北师大版专题验收评估数列与数学归纳法名师精编单元测试

1、 名校名师举荐 专题验收评估 三 数列与数学归纳法时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、挑选题 本大题共 10 小题,每道题 4 分,共 40 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的 12022 江西赣江调研 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,如 a418a5,就 S8 A 18 B36 C54 D72 解析： 选 D数列an为等差数列, a4a5 18,由等差数列的性质得 a4a5 a1a1a8 8a818,S8272. 22022 昆明模拟 已知数列 an是等差数列,如 a2,a4 3,a66 构成公比为 q 的等比数列,就 q A 1 B2 C3 D4 解析

2、： 选 A 设等差数列 an的公差为 d,就 a2a42d,a66a42d6,所以 a42da42d6a43 2,化简得 2d 3 20,解得 d3 2,所以 qa43a2a22d3a21. 32022 郑州模拟 张丘建算经卷上第22 题为：“ 今有女善织,日益功疾初日织五尺,今一月日织九匹三丈” 其意思为今有女子善织布,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,如第一天织 5 尺布,现在一个月 按 30 天计 共织 390 尺布就该女最后一天织多少尺布？ A 18 B20 C21 D25 解析：选 C 依题意得,该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为 an,30 5a30其

3、中 a15,前 30 项的和为 390,于是有 2390,解得 a3021,即该女最终一天织 21 尺布,应选 C. 42022 届高三 福建六校联考 已知 an是公差为 1 的等差数列, Sn为an的前 n 项和,如 S84S4,就 a10 19 B. 2D12 A.17 2C 10 解析： 选 B公差为 1,1 名校名师举荐 881S8 8a12 18a1 28,S44a16. S8 4S4,8a12844a16,解得 a11 2,a10a19d1 2919 2 .应选 B. 52022 沈阳调研 用数学归纳法证明“n 3n1 3n 2 3nN *能被 9 整除” , 利用归纳法假设证明

4、n k1 时,只需绽开 3 3A k3 Bk2C k1 3Dk1 3 k2 3解析： 选 A 假设 nk 时,原式 k 3 k1 3k2 3 能被 9 整除,当 nk 1 时, k1 3k2 3 k3 3为了能用上面的归纳假设,只须将 k3 3 绽开,让其显现 k 3 即可6已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 a2 12,a3a54,就以下说法正确选项 A an是单调递减数列B Sn是单调递减数列C a2n是单调递减数列D S2n是单调递减数列2解析： 选 C 由于 an是等比数列,就 a3a5a 44,又 a212,就 a40,所以 a42,q 216,当 q6时, an和Sn不具

5、有单调性,选项 6A 和 B 错误； a2na2q 2n21216n1 单调递减,选项 C 正确；当 q6时, S2n不具有单调性,选项 6D 错误72022 杭州模拟 在正项等比数列 an中, 2 2为 a4与 a14的等比中项,就 2a7a11的最小值为 A 16 B8 C6 D4 解析： 选 B 由于 an是正项等比数列,且 2 2为 a4 与 a14 的等比中项,所以 a4a1488 8a7a11,就 2a7a11 2a7a72 2a7a78,当且仅当 a72 时,等号成立,所以 2a7a11 的最小值为 8,应选 B. 82022 江西吉安一中模拟 已知等差数列 an的各项均为正数,

6、a11,且 a3,a4 5 2,a11成等比数列如 p q 10,就 apaq A 14 B15 C16 D17 解析： 选 B 设等差数列 an的公差为 d,由题意分析知 d0,由于 a3,a45 2,a11成等2 名校名师举荐 比数列,所以 a452 2a3a11,即 723d 212d 1 10d,即 44d 2 36d450,所以3n1d2 d 15 22舍去 ,所以 an2,所以 ap aq3 2pq15. 92022 届高三 豫南十校联考 设 fx是定义在 R 上的恒不为零的函数,且对任意的 x,yR,都有 fx fy fxy如 a11 2,an fnn N值范畴是 A. 12,2

