BC300eq r(2) m在RtBCD中，CDBC

9、tan 30300eq r(2)eq f(r(3),3)100eq r(6)(m)【答案】100eq r(6)变问法在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求tan 的值解：如图，过点C，作CEAB，垂足为E，则DEC，由例题可知，CBE75，BC300eq r(2)，所以CEBCsinCBE300eq r(2)sin 75300eq r(2)eq f(r(2)r(6),4)150150eq r(3).所以tan eq f(DC,CE)eq f(100r(6),150150r(3)eq f(3r(2)r(6),3).eq avs4al()测量高度问题的解

10、题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45，AB长为40 m，斜坡与水平面成30角，则铁塔CD的高为_m.解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE3

11、0，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40，在ACD中，由正弦定理得，eq f(AC,sinADC)eq f(CD,sinCAD)，即eq f(40,f(r(3),2)eq f(CD,f(1,2)，解得CDeq f(40r(3),3).答案：eq f(40r(3),3)测量角度问题岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时10eq r(3)海里的速度前往拦截(1)问：

12、海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间【解】(1)根据题意得BAC45，ABC75，BC10，所以ACB180754560，在ABC中，由eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinBAC)，得ABeq f(BCsinACB,sinBAC)eq f(10sin 60,sin 45)eq f(10f(r(3),2),f(r(2),2)5eq r(6).所以海监船接到通知时，在距离岛A 5eq r(6) 海里处(2)设海监船航行时间为t小时，则BD10eq r(3)t，CD10t，又因为BCD180ACB18060120

13、，所以BD2BC2CD22BCCDcos 120，所以300t2100100t221010teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，所以2t2t10，解得t1或teq f(1,2)(舍去)所以CD10，所以BCCD，所以CBDeq f(1,2)(180120)30，所以ABD7530105.所以海监船沿方位角105航行，航行时间为1个小时(或海监船沿南偏东75方向航行，航行时间为1个小时)eq avs4al()测量角度问题的基本思路(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将

14、解得的结果转化为实际问题的解 1若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15方向上B北偏西15方向上C北偏东10方向上 D北偏西10方向上解析：选B.如图所示，ACB90.又因为ACBC，所以CBA45.因为30，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15方向上2地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30的方向，且距离为40eq r(3) m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离解：如图，在PAB中，PAB30，PA40eq r(3) m，

15、AB40 m.由余弦定理，得PBeq r(AB2PA22ABPAcosPAB)eq r(402（40r(3)）224040r(3)cos 30)40(m)因为AB40 m，所以ABPB，所以APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.1若P在Q的北偏东4450方向上，则Q在P的()A东偏北4510方向上B东偏北4550方向上C南偏西4450方向上 D西偏南4550方向上解析：选C.如图所示2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD200米，

16、点C位于BD上，则山高AB等于()A100eq r(2)米 B50(eq r(3)1)米C100(eq r(3)1)米 D200米解析：选C.设ABx米，在RtACB中，ACB45，所以BCABx.在RtABD中，D30，则BDeq r(3)ABeq r(3)x.因为BDBCCD，所以eq r(3)xx200，解得x100(eq r(3)1)故选C.3已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若cos eq f(3,4)cos ，则v()A60 B80C100 D125解析：选C.画出图象

17、如图所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos()，由正弦定理得eq f(150,sin )eq f(200,sin )，所以sin eq f(4,3)sin .又cos eq f(3,4) cos ，sin2 cos2 1，解得sin eq f(3,5)，故cos eq f(4,5)，sin eq f(4,5)，cos eq f(3,5)，故cos()eq f(12,25)eq f(12,25)0，代入解得v100.4某巡逻艇在A处发现在北偏东45距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12eq r(3)海里/小时

18、的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC12eq r(3)t，BC12t，ABC120，在ABC中，由正弦定理得eq f(12r(3)t,sin 120)eq f(12t,sinBAC)，所以sinBACeq f(1,2)，所以BAC30，所以ABBC812t，解得teq f(2,3)，航行的方向为北偏东75.即巡逻艇最少经过eq f(2,3)小时可追到走私船，沿北偏东75的方向航行A基础达标1某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30方向上，灯塔B在观察站

