高中数学必修二 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（含答案）

1、7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z1r1(cos1isin1)，z2r2(cos2isin2)，则(1)乘法：z1z2r1r2cos(12)isin(12)，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和(2)除法：z1z2eq f(z1,z2)eq f(r1,r2)cos(12)isin(12)

2、(其中z20)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差(3)乘方：znrn(cosnisinn)(4)开方：eq r(n,z)eq r(n,r)(coseq f(2k,n)isineq f(2k,n)(k0,1,2，n1)知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z1，z2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z1，z2对应的向量 eq o(OZ1,sup6()， eq o(OZ2,sup6()，然后把向量 eq o(OZ1,sup6()绕点O按逆时针方向旋转一个角2(如果20，就要把 eq o(OZ1,sup

3、6()按顺时针方向旋转一个角|2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量 eq o(OZ,sup6()， eq o(OZ,sup6()表示的复数就是积z1z2.这就是复数乘法的几何意义z20，eq f(z1,z2)的几何意义是把z的对应向量 eq o(OZ1,sup6()按顺时针方向旋转一个角2(如果20，所以复数z2z的模为2coseq f(,2)，辐角为(2k1)eq f(3,2)(kZ)探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量eq o(OZ,sup6()与1i对应，把eq o(OZ,sup6()按逆时针方向旋转120，得到eq o(OZ,sup6()，求与向量eq o(OZ,su

4、p6()对应的复数解将向量eq o(OZ,sup6()逆时针方向旋转120，得到eq o(OZ,sup6()，由于模未发生变化，应当是eq o(OZ,sup6()对应复数乘以1(cos120isin120)，即z(1i)(cos120isin120)eq r(2)(cos135isin135)(cos120isin120)eq r(2)(cos255isin255)eq f(1r(3),2)eq f(1r(3),2)i.归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明123eq f(,2).证明：1，2，3分

5、别等于复数1i,2i,3i的辐角主值，这样123就是(1i)(2i)(3i)10i的辐角，1，2，3都是锐角，所以123eq f(,2).课后作业A组 基础题一、选择题1复数(sin10icos10)3的三角形式为()Asin30icos30Bcos240isin240Ccos30isin30Dsin240icos240【答案】B2若zcos isin ，则使z21的值可能是()A0B.eq f(,2) CD2【答案】B解析：zcosisincos()isin()，z2zzcos(2)isin(2)cos2isin21，eq blcrc (avs4alco1(cos21，,sin20)eq f

6、(,2).34(cos60isin60)3(cos150isin150)()A6eq r(3)6iB6eq r(3)6iC6eq r(3)6iD6eq r(3)6i【答案】D解析：4(cos60isin60)3(cos150isin150)12cos(60150)isin(60150)12(cos210isin210)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)f(1,2)i)6eq r(3)6i.故选D.4复数z11，z2是由z1绕原点O逆时针方向旋转eq f(,6)而得到，则arg(eq f(z2z1,2)的值为()A.eq f(,12) B.eq f(,3)C.eq

7、f(5,12) D.eq f(7,12)【答案】D5(多选)设z1、z2是复数，argz1，argz2，则arg(z1z2)有可能是下列情况中的()AB2C2()D【答案】ABC解析：因为argz1，argz2，所以0,2)，0,2)，而arg(z1z2)0,2)，则当0,2)时，arg(z1z2)；当2，4)时，20,2)，则arg(z1z2)2；当时，2()，此时arg(z1z2)2()，故选ABC.二、填空题6复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是 .【答案】eq f(r(3),2)eq f(1,2)i，eq f(r(3),2)eq f(1,2)i解析：icoseq f(3,2)i

8、sineq f(3,2)，其立方根是coseq f(2kf(3,2),3)isineq f(2kf(3,2),3)，k0,1,2，即i，eq f(r(3),2)eq f(1,2)i，eq f(r(3),2)eq f(1,2)i.三、解答题7计算：4(coseq f(4,3)isineq f(4,3)2(coseq f(5,6)isineq f(5,6)解：原式2cos(eq f(4,3)eq f(5,6)isin(eq f(4,3)eq f(5,6)2(coseq f(,2)isineq f(,2)2i.8把复数z1与z2对应的向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()分别

9、按逆时针方向旋转eq f(,4)和eq f(5,3)后，重合于向量eq o(OM,sup6()且模相等，已知z21eq r(3)i，求复数z1的代数形式和它的辐角主值解：由复数乘法的几何意义得z1(coseq f(,4)isineq f(,4)z2(coseq f(5,3)isineq f(5,3)，又z21eq r(3)i2(coseq f(4,3)isineq f(4,3)，z1eq f(2cosf(4,3)isinf(4,3)cosf(5,3)isinf(5,3),cosf(,4)isinf(,4)2cos(3eq f(,4)isin(3eq f(,4)eq r(2)eq r(2)i，z

