青岛版2020九年级数学上册第二章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A(附答案详解)

1、青岛版2020九年级数学上册第二章解直角三角形自主学习能力达标测试卷A （附答案详解）1 .如图，在斜坡 EF上有一信号发射塔 CD,某兴趣小组想要测量发射塔CD的高度，于是在水平地面用仪器测得塔顶D的仰角为31。，已知仪器AB高为2m,斜坡EF的坡度为i=3： 4,塔底距离坡底的距离CE=10m,最后测得塔高为 12m, A、B、C、D、EAE约为（）米（结果精确到0.1,参考数据:在同一平面内，则仪器到坡底距离 )0.6C. 22.0D.24.012,设圆心角的余弦值为一，则同弧上的圆周角的正切值为（2C.D.2.33.若 A为锐角，且A 1 cosA 一,则 3A . 0 A30C, 4

2、5 A 60.在 RtAABC 中,B, 30 A45D, 60 A-1 ；D.若一个斜坡的坡度为 1 : J3,则该斜坡的坡角为 30.10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高 AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35 ,再往前走3米站在C处，看路灯顶端 O的仰角为65 ,则路灯顶端。到地面的距离约为（已知 sin 350.6 , cos35 0.8,tan35 0.7, sin 650.9, cos65 0.4, tan 652.1）（O4丁 :B ,告“ 口阳5。T1ACA. 3.2米B, 3.9米C, 4.7米D. 5.4米11 .如图，升降平台由

3、三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成,其中平台AM与底座AoN平行，长度土匀为24米，点B, B0分别在AM和AoN上滑动这种设计是利用平行四边形的 ;为了安全，该平台作业时/Bi不得超过60。，则平台高度（AAo）的最大值为 米512 .如图，在坡角/ BAC = 30。的斜坡上，两树间的水平距离AC为J3米，则两树间的坡面距离AB为米.如图，点P是。O直彳仝AB的延长线上一点，过点P作直线交。于C、D两点.若OA = 3, PB = 2,则 tanZ PAC?tanZ PAD =.如图，四边形 ABCD为矩形，AB=4, BC=6 ,点E是BC边的中点，将 ABE沿

4、直 线AE折叠，点B落在点F处，连接CF,则sin/ECF的值为 .如图，河的两岸a, b互相平行，点 A, B, 的一个建筑物，某人在河岸 b上的A处测得/ P若AB=80米，则河两岸之间的距离约为 _米.P-hASC.如图，在4X4的止方形网格图中有 ABC,C是河岸b上的三点，点P是河岸a上B = 30 ,在 B 处测得/ PBC=75 ,（731.73,结果精确到0.1米）则/ ABC的余弦值为 .16.在BC中，AB = AC=5, BC=8,如果点 G为重心，那么/ GCB的余切值为 15 .如图，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60。角，则AC=.已知：如图，在

5、 ABC 中，cos/ ABC= , sin/ACB= Y3 , AC=2 ,分别以22AB , AC为边向 ABC形外作正方形 ABGF和正方形 ACDE ,连接EF,点M是EF的 中点，连接AM ,则AM的长为.如图，在平面直角坐标系中， 一次函数y=- 2x+4的图象与x轴和y轴分别相交于3A、B两点.动点P从点A出发，在线段 AO上以每秒3个单位长度的速度向点 。作匀 速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点 Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.若正方形PQMN对角线的交点为 T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值Q 尸2x4x 4). . x 2

6、 x2.先化简再求值：(丁-x 2 xx 4,八 八人x_r 其中 x 4tan45 2cos30 .x 222.如图，为了测量电线杆的高度仪CD测得电线杆顶端 A的仰角AB,在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角e= 22,求电线杆AB的高.（精确到0.1米）参考数据:sin22 =0.3746, cos22 =0.9272tan22 = 0.4040, cot22 =2.475123.如图，AB是。的弦，AD是。的直径，OPLOA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点 C,且CP = CB.a2 124.先化简，再求代数式 a a（1）求证：BC是。的切线;（2）若。O的半径为