7、 B. 1 2,2C. 12,1 D. 1 2,1*,就数列 an的前 n 项和 Sn的取解析： 选 C 在 fx fyfxy中,令 x n,y1,得 fn1fnf1,又 a11 2,anfnnN *,就 an11 2an,所以数列 an是首项和公比都是 12的等比数列,其前 n 项和1 1Sn211 12 2n11 2 n12,1 ,应选 C. 2 2 2102022 湖南长沙一中月考 已知数列 an满意1 a12a2 nann n122,就对于任意的正整数 n,以下关系式不成立的是 A a1a2a2a3 anan1an1 anB. 1 a1 1 a2 1 an2anan1 1C.a1 1

8、2a2 2 2 an n 25 4D. 1a2 2 an n 1 a12 2 2解析： 选 D 在1 a12 a2 n ann n 12 2 中令 n1,解得 a11,且当 n2 时,有a12 2a2 2 n1an1 2n n122,两式相减得 an nn2,故 an1 nn2,当 n1 时,1 1 1此式也成立, 故数列 an的通项公式为 ann.因而,a1a2a2a3 anan11 22 3 n n1 111 21 2 1 3 1 nn1 1n 1 nan1an,选项 A 中的等式成立 . 1 a1 1 a2 1 an3 名校名师举荐 12 nn n122anan 1 1,选项 B 中的等

9、式成立 .a1 1 2a22 2 ann 21 132 13 n 131 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 n1 n n1 1 21 22 3 n 1 n21 1 1 1 1 1 5 1 52 33 4 n n1122n n142n n 1 0,公差 d0.如 a1a260,a2a3100,就 5a1 a5 的最大值为 _,取到最大值时 a10,d_,a1 _. 解析： 由题意可得点 a1,d满意d0,a1a22a1d 60,a2a32a13d100,100对应的平面区域是如下列图的以点 A 0,3,B20,20 ,C30,0,O0,0为顶点的四边形 不包含坐标轴上的点 ,又 5

10、a1a56a14d,故经过 B 点,即 a1d20 时, 5a1a5 取得最大值 200. 答案： 200 20 20 13已知数列 an是等比数列, a1,a2, a3依次位于下表中第一行,其次行,第三行中的某一格内,又a1,a2,a3 中任何两个都不在同一列,就q_,an_nN*. 第一列其次列第三列4 名校名师举荐 第一行 1 10 2 其次行 6 14 4 第三行 9 18 8 解析： 观看题中的表格可知 a1,a2,a3 分别为 2,6,18,即 an是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an23 n1. 答案： 3 2 3 n1142022 台州模拟 已知数列 an的前 mm4项

11、是公差为 2 的等差数列,从第 m1项起, am 1,am,am1, 成公比为 2 的等比数列如 a1 2,就 m_, an的前 6 项和 S6_. 解析： 由题意,得am 1a1m2d2m 6,am 2m4,就由amam 12m42,2m6解得 m4,所以数列 an的前 6 项依次为 2,0,2,4,8,16,所以 S628. 答案： 4 28 15 2022 云南昆明质检 在平面直角坐标系上,有一点列：P1,P2, , Pn, nN *,设点 Pn的坐标为 n,an,其中 an2 nnN *,过点 Pn,Pn1 的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 bn,设 Sn 表示数列 bn的前 n

12、 项和,就 S5_. y2 n n1 22 n解析： 由题意得,过点 Pn, Pn 1 的直线为,即 2xnn1y22nxn n1 n10.令 y0,得 x2n 1,令 x0,得 y2 2n1n n1,所以 bn1 2 2n 12 2n1n n14n n1 141 nn1 1,所以 S54 5 11 21 21 3 1 5 1 6125 6 . 答案：1256162022 兰州模拟 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 1 S11S2 1Snn 1.设 bn 1an,数列 bn的前 n 项和为 T n,如对一切 nN *,均有 Tn1 m,m 26m163,就实数 m的取值范畴是 _解析：

