2.2.1直线的倾斜角与斜率课件-高二上学期数学人教Ｂ版(2019)选择性必修第一册

1、2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率第二章 平面解析几何重点：理解直线的斜率的概念，探索如何通过直线上两点求直线的斜率难点：理解斜率的几何意义及其与“相似比”等概念之间的内在联系1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.学习目标知识梳理1.直线的倾斜角与斜率一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是 （即 ）.特别地，与x轴平行或重合（即与y轴垂直）的直线，倾斜角为 ，与x

2、轴垂直的直线，倾斜角为 .0，180）0，）090一般地，如果直线l的倾斜角为，则当90时，称ktan 为直线l的斜率；当90时，称直线l的斜率不存在.若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则当x1x2时，直线l的斜率为k ，当x1x2时，直线l的斜率不存在.2.直线的方向向量(1) (2)直线l的方向向量不唯一，直线l的所有方向向量共线.3.直线的法向量一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作vl.一条直线的方向向量与法向量 .特别地，当x0与y0不全为0时，因为向量（x0，y0）与（y0，-x0）是互相垂直的，所以

3、，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个法向量.常考题型题组一 直线的倾斜角识别直线的倾斜角例1 图中直线的倾斜角标注正确的有个.（1） （2） （3） （4）【解析】对于（1），角的一边取的是x轴的负方向，因此标注不正确；对于（2），角的一边取的是直线向下的方向，因此标注不正确；对于（3），角的两边分别取的是x轴的负方向和直线向下的方向，因此标注不正确；对于（4），角是y轴正方向与直线向上方向所成的角，因此标注不正确.故标注正确的有0个.【答案】0用直线倾斜角的定义，直接求直线的倾斜角例2 求出图中各直线的倾斜角.（1） （2） （3）【解】（1）如图（1），可知OA

4、B为直线l1的倾斜角，易知ABO30， OAB60，即直线l1的倾斜角为60.（2）如图2-2-3（2），可知xAB为直线l2的倾斜角，易知OBA45， OAB45， xAB135，即直线l2的倾斜角为135.（3）如图（3），可知OAC为直线l3的倾斜角，易知ABO60， BAO30， OAC150，即直线l3的倾斜角为150.（1） （2） （3）【变式训练】设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转30，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（）A.+30B.-150C.150-D.当0150时为+30，当150180时为-150已知两点坐标，求其所在直线的倾斜角例3 已

5、知a，b，c是三个互不相等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角.（1）A（a，c），B（b，c）；（2）C（a，b），D（a，c）；（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）.【变式训练】已知两点含参坐标，在其所在直线倾斜角大小限制条件下，求参数例4 已知M（2m+3，m），N（m-2，1），（1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？（2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？已知直线l经过点A（1，t）和B（-2，1），试问，当t取何值时，直线l的倾斜角为（1）45；（2）60；（3）120？【变式训练】已知直线l经过点A（1，t）和B（-2，1）

6、，试问，当t取何值时，直线l的倾斜角为（1）45；（2）60；（3）120？【变式训练】已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，求l的倾斜角的取值范围.【变式训练】已知两点含参坐标，求其所在直线倾斜角的取值范围例6 求经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角的取值范围.【变式训练】题组二直线的斜率已知直线的斜率，求其倾斜角例7 已知直线l的斜率为-1，则它的倾斜角为.【解析】设直线l的倾斜角为，0180，则tan -1，所以135.【答案】135已知两点含参坐标，在其所在直线的斜率大小限制条件下，求参数例8 已知一条直线经过点A（-a，6），B

7、（1，3a），且斜率为12，求a的值.已知经过两点A（5，m）和B（m，8）的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围.【变式训练】已知直线的倾斜角，求斜率例9 若直线AB与y轴的夹角为60，则直线AB的倾斜角为，斜率为.【变式训练】如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.【变式训练】已知两点含参坐标，求其所在直线的斜率例11 2019甘肃武威高一检测求过下列两点的直线的斜率k.（1）A（a，b），B（ma，mb）（m1，a0）；（2

8、）P（2，1），Q（m，2）.经过下列两点的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率；若不存在，说明理由.（1）A（3，2），B（5，-6）；（2）E（2，-3），F（m，-2）（mR）.【变式训练】已知直线的倾斜角大小，判断其斜率的大小例12 如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为（按从大到小的顺序排列）.【解题提示】根据直线的倾斜程度判断倾斜角是锐角还是钝角，进而比较斜率的大小.【解析】由图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1k30，所以k2k3k1.【答案】k2k3k1如图所示，设k1，k2，k3分别为直线l1，l2，l3的斜率，则k1

9、，k2，k3的大小关系是.【变式训练】解析：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由题图可知019032180，因此k3k20k1，即k3k2k1.答案： k3k2k12020浙江嘉兴一中高二检测过点P（-1，2）的直线l与线段AB相交，且A（-2，-3），B（3，0），求直线l的斜率k的取值范围.【变式训练】题组三从直线的倾斜角、斜率角度，解决三点共线问题从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线例14 求证：三点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在同一直线上.求证：A（1，-1），B（-2，-7），C（0，-3）三点共线.【变式训练】【解题提示】因为点A，B，C的横坐标不是都相同，所以三点所在直线不会垂直于x轴，即斜率存在.【思路点拨】如果A，B，C三点在同一条直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等.【变式训练】【解题技法】已知三点坐标，证明其共线的三种方法1.从直线的倾斜角、斜率角度，证明三点共线；2.从直线的方向向量角度，证明三点共线：若证点A，B，C共线，只要证明任意两点组成的两个向量共线即可.3.若证点A，B，C共线，只要证明|AB|+|AC|BC|（或|AB|+|BC|=|AC|或|AC|+|BC|=|AB|）即可.已知直线l经过点A（-2，0）和B（-5，3），求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率和倾斜角.【变式训练】从直线的方向向量角