7、 杂,OP = 1 ,求/ BCP的度数.a-的值，其中a 2sin45 1.a25 .如图，已知Rt ABC ,ACB 90 , CD是斜边AB的中线，过点A作AE CD ,AE分别与CD, CB相交于点H , E,且AH2CH ,求sin B的值.0; (2)化简：(x+2) 2+x (x-4)26. (1)计算： 弧-4sin60。+ ( 2 J2 - 1)27 .如图，AB是。的直径，BD是。的弦, 延长BD至IJ点C,使DC=BD ,连结AC ,过点D作DEXAC垂足为E.求证：AB=AC ;（2）若。半径为5, / BAC=60 ,求DE的长.28 .如图（1）是一款手机支架，忽略

8、支管的粗细，得到它的简化结构图如图 （2）所示.已 知支架底部支架 CD平行于水平面，EFOE, GFLEF,支架可绕点。旋转，OE=20cm, EF=20j3 cm.如图（3）若将支架上部绕 。点逆时针旋转，当点G落在直线CD上时， 测量得/ EOG=65 .（1）求FG的长度（结果精确到 0.1）;CD垂（2）将支架由图（3）转到图（4）的位置，若此时F、。两点所在的直线恰好于 直，点F的运动路线的长度称为点F的路径长，求点F的路径长.(参考数据：sin65 =0.91, cos65 =0.42, tan65 =2.14, 1.73)图参考答案B【解析】【分析】 如图所示，延长 DC交直线

9、AE于点M ,过点B作BN / AM交DM于点N,可得RtCEM、RUBDC和矩形ABNM ,利用坡度3: 4及勾股定理求出 CM、EM的长，结合矩形的性质可求出的DC的长，再利用正切即可得出答案【详解】解：延长 DC交直线AE于点M ,过点B作BN / AM交DM于点N,DAE Md DM AE, ABXAE, BN / AM ,.CEM、ABDC是直角三角形，四边形 ABNM是矩形,.BN = AM, MN = AB = 2m,在 RtCEM 中，由于 CE=10m, i = 3： 4= CM ： EM , CM = EM ,4.CE2=CM2+EM2,.EM = 8m, CM = 6m,

10、.CN=CM - MN = 4m, DN = DC+CN= 12+4=16 (m),在 RtACDB 中，. tanZDBN = DN-,BNAM = BN = = = 16 26.67( m)tan DBN tan31 0.6. AE = AM - EM =26.67 - 8=18.7(m).故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用.正确添加辅助线并综合利用三角函数、勾股定理、矩形性质等知识是解题的关键B【解析】【分析】 一、一 ，1 _ 一一 , 一 根据圆心角余弦值为 1,可得圆心角为60。，再根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可得2 TOC o 1-5 h z 圆周角等于30。

11、，根据特殊三角函数值即可求解.【详解】一，一 一、一，1因为圆心角余弦值为 -,2所以圆心角为60。，因为同弧所对圆周角等于圆心角的一半，所以圆周角等于30。， HYPERLINK l bookmark54 o Current Document tan 30,故选B.【点睛】本题主要考查特殊三角函数值和圆周角性质，解决本题的关键是要熟练掌握圆周的性质和特殊三角函数值.D【解析】【分析】一，、一 ，、，一 ,一，一一 一，一 1 ,首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值， 确定在3哪两个特殊值之间即可.【详解】1._解：/ cos60 = , cos90 =0,2

12、,0v 1 v 1 ,32cos90 cosAv cos60,.60A 1,且k却，是假命题；D.若一个斜坡的坡度为1: J3,则该斜坡的坡角为 30。，是真命题.故选D.【点睛】本题考查的是真假命题，熟练掌握正方形的判断、相似三角形的性质及一元二次方程和三角函数是解题的关键.C【解析】【分析】 过点。作OE AC于点F ,延长BD交OE于点F ,设DF x,根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出 x的值即可求出答案过点。作OE AC于点F ,延长BD交OE于点F ,tan 65OFDF，OF xtan65BD 3 x,tan 35OFBF .OF (3 x)tan35 ,2.

