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文档简介

内 容 简 介 二次型理论起源于解析几何中化二次曲线 (曲面)为标准形的问题.在力学、物理学以 及数学的其他分支常需要通过坐标变换把一 个二次齐次多项式的非平方项去掉,变成只 含平方项的二次齐次式,这样可以使问题简 化.因而二次型的理论有着广泛的应用.本章 将用矩阵为工具,研究n个变量的二次型化为 标准形的问题.第六章实二次型考虑一个简单的几何问题： 在平面上代表什么曲线？ 将坐标系(O, x , y)顺时针旋转45度,即令则得曲线在坐标系(O,u,v)中的方程： 从而曲线为一椭圆 方程: 1. 实二次型的概念 2. 实二次型的矩阵表达式6.1 实二次型 1. 实二次型的概念 定义 n个变量x1,x2, xn的二次齐次多项式 称为n个变量x1, ,xn的实二次型.用求和符号表示 规定aij= aj i , 1 i j n,则 2. 实二次型的矩阵表达式其中A 称为二次型f(X)的矩阵, f ( x1, x2, , xn)= X TAX f (X)的矩阵表示 A的秩称为二次型f(X)的秩. 注 由于aij = aji , A中aii 是xi2 的系数, n元实二 次型 f n 阶实对 称矩阵A 一一对应 aij是交叉项xi xj 系数的一半

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