高中数学必修二 1 8．5.1直线与直线平行

1、85空间直线、平面的平行85.1直线与直线平行考点学习目标核心素养基本事实4理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题直观想象、逻辑推理定理理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题直观想象、逻辑推理 问题导学预习教材P133P135的内容，思考以下问题：1基本事实4的内容是什么？2定理的内容是什么？1基本事实4(1)平行于同一条直线的两条直线平行这一性质通常叫做平行线的传递性(2)符号表示：eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac.2定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补名师点拨 定理实质上是由如下两个结论组合成的：若一个角的两边与另一个角的两边分

2、别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补 判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果一个角的两边与另一个角的两边平行，那么这两个角相等()(2)如果两个角相等，则它们的边互相平行()答案：(1)(2) 已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30B30或150C150 D以上结论都不对答案：B 在长方体ABCDABCD中，与AD平行的棱有_(填写所有符合条件的棱)答案：AD，BC，BC基本事实4的应用如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的

3、中点求证：四边形B1EDF为平行四边形【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQeq o(sdo3(),sup3()A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq o(sdo3(),sup3()B1C1，所以EQeq o(sdo3(),sup3()B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1Eeq o(sdo3(),sup3()C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QDeq o(sdo3(),sup3()C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Qeq o(sdo3(),sup3()FD.又B1Eeq o(sdo3()

4、,sup3()C1Q，所以B1Eeq o(sdo3(),sup3()FD，故四边形B1EDF为平行四边形eq avs4al()证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得ac，同时bc，由基本事实4得到ab. 如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形证明：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，所以EGeq o(sdo3()

5、,sup3()A1B1.又A1B1eq o(sdo3(),sup3()C1D1，所以EGeq o(sdo3(),sup3()C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1Eeq o(sdo3(),sup3()C1G.因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，所以C1Feq o(sdo3(),sup3()BG，从而四边形BGC1F 为平行四边形，所以BFeq o(sdo3(),sup3()C1G，又D1Eeq o(sdo3(),sup3()C1G，所以D1Eeq o(sdo3(),sup3()BF，从而四边形EBFD1为平行四边形不妨设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，易知BEBF

6、eq f(r(5),2)a，故平行四边形EBFD1是菱形定理的应用如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且eq f(OA1,OA)eq f(OB1,OB)eq f(OC1,OC).求证：A1B1C1ABC.【证明】在OAB中，因为eq f(OA1,OA)eq f(OB1,OB)，所以A1B1AB.同理可证A1C1AC，B1C1BC.所以C1A1B1CAB，A1B1C1ABC.所以A1B1C1ABC.eq avs4al()运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为

7、锐角或都为钝角则相等，反之则互补 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点求证：MC1NAPB.证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BNeq o(sdo3(),sup3()C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1NBP.同理可证C1MAP，又MC1N与APB方向相同，所以MC1NAPB.1.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CMA1N.证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1Peq f(1,2)A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1eq o(sdo3(),sup3()A1D1

8、，所以C1Neq o(sdo3(),sup3()PA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1NC1P.又由PMeq o(sdo3(),sup3()DD1eq o(sdo3(),sup3()CC1，得C1PCM.所以CMA1N.2如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A，B，C，D，E分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点求证：ABCCDE.证明：因为A，B分别是AD，DB的中点，所以ABa，同理CDa，BCb，DEb，所以ABCD，BCDE.又ABC的两边和CDE的两边的方向都相同，所以ABCCDE. A基础达标1下列结论中正确的是()在空间中，

9、若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.ABC D解析：选B.错，可以异面正确错误，和另一条可以异面正确，由平行线的传递性可知2下列命题中，正确的有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个 B2个C3个 D4个解析：

10、选B.由等角定理可知：对于这两个角可能相等，也可能互补；对于显然正确对于如图，DD1C1与DAD1的两边D1C1AD1，ADD1D，而这两个角不相等，也不互补，所以该命题错误；由基本事实4知命题正确所以是正确的3若AOBA1O1B1且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解析：选D.OB与O1B1不一定平行，反例如图4.如图，l，a，b，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是()Aa，b都与l平行Ba，b中至多有一条与l平行Ca，b都与l相交Da，b中至多有一条与l相交解析：选B.

11、如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有ab，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行5如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A3条 B4条C5条 D6条解析：选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EFB1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条6空间中有两个角，且角、的两边分别平行若60，则_解析：因为与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补答案：60或1207.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1

12、)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相反解析：(1)因为B1D1BD，B1C1BC且方向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别平行且方向相同(2)B1D1BD，D1A1BC且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别平行且方向相反答案：(1)D1B1C1(2)B1D1A18如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是_(填序号)解析：结合基本事实4可知，均是平行直线，中RS和PQ相交，是异面直线答案：9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的

13、中点求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)BMCB1M1C1.证明：(1)因为在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以MM1eq o(sdo3(),sup3()AA1.又因为AA1eq o(sdo3(),sup3()BB1，所以MM1BB1，且MM1BB1.所以四边形BB1M1M为平行四边形(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角，所以BMCB1M1C1.10如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱

14、CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，因为在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是ACD的中位线，所以MNAC，MNeq f(1,2)AC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.所以MNA1C1，且MNeq f(1,2)A1C1，即MNA1C1，所以四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又因为NDA1D1，所以DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，所以DNMD1A1C1.B能力提升11如图所示，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，A

15、C的中点，则下列说法不正确的是()AM，N，P，Q四点共面BQMECBDCBCDMEQD四边形MNPQ为矩形解析：选D.由条件易得MQBD，MEBC，QECD，NPBD，所以MQNP.对于A，由MQNP，得M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B，根据定理，得QMECBD，故B正确；对于C，由定理知QMECBD，MEQBCD，则BCDMEQ，故C正确；对于D，没有充分理由推证四边形MNPQ为矩形，故D不正确12如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD2，AC4，则四边形EFGH的周长为_解析：因为E，H分别是空间四边形ABCD中的边AB，DA的中

16、点，所以EHBD，且EHeq f(1,2)BD，同理FGBD，且FGeq f(1,2)BD.所以EHFGeq f(1,2)BD1，同理EFGHeq f(1,2)AC2，所以四边形EFGH的周长为6.答案：613.(2019丽水检测)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABCM；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线ABCM，MNCD，只有正确答案：14.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq f(CF,CB)eq f(CG,CD)eq f(2,3)，若BD6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，求平行线EH，FG间的距离解：在BCD中，因为eq f(CF,CB)eq f(CG,CD)eq f(2,3)，所以GFBD，eq f(FG,BD)eq f(2,3).所以FG4 cm.在ABD中，因为点E，H分别是AB、AD的中点，所以EHeq f(1,2)BD3(cm)设EH，FG间的距离为d cm.则eq f(1,2)(43)d28，所以d8.即EH和FG间的距离为8 cm.C拓展探究15如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各