不等关系与不等式

1、不等关系与不等式第1页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日主要内容3.比较代数式大小的方法2.不等式的性质及其证明4.不等式的应用实例1. 不等关系第2页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日1. 不等关系第3页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日观察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围60kmv120km/h第4页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日问题1 设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则d|AB|AMBd第5页，共44页，2022年，5月20日，0点51分

2、，星期日问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元. 那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式第6页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm钢管x根，

3、截得600mm的钢管y根. 由题意，应有以下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.第7页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：第8页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日2.不等式的性质及其证明第9页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日事实上，实数与数轴上的点是一一对应的. 在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 譬如图中，设点A 表示实数a，点B 表

4、示实数b,点A 在点B 右边，那么ab BAab回忆两个实数的大小是如何确定的？第10页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点. 基本事实作差比较法第11页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日1.不等式的性质性质1如果ab,那么ba; 如果bb证明：由于ab, 可得a-b0所以 -（a-b）0即b-a0所以 ba.同理可证得：如果bb说明：此性质可称为不等式的自反性第12页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日性质2如果ab, bc, 那么ac

5、.证明：由于ab, 得a-b0；又bc，得b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0即a-c0所以 ac.说明：此性质可称为不等式的传递性。第13页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日性质3如果ab, 那么a+cb+c证明：由于ab, 得a-b0；所以（a+c）-（b+c）=a-b0即(a+c)-(b+c)0所以 a+cb+c.说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.第14页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日性质4如果ab, c0,那么acbc; 证明：由于ab, 得a-b0；ac-bc=c(a

6、-b)0所以 acbc.说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果ab, c0,那么ac0时ac-bc=c(a-b)0所以 acbc.当cb, cd,那么a+cb+d; 证明：由于ab, 得a-b0又cd,得c-d0；说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0所以 a+cb0, cd0,那么acbd; 证明：由于ab, 得a-b0,又cd,得c-d0ac-bd=ac-ad+ad-bd =a(c-d

7、)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以 ac-bd0即 acbd.由题意知a0,d0, 且c-d0,a-b0第17页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日性质7如果ab0, 那么anbn(nN,n2); 证明：由于ab0, 根据性质6，自乘得；aabb即 a2b2.说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得 a3b3.显然 a2b20,继续下去可得anbn(nN,n2); 第18页，共44页，2022年，5月20日，0点5

8、1分，星期日性质8如果ab0, 那么 (nN,n2); 证明：用反证法证明，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知ab矛盾若若 则由性质7,两边n次幂得ab矛盾.第19页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日证明命题的方法简介 在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明.直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明. 其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由.直接证明是最常见的证明方法.间接证明就是通过确定其他命

9、题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的. 间接证明分为反证法和选言证法. 第20页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明. 综合法: 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公

10、理等）为止，这种证明方法叫做分析法. 第21页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得. 法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明. 反证法简介第22页，共44页，20

11、22年，5月20日，0点51分，星期日 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立. 反证法的证题模式第23页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日反证法证明命题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.第24页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 用反证法证题

12、时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”； 如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”归谬法和穷举法反证法的类型第25页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有： 2. 具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆. 1. 命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形

13、式出现的命题；或者否定结论更明显. 反证法的适用范围第26页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日不等式的常见证明方法直接证法 1）比较法（作差、或作商） 2） 综合法 3） 分析法 4） 其它换元法、放缩法等2. 间接证法 反证法第27页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日例1.如果ab0, cb0, 得a-b0,ab0, 又cb 与同时成立的充要条件解答： ab0一方面，若ab0，b0，求证：a3+b3a2b+ab2即a3+b3a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b

14、2(b-a)a0，b0，( a-b)2(a+b)0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b0，而( a-b)20.=( a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)第30页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日故a3+b3a2b+ab2.证明二：比较法（作商）a2+b22ab，又a0，b0，所以ab0，第31页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日所以有a3+b3a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于a0，b0，所以a+b0，故只要证明a2+b2-abab即可。即证明a2

15、+b22ab.而a2+b22ab 显然是成立的第32页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日即a3+b3a2b+ab2.证明四：综合法a2+b22ab，a2+b2-abab.又a0，b0，a+b0，故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).第33页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日3.比较代数式大小的方法第34页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日例3.比较 与 的大小 分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而得出两个代数式的大小.当 时，所以当 时，所以2.比较代数式大小的方法第35页，共44页，2022年，5

16、月20日，0点51分，星期日例4.已知 ，比较与 的大小解：作差比较因为a0， 所以-a20第36页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日解：所以 比较 与 的大小练习2第37页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日1).如果ab0，则下列不等式中不成立的是（ ）（A） （B） （C）ab （D）a2b22).a、b是任意实数，且ab，则 （ ） （A） a2b2 （B） （C）lg（a-b）0 （D） BD练习3第38页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 3.a、b、c、d是任意实数，且ab，cd，则下列结论正确的是 （ ） （A）a+cb

17、+d （B）a-cb-d （C）acbd （D）A第39页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日4.不等式的应用实例第40页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一定帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.第41页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 解：设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有（x+5)个，则有如下不等关系：第42页，共44页，2022年，5月20日，0点51分，星期日 练习：旅行社为了吸引更多的游客加入， 各自推出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的.甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是： 甲旅