2022届上海市实验学校高三冲刺模拟卷（五）数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 18 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 页2022届上海市实验学校高三冲刺模拟卷(五)数学试题一、单选题1、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（）A如果，则一定有B如果，则一定有C如果，则一定有D如果，则一定有【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案【详解】对于A，若，则有或与相交或与异面，故错误；对于B、C，如果，则有或，故B、C错误；对于D，如果，则垂直内的所有直线，又，则过与相交的平面交于，则，故D

2、正确故选：D 2已知函数，且，则的值（）A一定等于零B一定大于零C一定小于零D正负都有可能【答案】B【分析】由已知可得为奇函数，并且在上是增函数. 所以由,得，由得由得，从而可得解.【详解】由已知,可得,所以为奇函数，又因为 在上单调递增，所以在上是增函数. 所以,由得由得，故，所以，故选B.【点睛】本题考查运用函数的奇偶性和单调性判断表达式的符号，关键在于利用单调性和奇偶性由,可得，属于中档题.3已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：；当时，有最小值，无最大值；当且时，的取值范围是.正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】由与的位置关系有，数形结合法判断位置，结合的几何意义判断、的

3、范围，应用点线距离公式有判断.【详解】将代入有，而与在的两侧，则，错误；由上知：且，则在直线上方与y轴右侧部分，所以，故无最值，错误；由上图知：在直线左上方，则，正确；由过且且，即在直线上方与y轴右侧部分，而表示与连线的斜率，由图知：，正确.故选：B4已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】作出函数和的图象，要想使方程恰有5个实数解，则需直线处在函数在内的曲线切线和之间【详解】解：作出函数和的图象如图：若方程恰有5个实数解，则直线处在函数在内的曲线切线和之间函数是周期为4的周期函数，此时，此时两个函数不相交当，时，由，得，则由，得，整理得，解

4、得，当，时，即，将代入整理得，即，由判别式得要使方程恰有5个实数解，则，即的取值范围为，故选：B二、填空题5设集合，则_.【答案】【分析】首先求出集合，再根据交集定义求交集【详解】由得，又，所以故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素本题考查了指数不等式的求解6在中， 则_.【答案】【分析】由正弦二倍角公式得，再看作分母为1的分式，化为的齐次式，再化为计算【详解】.故答案为：7已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则_.【答案】1【分析】先由复数除法求得，然后再计算【详解】，故答案为：1【点睛】本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础本题还考查了共轭复数的

5、概念8若等比数列的公比满足且则_.【答案】【分析】先根据已知求出，再求得解.【详解】由题得.所以.故答案为16【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算和等比数列的和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9若函数存在反函数，则_.【答案】【分析】函数在上存在反函数，则函数在上应是单调函数由此可确定值，然后求，再计算【详解】，若，则函数在和上递增，在上递减，若，则函数在和上递增，在上递减，若，则函数在上递增，函数存在反函数，即，由得时，即故答案为：【点睛】本题考查反函数解题关键是确定函数存在反函数的条件，求出函数解析式在求反函数值时，直接令，解得即可10在数学解题中，时常会碰到形如“

6、”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若，则_.【答案】【分析】将已知条件左边分式分子分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值.【详解】由已知分子分母同时除以得，.又，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查齐次方程的计算，属于中档题.11已知递增数列共有项，且各项均不为零，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_【答案】【详解】当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，所以必有，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，

7、结合递增数列必有，利用累加法可得结果.12某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为_（结果用最简分数表示）.【答案】【分析】这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的方法数可以先考虑三个车位连在一起，剩下的5个车位停放5辆轿车共有可方法再求得8个车位任意停5辆车子方法数后可求得概率【详解】5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的方法数有种，8个车位任意停5辆车子方法数为，所以概率为故答案为：【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，特别所求概率事件所含基本事件的个数13函数，如果方程有四个不同的实数解，则

8、_.【答案】【分析】作出的图象，可得和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标，由，关于原点对称，关于点对称，即可得到所求的和.【详解】作出的图象，方程有四个不同的实数解，等价为和的图象有四个不同的交点，不妨设交点横坐标为，且，由，关于原点对称，关于点对称，可得，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数方程的转化思想，考查数形结合的思想以及对称性的运用，属于中档题.14三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于_【答案】【分析】由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形利用体积法，

9、求其高，即可得主视图的高可得主视图的面积【详解】解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，（如图：，且边长相等为，其体积为根据俯视图可得，底面是边长为2的等边三角形其面积为：设主视图的高，则主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，其高为得面积故答案为【点睛】本题考查了三视图与空间几何体的体积和表面积的计算，考虑空间想象能力，解决本题的关键是得到该几何体的形状15在直角中，是内一点，且，若，则的最大值_【答案】【详解】由已知可得 .【点睛】本题主要考查向量的数量积、向量的分解和基本不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档

10、题型. 将已知条件两边平方得.16无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有_个【答案】91【分析】根据数列递推公式可得，而，分类讨论即可求出答案【详解】解：，而，若，则有种，若，则有，根据分类计数原理可得，共有种，故答案为：91【点睛】本题考查了数列的递推公式和分类计数原理，考查了学生的转化能力，属于中档题三、解答题17如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系Oxyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点.已知球面上一点.（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出球心角，

11、即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小.【详解】解：（1）由题意，D，C两点在球O上的球面距离为；（2），重心坐标为，平面ABC的法向量为，直线CD与平面ABC所成角的正弦，直线CD与平面ABC所成角的大小为.【点睛】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.18如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光

12、平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元【详解】试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即， = 当且仅当，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米（2）在(1)的条件下，因为由得 ， 元

13、所以，建水上通道还需要万元解法二：在中， 在中， 在中，=元所以，建水上通道还需要万元解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，,即，设 由，求得， 所以所以， 元所以，建水上通道还需要万元19对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：在内是单调函数：当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”.（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按

14、“保值函数”定义知，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，因此函数不是定义域上的“保值函数”.（2）因为函数在内是单调增函数，因此，因此是方程的两个不相等的实根，等价于方程有两个不相等的实根.由解得或.（3），即为对恒成立.令，易证在单调递增，同理在单调递减.因此，.所以解得.又或，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.20（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点

15、，且的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，且（），试用表示，并求的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.【分析】（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程；（2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值；（3）由“盾圆”的对称性

16、,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围【详解】（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,则椭圆的方程为（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,当时,即；当时,即；所以为定值.（3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）；当时,此时,；当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,整理得,解得或（舍去）当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是,综上,或；相应地,当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上,；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上,;当时, 、在椭圆弧上,；综上, ，；，； 的取值范围是【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查两点间距离公式,考查参数方程的应用,考查推理论证的能力,考查分类讨论思想,考查运算能力21对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：（1）求：（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求（3）若，其中，求此函数的解析式，并求【答案】（1）2