13、1x 0,7(3 x),x 1.5,. OF 1.5 2.1 3.15,. OE 3.15 1.5 4.65,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型11.不稳定性；4.8【解析】【分析】(1)根据四边形的不稳定性即可解决问题.(2)当/ Bi=60。时，平台AA0的高度最大，解直角三角形AiB0A0,可得A0A1的长，再由AA3=A3A2=A2Ai=AiAo,即可解决问题.【详解】解：(1)因为四边形具有不稳定性，点B, Bo分别在AM和AoN上滑动，从而达到升降目的，因而这种设计利用了平行四边形的不稳定性；1 _.(2)由图可知，当/

14、 B1=60。时，平台AAo的高度最大，AoBoA 3=30。，21BoA1=2A1C1 =2.4,贝U AoA1=ABosin/ABoAo=2.4X - =1.2.又AA3=A3A2=A2A1=A1Ao=1.2,贝U AAo=4 X1.2=4.8.故答案为：不稳定性，4.8.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.2【解析】【分析】 AC根据锐角三角函数的定义可得出AB= AC ,再由特殊角的三角函数值解答即可.cos A【详解】解： ABC是直角三角形， - ab= AC = _73 =2 (米)， cos

15、 A 2故答案为：2.-坡度坡角问题，熟知锐角三角函数的定义及特殊角的三【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 角函数值是解答此题的关键.113.4【解析】【分析】连接BC、BD.因为 AB是直径，推出/ ACB=/ADB=90BC BDtan / PAC?tanZ PAD=AC ADBCADBDAC,利用相似三角形的性质转化即可解决问题.【详解】/ ACB = / ADB = 90,BC tanZ PAC?tanZ PAD=ACBDADBC BDAD AC -/ PCBA PAD ,BC 理AD PD -/ PBDA PCA,BD PDAC PA PDPAPB . tan/PAC?tan/

16、PAD=PD本题考查圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.414. 一5先求得BE的长，然后依据勾股定理可求得AE的长，然后证明EF=EC,从而得到/ EFC= / FOE,由翻折的性质可知/ BEA= / FEA ,依据三角形的外角的性质可证明ZAEB= ZFOE,最后依据三角函数的定义求解即可.【详解】点E为BC的中点，. BE=EC=3.在 ABE中，由勾股定理得：AE= JAB2 be2 =5由翻折的性质可知：FE=BE , / BEA= / FEA ,. FE=EC./ EFC=/FCE

17、. / OFE+ / FOE= / BEA+ / AEF , .2 / EOF=2 / BEA. ./ EOF= /BEA. sin / EOF=sin / BEA=AB 4AE 54故答案为：45【点睛】 此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于利用勾股定理 进行运算sin60 、由题意知AADO是直角三角形，/ CAD=60 ,结合特殊角度的三角函数值可得到,即可求出 AC,再根据cos/CAD=cos60的值，结合直角三角形中sinZCAD=f?4CAD即可. ACD是直角三角形, sin / CAD= / CAD=60CD=5，sin/CAD=CD .一=

18、sill 6。a,即；_ = 1尸，AC=10产;cos/ CAD= = cos60 , 即：=i ACAC 2AD=故答案为：可,可.【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值，锐角三角函数的定义4；【解析】【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出AD的长，再利用重心的性质即可求出 GA的长，进而得出 DG的长，利用勾股定理和三角函数解答即可.设AG交BC于D【详解】. AB = AC=5, BC=8,点 G 为重心,ADBC,BD= CD= - BC= - X8=4 22. . AD2=AC2-CD2, AD = 3,.GA=2,DG = 1/CBG 的余切值=BD

19、- =4DG故答案为4.【点睛】本题考查的是三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是解题的关键54.6.【解析】【分析】过点A作AE，a于点E,过点B作BDPA于点D ,然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离.【详解】过点A作AE，a于点E,过点B作BDXPA于点D,. / PBC=75 , / PAB= 30 ,./ DPB=45 ,/AB =80,.BD = 40, AD= 4073,PD = DB = 40,. AP= AD PD = 4073 40,- a / b,./ EPA=Z PAB=30 ,一AE=i AP= 20、3 20 54.6,故答案为：54.6.