10、1的辐角主值为eq f(3,4).9计算：eq r(3)(coseq f(,6)isineq f(,6)4(coseq f(,12)isineq f(,12)解：原式4eq r(3)cos(eq f(,6)eq f(,12)isin(eq f(,6)eq f(,12)4eq r(3)(coseq f(,4)isineq f(,4)2eq r(6)2eq r(6)i.10若zeq r(3)(coseq f(,6)isineq f(,6)，求z2与z3的值解：z2zz(eq r(3)2cos(eq f(,6)eq f(,6)isin(eq f(,6)eq f(,6)3(coseq f(,3)isi

11、neq f(,3)eq f(3,2)eq f(3r(3),2)i.z3zzz(eq r(3)3cos(eq f(,6)3)isin(eq f(,6)3)3eq r(3)(coseq f(,2)isineq f(,2)3eq r(3)i.11在复平面上A，B表示复数为，(0)，且(1i)，判断AOB形状，并证明SAOBeq f(1,2)|2.解：AOB为等腰直角三角形证明：0，(1i)，eq f(,)1ieq r(2)(coseq f(,4)isineq f(,4)，AOBeq f(,4)；eq o(OA,sup6()，eq o(AB,sup6()分别表示复数，由i，得eq f(,)icoseq

12、 f(,2)isineq f(,2)，OAB90，AOB为等腰直角三角形SAOBeq f(1,2)|OA|2eq f(1,2)|2.12设复数z1eq r(3)i，复数z2满足|z2|2，已知z1zeq oal(2,2)的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2(0，)，求z2的代数形式解：因为z12(coseq f(,6)isineq f(,6)，设z22(cosisin)，(0，)，所以z1zeq oal(2,2)8cos(2eq f(,6)isin(2eq f(,6)由题设知2eq f(,6)2keq f(3,2)(kZ)，所以keq f(2,3)(kZ)，又(0，)，所以eq f(2,3)

13、，所以z22(coseq f(2,3)isineq f(2,3)1eq r(3)i.B组 能力提升一、选择题1复数zsineq f(,6)icoseq f(,6)，若zn(nN)，则n的最小值是()A1B3C5D7【答案】C解析：因为zsineq f(,6)icoseq f(,6)coseq f(5,3)isineq f(5,3)，所以zncoseq f(5n,3)isineq f(5n,3)，coseq f(5,3)isineq f(5,3)coseq f(,3)isineq f(,3).因为zn，所以eq f(5n,3)eq f(,3)2k，neq f(6k1,5)，因为nN，kZ，所以当

14、k4时，n5.2.设复数z12sinicos(eq f(,4)eq f(,2)在复平面上对应向量eq o(OZ1,sup6()，将eq o(OZ1,sup6()按顺时针方向旋转eq f(3,4)后得到向量eq o(OZ2,sup6()，eq o(OZ2,sup6()对应复数z2r(cosisin)，则tan()A.eq f(2tan1,2tan1) B.eq f(2tan1,2tan1)C.eq f(1,2tan1) D.eq f(1,2tan1)【答案】A二、填空题3(1eq r(3)i)76464eq r(3)i.解析：(1eq r(3)i)7eq blcrc(avs4alco1(2blc

15、(rc)(avs4alco1(cosf(5,3)isinf(5,3)727eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(35,3)isinf(35,3)128eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(r(3),2)i)6464eq r(3)i.三、解答题4若zC，|z2|1，求|z|的最大值，最小值和argz范围解：如图，由|z2|1，知z的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心，1为半径的圆面(包括圆周)，|z|表示圆面上任一点到原点的距离显然1|z|3，|z|max3，|z|min1，另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|1，|OC|2知AOCBOCeq f

16、(,6)，argz0，eq f(,6)eq f(11,6)，2)5已知复数z12i对应的点为P1，z234i对应的点为P2，把向量eq o(P1P2,sup6()绕P1点按顺时针方向旋转eq f(,2)后，得到向量eq o(P1P,sup6()，求向量eq o(P1P,sup6()和点P对应的复数分别是什么？解：由题意知向量eq o(P1P2,sup6()对应的复数是z2z1(34i)(2i)13i.再由复数乘法的几何意义得，向量eq o(P1P,sup6()对应的复数是(13i)eq blcrc(avs4alco1(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)isinblc(rc)(

17、avs4alco1(f(,2)3i，最后由复数加法的几何意义得，向量eq o(OP,sup6()eq o(OP1,sup6()eq o(P1P,sup6()，其对应的复数是(2i)(3i)12i，故点P对应的复数为12i.6已知zeq f(1i,i)2i，z1z20，argz2eq f(7,12)，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|eq r(2)，求z1的立方根解：由题设知z1i，因为|AB|eq r(2)，即|z1z2|eq r(2)，所以|z1z2|z2z2|(1i)z2z2|iz2|z2|eq r(2)，又argz2eq f(7,12)，所以z2eq r(2)(coseq f(7,12)isineq f(7,12)，z1z2(1i)z2eq r(2)