复数应用教案

1、复数的应用教课设计复数的应用教课设计15/15复数的应用教课设计复数的应用教课目标1掌握复数模的运算性质及辐角的运算性质，并会在解题中运用2理解复数运算的几何意义，并能用数形结合解题3在复数集中会解一元二次方程，并认识一元二次方程的根在复数集内的特色要点难点要点：复数运算的几何意义难点：灵巧应用复数运算的几何意义，数形结合解有关复数的题及一些几何题教课过程在掌握复数运算法规的基础上，还需要进一步理解复数运算的特色及运算的几何意义因为建立了复数与复平面上从原点出发的向量的一一对应关系，使复数与几何建立了亲近的关系，所以数形结合在复数中有着广泛的应用，应用数形结合解题也是复数这一内容中一定掌握的数

2、学思想方法在复数集内，一元n次方程有n个根，这是复数与实数的重要差别对实系数一元二次方程，在复数集内根的特色一定明确一、复数模与辐角的运算性质1复数模的运算性质(设z1，z2C)(1)|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|12|z1-z2|z12|z|-|z|+|z在式中，右侧等号建立的条件与式中左侧等号建立的条件同样，左侧等号建立的条件是式中右侧等号建立的条件在式和式中，若左、右两边均取不等号，则其几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(iii)对，两式要会证明，其证明思路是设z1，z2的代数形式，转变成不等式的证明对式，可推行：|z1+z2+zn|z1|+|z2|+

3、|zn|，但等号建立的条件观察起来很麻烦，要慎用(v)若x，yR，则有|x|-|y|xy|x|+|y|，但等号建立的条件、几何意义、证明方法都不同样，要注意差别(2)|z12z2|=|z1|2|z2|*（5）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）这个式子的几何意义是平行四边形两条对角线长的平方和等于四个边长的平方和2复数辐角的运算性质（z1，z2C）（1）z12z2的辐角等于z1与z2的辐角之和（3）z1n（nN）的辐角等于z1的辐角的n倍3平面曲线的复变量方程（1）argz=表示以（0，0）为起点，与x轴正向夹角为的射线（2）|z-z1|=|z-z2|，此中z1，z

4、2为复常数表示以z1，z2在复平面上对应点为端点的线段垂直均分线（3）|z|=r（r0）表示以（0，0）为圆心，r为半径的圆|z-z0|=r（z0为复常数，r0）表示以z0在复平面上对应点为圆心，r为半径的圆而|z-z0|r或|z-z0|r则表示该圆的外面或内部（4）|z-z1|+|z-z2|=2a（z1，z2为复常数，2a|z1-z2|0）表示以z1，z2在复平面上对应点为焦点，长轴长为2a的椭圆（5）|z-z1|-|z-z2|=2a（z1，z2为复常数，|z1-z2|2a0）表示以z1，z2在复平面上对应点为焦点，实轴长为2a的双曲线z，z，z，则重心对应的复数为（z+z+z）（6）设三角

5、形三个极点对应的复数分别为123123（7）设复平面上Z1，Z2对应的复数分别为z1，z2，P分的例3已知zC，且|z|=1(1)求|z-3+5i|的最大、最小值；(2)求arg(z-2)的最大、最小值分析|z|=1表示在复平面上z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆|z-3+5i|=|z-(3-5i)|表示已知圆上的点与点A(3，-5)的距离；arg(z-2)表示x轴的正向与圆|z|=1上的点与点(2，0)的差向量在0，2)内的角(1)分析一第一转变成分析几何的图形问题如图1当z所对应分析二经过运算来解决问题因为|z|=1，所以设z=cos+isin，则|z-3+5i|2=(cos-

6、3)2+(sin评论以上两种解决问题的方法要求熟练掌握分析一表现了复数与几何的关系，突出了数形结合；分析二表现了已知复数的模设复数三角形式的优胜性假如本题设z=x+yi，则x2+y2=1，|z-3+5i|2=35-2(3x-5y)，这就需要用分析几何圆的知识，求3x-5y的范围，明显不如分析二来得直接，但分析二需要用三角知识，所以三角的变形公式需要掌握才行分析三应用关系式|z1|-|z2|z1z|z|+|z|解决问题211(2)分析向来接转变成图形当z-2在复平面上对应的向量与圆相切时，arg(z-2)取最大、最小值，如图3但是注意，此时z-2对应的向假如先作换元，设z-2=u，则z=u+2，

7、于是|u+2|=1，u在复平面上对应点的轨迹是以G(-2，0)为圆心，1为半径的圆(图4)当u在复平面图4比图3更直观分析二设z=x+yi，则x2+y2=1x-1，11，这就需要涉及到三角的辅助角公式比较一下，还是设代数形式更熟习一些评论从(1)、(2)的几种分析中，可以看出两点，一是数形结合的作用；二是复数形式的选择，这在解题中是十分重要的一条射线，如图5|z+5-i|+|z|最小值的意义是在射线上找一点P，使它到A(-5，1)与O(0，0)的距离之和最小，这明显是分析几何的对称问题易二、复数运算的几何意义1复数代数形式的加、减法平行四边形法规，三角形法规2复数三角形式乘法、除法的几何意义向