20、【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形性质以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型.YC 2 .518.二一5【解析】【分析】设小正方形的边长为 1,求出AC、BC、AB的长，利用勾股定理的逆定理证明/CAB=90。,再根据余弦定理即可得出答案.【详解】解：设小正方形的边长为 1,AC= J22+12 = 55 , BC= ,32+42 =5, AB= J22+42 =2 辰, AB2+AC2= (275) 2+ (店)2=25, BC2= 52= 25,.AB2+ac2=bc2,./ CAB =90,.cos/ABC=AB =还； BC 5故答案为：纪5 .

21、5【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理解决问题，属于中考常考题型.2【解析】【分析】过F作AE的平行线，交 AM的延长线于H,构造全等三角形，得出AE=FH=AC , AM=MH= - AH ,再根据 ZxAFHA BAC (SAS),即可得到 AM=工 BC ,最22后过A作APBC于P,求得BC的值，即可得到 AM的长.如图，过 F作AE的平行线，交 AM的延长线于 H,则/ HFM= ZAEM , Z H= Z EAM ,点M是EF的中点，. FM=EM ,. FHMA EAM ,AE=FH=AC , AM=MH= 1 A

22、H 2，四边形ABCF是正方形，AF=BA , / AFH+ / FAE=180 , / CAB+ / HFA=180 ,. / AFH= / BAC ,在AAFH和ABAC中，FH AC AFH BAC , AF BAAFHA BAC (SAS),AH=BC=2AM ,即 AM= 1 BC, 2如图，过A作APBC于P,H 1cos/ABC= , sinZ ACB= , AC=2 ,AP=ACC sin/ACB=2 / =石，CP= 1 AC=1 , Z BAP=45 = Z ABP ,BP=AP=石,.BC=与 +1,. AM= 1 BC=4 1 ,22故答案是：百1 .2【点睛】考查了正

23、方形的性质， 全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及直角三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算.1820.5【解析】【分析】先确定出点T的运动轨迹，进而找出 OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论.【详解】如图，由运动知，P (63t, 0), Q (66t, 0),M (6 - 6t, 3t),.T是正方形PQMN的对角线交点，点T是直线y= - - x+2上的一段线段，（-3Wx 6）,3作出点O关于直线y= - 1x+2的对称点O交此直线于G,过点。作OFx轴，则OF就是3OT+PT的最/、值，由对称知，OO=2OG ,易知，

24、OH=2, OA=6，AH= JoH2OA2 2而，SAAOH=1OH/5Ch .sin B sin CAHCHCHac .5ch本题考查直角三角形斜边上的中线和三角函数, 解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质和三角函数的计算(1) 1; (2) 2x2+4.【解析】 【分析】(1)原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及零指数哥法则计算即可求出值；(2)原式利用完全平方公式， 以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果.【详解】 解：(1)原式=2 J3 - 4X Y3+1 = 1 ;2(2)原式=x2+4x+4+x2 - 4x= 2x2+4.本题考查了单项式乘以多项式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(1)见解析；(2) DE=5叵.2(1)连接 AD,由AB是直径，可知/ ADB=90 ,在 ABC中，BD=CD ,可知 AD是中垂线，所以AB=AC ;(2)由题意易得 4ABC是等边三角形，所以 CD等于半径，在 RtCDE中，利用60。的三角函数可求出 DE.(1)连接AD AB 是。O 的直径，/ ADB=90又 BD=CD ,