19、C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为()A500米B600米C700米 D800米解析：选C.由题意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120，所以AB700米，故选C.2若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110米 B112米C220米 D224米解析：选A.如图，设CD为金字塔，AB80米设CDh，则由已知得(80h)eq f(r(3),3)h，h40(eq r(3)1)109(米)从选项来看110

20、最接近，故选A.3设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20eq r(3) m，eq f(40r(3),3) m B10eq r(3) m，20eq r(3) mC10(eq r(3)eq r(2) m，20eq r(3) m Deq f(15r(3),2) m，eq f(20r(3),3) m解析：选A.由题意，知h甲20tan 6020eq r(3)(m)，h乙20tan 6020tan 30eq f(40r(3),3)(m)4一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续

21、航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的速度是()A5eq r(2) 海里/时 B5海里/时C10eq r(2) 海里/时 D10海里/时解析：选D.如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5海里，所以这艘船的速度是10海里/时故选D.5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5eq r(3) km D5eq r(2) km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为

22、该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得eq f(15,sin 120)eq f(BC,sin 30)，即BCeq f(15f(1,2),f(r(3),2)5eq r(3)，即这时船与灯塔的距离是5eq r(3) km.6.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2eq r(2) mm，ABeq r(29) mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACBeq f(32（2r(2)）2（r(29)）2,232r(2)eq f(r(2),2).因为ACB(0，)，所以AC

23、Beq f(3,4).答案：eq f(3,4)7湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75方向，则小岛到公路的距离是_km.解析：如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得eq f(BC,sinCAB)eq f(AB,sinACB)，BCeq f(sin 15,sin 60)eq f(r(6)r(2),2r(3)(km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75eq f(r(6)r(2),2r(3)eq f(r(6)r(2),4)eq f(r(

24、3),6)(km)答案：eq f(r(3),6)8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，则塔高AB_ m.解析：在RtABC中，ACB45，设ABh，则BCh，在RtABD中，ADB30，所以BDeq r(3)h，在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22heq r(3)heq f(r(3),2)，所以h200，所以塔高AB200 m.答案：2009.如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走

25、向的公路，在C处观测到与C相距31 km 的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，由余弦定理，得cosBDCeq f(CD2BD2BC2,2CDBD)eq f(1,7).设ADC，则cos eq f(1,7)，sin eq f(4r(3),7).在ACD中，由正弦定理eq f(AD,sin ACD)eq f(CD,sin CAD)，得eq f(AD,sin（60）)eq f(21,sin 60)，所以ADeq f(42,r(3)sin(60)eq f(42,

26、r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )15 (km)，即所求的距离为15 km.10空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45，同时在气球的南偏东60方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度解：如图，设CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBeq f(CD,tan 30)eq r(3)x.在ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以2662x2(eq r(3)x)

27、22xeq r(3)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，所以x38eq r(7)(m)所以气球的高度为38eq r(7) m.B能力提升11一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A.如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCeq r(3) h，根据余弦定理得，(eq r(3)h)2h2100

28、22h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.12.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角ADC150，从D处再攀登800米到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，ADeq r(AB2BD22ABBDcos 120)400eq r(3).在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2

29、DC22ADDCcosADC(400eq r(3)280022400eq r(3)800cos 150400213，所以AC400eq r(13)，故索道AC的长为400eq r(13)米答案：400eq r(13)13.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30方向，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，则P，C间的距离为_海里解析：因为AB40，BAP120，ABP30，所以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 12040240224040eq blc(rc)(av

30、s4alco1(f(1,2)4023，所以BP40eq r(3).又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40eq r(3)280211 200，所以PC40eq r(7) 海里答案：40eq r(7)14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，1)，直线OB的倾斜角为45，且|OB|eq r(2).(1)求点B的坐标及线段AB的长度；(2)在平面直角坐标系xOy中，取1厘米为单位长度现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60的射线BC运动，另一质点Q同时以eq r(2)厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？解：(1)设点B(x0，y0)，依题意x0eq r(2)cos 451