几何代数统一体　数形结合莫分离

1、几何代数统一体数形结合莫别离几何代数统一体数形结合莫别离数和形是初中数学的两类根本元素，它们既互相独立，又互相联络.形的主要作用是直观，数的突出特点是准确，所以，将数和形结合起来研究数学、生活等方面问题时常能起到直观、准确的作用.正如我国著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合时精辟指出：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联络，切莫别离.本文将集中指出数形结合思想在初中数学中的应用.1.整式例1如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形ab，把余下的部分剪拼成一个长方形如图2.通过计算两个图形的

2、面积，能验证一个等式，那么这个等式为_.bbaab图1图2题意分析：做题时，先仔细观察两个图形，然后找出它们之间的联络即两图形的面积相等，最后根据关系列出等式.正确答案：图1中，边长为a的正方形挖掉一个边长为b的小正方形后的面积为a2b2，图2的图形面积为abab，而它们的面积相等，所以a2b2abab.思路点拨：可以看出整式乘法中的公式平方差公式，完全平方公式等可以通过图形来加以验证，这更能表达数和形的完美结合.2.方程例2甲、乙两地相距240k，汽车从甲地开往乙地，速度为36k/h，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的.摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后

3、遇到摩托车？题意分析：此题是一个异地不同时出发的相遇问题，可以借助路程图直观地分析出该题的等量关系即汽车所行的路程+摩托车所行的路程=甲、乙两地的间隔 .正确答案：设汽车开出x小时后与摩托车相遇，那么在相遇时，汽车和摩托车所行的路程图如图3所示.36xk240k汽车所行路程摩托车后来所行路程摩托车先行路程甲乙相遇地图3根据等量关系，得出方程36x+362+36x=240，解得x=3.所以，汽车开出3小时后遇到摩托车.思路点拨：借助形象和直观的图形能很快地找出列方程的等量关系.3.不等式例3设a，b，a，b，K为正实数，且a+a=b+b=+=K，试说明：ab+b+a题意分析：可以构造图形，用图形

4、来帮助我们解答这道有关不等式的题.EFbbGDaa图4正确答案：构造如图4所示的边长为K的正方形，由图形易知，三个小长方形的面积之和小于正方形DEFG的面积，即ab+b+a思路点拨：此题巧妙地把三个小长方形放在一个正方形之中，再根据三个小长方形的面积之和小于正方形的面积来求解问题，数形结合，形象直观.4.函数例4二次函数y=ax2+bx+的图象与x轴交于x1，0，x2，0两点，且0 x11，1x22，与y轴交于点0,2.以下结论：2a+b1；3a+b0；a+b2；a1，其中正确结论的个数为A.1B.2.3D.4题意分析：根据题意可画出草图，如图5.因为图象与y轴交于点0，2，所以2.12-2-

5、1图5所以其函数关系式为y=ax2+bx2.又由图象有，当x=1时，y=a+b20，所以a+b2，故错误；当x=2时，y=4a+2b20，所以2a+b1，故错误；因为a+b2，所以b2a，又因为2a+b1，所以a-1，故正确；2a+b1，a-1，的两不等式相加，论文联盟.Ll.得3a+b0，故错误.所以，正确结论的个数为1.正确答案：A.思路点拨：抛物线时，可应用其位置，得出相关信息，然后求解，而没有图象时，应把数量关系转化为图象的形式，再利用图象直观、形象的特征进展求解，这也充分表达了数形结合思想的应用.5.几何计算例52022年山东枣庄如图6，在AB中，D为AB上的一点，A=36，A=B，

6、A2=ABAD.1试说明：AD与BD都是等腰三角形；2假设AB=1，求A的长.ADB图6题意分析：要证明AD与BD都是等腰三角形，只需证明两三角形中均有两个角相等.而这道题可以根据相似性来证明角相等.正确答案：1在AB中，A=B，A=36，所以B=A=36，AB=108.在AB和AD中，AB=AD，又A2=ABAD，即=，所以ABAD，所以AD=B=36，故DB=72，DB=10836=72，所以AD与BD都是等腰三角形.2设A=x，那么AD=1BD=1B=1x，所以x2=11x，即x2x10.解得x1=，x2=舍去.所以，A=.思路点拨：在2问中，设A=x，根据A2=ABAD将问题转化成了代

7、数问题进展求解.事实上，利用几何图形的性质将几何问题转化为代数问题在几何计算中经常使用.解决这类问题的主要步骤有分析几何图形，确定几何图形中某些几何量的关系；用字母表示部分量，建立几何量之间的代数关系如方程，函数；解决代数问题，并判断其解是不是几何问题的解.除了上述五个方面能表达出数形结合的思想外，其实还有很多方面比方几何证明和概率统计也能表达这一思想.总之，以形助数的思想可以领略形的直观作用，用数解形的思想可以体会数的准确表达.由此看来，有关数形结合的题目备受中考命题者的青睐，这也必将成为中考命题的一道亮丽风景线.实战演练12022年福建福州二次函数yax2bxa0的图象经过点1，2，且与x轴相交的交点横坐标分别为x1、x2，其中24a2b+0；2ab0；a1；b2+8a4a，其中正确的个数为论文联盟.Ll.A.1B.2.3D.42如图7所示，将边长为a+b的正方形分割成四个部分：两个边长分别为a和b的正方形、长为a宽为b的两个长方形.请你分别计算分割前和分