1.2.3直线与平面的夹角 1.2.4二面角 1.2.5空间中的距离课件-高二上学期数学人教Ｂ版(2019)选择性必修第一册

1、1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角1.2.4 二面角1.2.5 空间中的距离第一章 空间向量与立体几何重点：斜线和平面所成的角，二面角的概念与求法，四种距离的概念，点到平面距离的求法难点：斜线和平面所成角的求解，公式cos cos 1cos 2的灵活运用，二面角大小的求法，求平面的法向量1.理解直线与平面所成角的概念，会用向量法求线面角.2.正确区分向量夹角与所求线面角及面面角的关系.3.掌握求二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小.4.理解点到平面距离的概念，能灵活运用向量方法求各种距离，体会向量法在求距离中的作用.学习目标知识梳理1.线面角平面的斜线与它在平面内

2、的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.如图，记AOA1，AOM2，AOM，则cos cos 1cos 2.一般地，因为0cos 21，所以由上式可知cos cos 1，因为1和都是锐角，所以可得1.这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.(1) (2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.如图所示，在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的

3、平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.2.二面角如果n1，n2分别是平面1，2的一个法向量，设1与2所成角的大小为，n1，n2或-n1，n2，特别地，sin sinn1，n2.(1) (2)一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离d .3.空间中的距离常考题型一直线与平面的夹角用最小角定理求直线与平面所成的角例1【变式训练】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和CC1的中点，求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.解题方法：应用最小角定理解题的过程1.明确三线：平面内的直线、平面的斜线、斜线在平面内的

4、射影.2.明确三角：斜线与平面内的直线所成的角为，斜线与射影所成的角为1，射影与平面内的直线所成的角为2.3.应用定理求解.例2用空间向量求直线与平面所成的角【变式训练】1如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线FO与平面BED所成的角为45，则AE.D2解题方法：已知直线与平面所成角，用向量法求参数例3【变式训练】解题方法：二二面角及其度量如图，已知四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD.（1）求二面角B-PA-D平面角的度数；（2）求二面角B-PA-C平面角的度数.例4【解】（1） PA平面ABCD， ABPA，ADPA.

5、 BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意BAD90， 二面角B-PA-D平面角的度数为90.（2） PA平面ABCD， ABPA，ACPA. BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形， BAC45.即二面角B-PA-C平面角的度数为45.【变式训练】A三用空间向量求二面角的大小用方向向量法求二面角【变式训练】若向量m（-1，2，0），n（3，0，-2）都与一个二面角的棱垂直，且m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为 .用法向量求二面角（1）【证明】由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD.又PAPDP，所以AB平面PAD.又AB

6、平面PAB，所以平面PAB平面PAD.【变式训练】【变式训练】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4）.解题方法：例7四向量法解决二面角相关的存在性、探究性问题【变式训练】解题方法：用空间向量求解探索性问题的策略对于立体几何中的探索性问题，由于此类问题涉及的点具有不确定性，用传统方法解决难度较大，向量方法（特别是坐标法）可使几何问题代数化，思路简单，操作方便.解决此类问题的基本步骤：1.假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分结论.2.在这个前提

7、下进行逻辑推理，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标（或参数）是否有解，是否有规定范围内的解”等.若由此推导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.例8五空间中的距离空间中两点之间的距离已知平行六面体ABCD-ABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60，则AC.【变式训练】例9点到直线的距离2020河北衡水中学高二检测如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为. 例10点到平面的距离已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别

8、为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离.【解】建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示.【变式训练】解题方法：另外，也可以求出点A在平面内的射影，用两点间的距离公式求解.例11相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点.求直线AC到平面PEF的距离.【变式训练】解题方法：1.当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点（端点或中点等），求出该点到平面的距离即可.2.当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平面的距离即