8、量的旋转与伸缩(1)在实质解题时，无论向量逆时针旋转还是顺时针旋转，平常都用复数的乘法当向量逆时针旋转角时，乘以cos+isin；当向量顺时针旋转角时，乘以cos-isin(2)由除法的几何意义可知，1-2与两个向量的夹角有关所以可以用两个复数相除获取两个向量的夹角对复数的这一点理解，对解有关图形的问题十分重要(3)用复数相除求两个向量的夹角与用分析几何的夹角公式求两条直线的夹角是一致的这点留给大家自己推导例6若复数z，z，z+z均不为零，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点1212(1)若|z1-z2|=|z1+z2|，则四边形OACB的形状是_；分析由复数加法的几何意义得O

9、ACB为平行四边形(1)由题意得|OC|=|AB|，所以OACB为矩形；(2)当1时，得OCAB，|OC|AB|，所以OACB为菱形；当=1时，得OCAB且|OC|=|AB|，所以OACB为正方形例7已知正方形ABCD，A(1，-2)，B(2，-1)，求C，D点的坐标分析因为正方形每个内角为90，所以问题转变成复数向量的旋转比较方便因为AC的中点也是BD的中点，由中点坐标公式得C(1，0)，C(3，-2)评论(1)因为复数与几何建立了联系，所以复数题、几何题作题方法上可以相互转变(2)在平面图形中，若两条线段所夹的角为特别角(如90，60等)，则把问题转变成复数向量的旋转比较方便3复数的开方(

10、1)任意一个非零复数的n次方根是n个不一样的复数，这n个复数的(2)任一个非零复数的n次方根在复平面上所对应的点均匀地分布在以原点为圆心的同一个圆上，这些点依次连接成正n边形(3)1的三次方根可以这样得出：性质：4关于一元二次方程(1)对复系数一元二次方程，求根公式、根与系数关系建立(2)假如一元二次方程的系数有虚数，则不可以用b2-4ac来判断根的状况，即b2-4ac是实系数方程实根的判别式(3)实系数一元二次方程如有虚根，则两个虚根互为共轭复数成图形的面积是_分析方程的三个根在复平面上对应点按序连线围成正三角形，正三角形外接圆的半径为|x|例9方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=

11、0有实根，务实数a的值及方程的根解设xR，则有由得x=3或x=-1-1，-1+4i三、综合题分析例10已知方程x2-mx+5=0的两个虚根为x1，x2，且|x1-x2|=2，务实数m的值分析一m2-200分析三设方程两根为abi(a，bR，b0)则所以m=4-x|是一个虚数的模，所以|x-x|(x-x)评论注意：|x12221212解法一设z1=2(cos+isin)，z2=3(cos+isin)，则2+2得分别为A，B，C，且此三点构成以A为直角极点的ABC，求复数z解设|z|=r，则依据复数相等，得平面上所对应的点分别为P，Q证明POQ是等腰直角三角形(此中O为原点)的等腰直角三角形4=c

12、os+isin=-1，所以OPOQ且|OP|=|OQ|，即OPQ是以POQ为直角的等腰直角三角形(1)求|z|的取值范围；(2)求argz的取值范围分析解设题目涉及了|z|和argz，所以可以设复数的三角形式z=r(cos+isin)我们还可以利用模的运算关系式来解即若z1，z2在复平面上对应点分别为A，B，求AOB面积的最大、最小值即AOB面积最小为1，最大为4例16设复数会集M=z|z-2+i|2，zCz|z-2-i|=|z-4+i|，zC(1)在复平面内作出表示会集M的图形，并说出图形的名称；(2)求会集M中元素z的辐角主值的范围；(3)求会集M中元素z的模的范围解设z=x+yiM(x，

13、yR)由题意，得(x-2)2+(y+1)24；(x-2)2+(y-1)2=(x-4)2+(y+1)2，即x-y-3=0，(1)会集M的图形是圆(x-2)2+(y+1)24内的直线x-y-3=0上的一段线段AB，如图7；(2)设复数A，B的一个辐角分别为，则作OEAB于E，则E为会集M中模最小的复数|OE|为原点到能力训练1设zC，若|z|=1，要使|1-i+z|最大，则argz应等于A一条直线B一条线段C圆D一个点内AB所表示的图形面积是为_7在复平面内，已知等边三角形的两个极点所表示的复数分别为2，8非零复数z1，z2对应复平面上的点Z1，Z2，下边给出4个式子(1)求|z+2|的取值范围；(2)求argz的取值范围10设非零复数，在复平面上对应的点为A，B，且满足2+2+22=0若=a-2i，arg=arctan2，务实数a的值及AOB的面积11在复数集内分解因式：2x2-x+2坐标方程14设aR且a0，方程ax2+x+1=0的根满足|x+1|=1，务实数a的取值范围15设a1，b0，关于x的方程x2+(b+ai)x+(1+bi)=0最罕有一个实根，求a为什么值时，b有最小值17设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面上的