13、 当 n1 时,1 S11 2,当 n2 时, 1 Snn1 nn1nn n1 1,当 n 1 时也成立,所以 Snnn1,nN *,就 a12,anSnSn 12n,n 2,当 n 1 时也成立,所以5 名校名师举荐 an2n,n N*.就 bn2 an 1 n,数列 bn是等比数列,所以其前n 项和 T n1 411 n 411 411 4 n31 4,1 3,所以1 m1 4,解得 m0,且 a 1的an的前 n 项和为 fnc,数列 bnbn0的首项为c,且前 n 项和SnSn 1n 21求数列 an和bn的通项公式；2如数列 cn的通项 cnbn1 3 n,求数列 cn的前 n 项和

14、 Rn. 解： 1f1a1 3,fx1 3 x,a1f1c1 3c,a2f2 cf1c 2 9,2 a3f3 cf2c27. 又数列 an成等比数列,2a1a a3242 31 3c,c1. SnSn 1n2,bn0, Sn0, Sn812 27又公比 qa2 a11 3,an2 31n1 21nnN*33Sn Sn1SnSn1SnSn 1Sn11,数列Sn 构成一个首项为1,公差为1 的等差数列,Sn1n1 1n,Snn 2. 当 n2 时, bnSnSn 1n 2n1 22n1,又 b1c2 111 满意 bn 2n1,bn 2n1nN*1n,2cnbn1n2n1 33Rnc1c2c3 c

15、n111 312513 2n11n,33337 名校名师举荐 1 3Rn112313514 2n31n2n11n 1.S2 3,33333由得,2 3Rn1 321213141n 2n11n 1,33333化简得,2 3Rn1 3212 11n1 2n11n12 32 n11n,33113333Rn1n1 3 n . 20本小题满分15 分设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,a223a7 2,且 1 a2,S3成等比数列, nN*. 1求数列 an的通项公式；2令 bn2 anan2,数列 bn的前 n 项和为 Tn,如对于任意的n N*,都有 8Tn2 2 5成立,求实数 的取值范畴解：

16、 1设等差数列 an的公差为 d,a223a7 2,由S2321 a2S3,a1 2,或a12 5,a121d 3 a16d 2,得2a1d3 a1d 3a13d, 2a13d 2,即a1d 2a1d 6 0,解得d2,d2 5.当 a12 5,d2 5时,S2 317 5没有意义,a12,d2,此时 an22n12n. 2bn2anan 211 41 n1 n2 . 31 5141 6 151 716 12n n2Tnb1b2b3 bn1 411 3 121 41 1 41n11 n111 n1 n2111 21n 11 n23 81 41n11 n2 . 8 名校名师举荐 1 18T n3

17、2 n1n2 3,为满意题意,必需 2 253,1 2或 3. 21本小题满分 15 分在数列 an中, a11,a210 3,an1 10 3 anan 10n2,且nN *1如数列 an1 an是等比数列,求实数 ；2求数列 an的通项公式；3设 Snnai,求证： Sn0,1由 an3an13 n1n2,得 an3an 1,1 1 1an 3an1 n2,Sn1 a1 1 a2 1 a3 1 an a11 a1 1 a2 1 a3 an1 1a11 13 a1 1 a2 1 a3 an 1 11 an3an 1a11 3Sn,Sn3 2. 9 名校名师举荐 22本小题满分 15 分2022 绍兴模拟 已知数列 an满意, a11,an 1 an11 2. 1求证： an 2 3；12求证： |an1an|3；103求证： |a2nan|27. 证明： 1由已知得 an11,又 a11,an1 2就 a22 3,a36 7,a414 19,猜想 2 3an1. 下面用数学归纳法证明当 n1 时,命题明显成立；2假设 nk 时,有 3an1 成立,就当 nk1 时, ak 1111,ak1 2 3 1ak1ak1 1211 1223,即当 nk1 时也成立,所以对任意 nN *,都有 23an1. 2当 n1