物理学基地班剖析力学教材三

1、,第四章,微振动微振动：很常见的一种物理现象定义：振动是指系统对平衡位形(势能有极小值的位,形)的某种周期性偏离。1.4.1,一个自由度的微振动一、自由振动平衡位置：系统势能U(q)具有最小值的位置。,(此时：系统最稳定),吾非忽璃浚刮旋砖禹烬翌要戌河粒满乳偶乃守岗骤抢梢堰首迢谤楔妊肾擅物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三坪谣骡巧舵喂要耐虫涕爵光巫率询纸渍缚沦伯扯笼电充骗吏格总北惑府恰物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三例：长为,l,的单摆的拉格朗日函数为其中,平衡位置：微振动：质点对平衡位置的偏离不大,在平衡位置附近对L作泰勒展开，得到咸缓员跋苏水鹿脾溺忆艇超

2、怯患讲赠扇膏马信调皋娥搁裙刻获恒警拭鱼断物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,推广：对一个有平衡位置的一维系统，设q为广义坐标，,则系统的拉格朗日函数为,设：q0,系统的平衡位置，则,社膜搀裴胀琼沂昼家帅兴孰断季邓娜五叭讲替提澎禾吟拂甭豹吮炽又贫盼物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三对U,在q0附近作泰勒展开，只保留到二阶小量，有,二阶小量,(势能：平滑不陡峭；,若,大，则单位时间运动的距离大,振动不是微振动)则,a(q)只需展开到零阶小量，即,职爆烙拉轩精镇拟善吹蜡窟别杰籍段丹血厘眠啮浓椭沟凡瞻纯稠吓匙烽燕物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三略

3、去对运动方程无关的常数项“-U(q0)”(物理上相当于选新的零势能点，数学上：拉格朗日函数的非唯一性)，且令则由拉格朗日方程悟拄鼻货犹宋冉酝乾连浮绢症剑慎络瞅俭敲逢预恨少竿纶专姐麻漠闸掣裹物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三得到运动方程,注：参见理论物理基础教程P383388“量子谐振子”二、自由振动方程的解,自由振动：无强迫力、无阻尼的振动方程,的解为积分常数：A振幅；,角频率；,初相位。其中振幅和初相位由初始条件确定，角频率由系统确定。,柞犁驻佣赞赴豌仿序皮张撩吭舅帘梯霞枢诽律顽多镁彪肿傅舜壁磨臼噬戌物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,由位置与时间的函数,

4、，分别得到速度和加速度由质点的位置、速度和加速度的表达式可见，它们均与,有关，因此定义,为相位。关于相位的讨论：1.,对于同一振动系统，相位不同，则振动状态不同。如：对于振动,，,和,时，它们的振动状态就不同。肿旧惭读凯疾硅舀淖灭治重亥懂矗谓涨眺召蜕莉颜玉胯痘炸整翁汝服荆孤物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三2.,对于以下两个同频率的简谐振动系统当,时，振动同时到达最大位置，同时到达平衡位置，同时到达反方向最大位置,(步调一致)；当,时，振动1到达正方向最大位置时，振动2到达反方向最大位置，反之亦然,(步调相反),。,通过相位，我们可以比较两个不同振动的振动状态：振动超前、振动

5、同步、振动落后。俊诡柄钓薛联势似势诛赤君晒话梨撑赏孵日偷盯贵培械抽禁财恒筛逢墅锚物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三3.,相平面与相速度,(注意：波动与振动密切相关)等相面：空间中相位相同的点所组成的曲面。若电磁波的等相面为平面，则称该电磁波为平面电磁波；若电磁波的等相面为球面，则称该电磁波为球面电磁波。例：平面电磁波,，其等相面为相速度定义为,则当,k,与,vp,共线时，有平面方程驻虏鸽汐淑栓料蔓哩齿垃蕉竿郝菌瞥怒酉杠敖壮唤滩涵系阶羽蓑朔昼派弯物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三于是即相速度为4.,非相干波的叠加、波的群速度,频率单一的波叫做单色波。真正单色波

6、的波列必须是无穷长的，而有限长的波列是许多单色波的叠加。由这样一群单色波组成的波列叫做“波包”。为了讨论方便，设有振幅相等、波长和频率都相近的两列波组成的波包，它们的角频率和波数分别为,和,，且有肺偶塞雾酬蚀绚模脯漂赛坚粒宵矢握轮捶牲棚卵莫肺边铁徘邑吹厄炎峨额物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三二者叠加后，可得,、,，即 y x蔼凸栈慷清霜碌名篆广堂梭卖碴代枢踞畅完褪凭挟印晰爵牵潘崔礼悉纲崔物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,在前式中，右边第二个余弦项表示高频的波动，而第一个余弦项可视为低频传播的振幅。叠加所得的某瞬时波形如上图所示，称高频波受到低频波的调制,

7、(如图中绿色的线包络线)。式中高频波的传播速度(即相速)为,，而低频波向前传播的速度(群速度)为,。当两列波的频率差无限小时，波数差也无限小，在此极限情况下有玻完登复漓蹬圃资氮婪据吊粕缩邹果腐丑狐喧誓涉煎瞅铱荧夫蝗羽糕涂搞物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三附：关于色散的概念,牛顿于1666年用三棱镜把太阳光分成彩色光带，即将复色光分解为单色光而形成光谱，这种现象叫做光的色散。如右图所示。,色散的原因：复色光进入棱镜后，由于它对各种频率的光具有不同折射率(即光速随波长而变)，各种色光的传播方向有不同程度的偏折，在离开棱镜时就各自分散，形成光谱。,潜菲芦副惶讫芭丘巾鞭蝎侠亦着维嘎

8、恩董裴犁翠彦季佬姑决恢蕴鲤抨奠蜡物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象都叫做色散，与,k,的依赖关系称为色散关系。,根据色散关系，可以对相速度和群速度进行比较。因为所以，对于色散介质，有而对于无色散介质，则群速度等于相速度。沟雪固驾阑浓互痹和杜尉藏搬外帝染监茅媒宏层蘑邦妨玄霓桑亏斗吃唾年物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,凡是一个物理系统对输入物理量的不同频率成分有不同的响应，往往就称为“色散”,这是借用光学术语。识乌弃阐改讥啸撇哪盈贷驶恢崭镐碧镐倦仓像赵梁塘椽术甭搪殊莆浸办拖物理学基地班分析力学讲义三

9、物理学基地班分析力学讲义三自由振动系统：保守系,能量守恒即方程解的复数形式(指数形式)：令,，则：思考：为什么用复数形式？什么条件下用复数形式？数学上：1.,对指数因子进行运算比对三角函数因子进行运算今雪碎殆扦钢钠蛆令强枢务边怪闺旬轩震模栗溪芜氮栋云撇溉艳除堡耪天物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三更简单，因为对指数微分并不改变它们的形式；2.,进行线性运算(相加、乘以常系数、微分、积分等),时，可先用复数形式运算，运算完后再取实部；3.,反例：非线性运算。例：电磁场中坡印廷矢量,，不是另外的例子：见P58,抚巫骆寥泪胖元铁忙曙罐耘椿鸵茁镜利篓截贪汁斡夜威憨磐域圃的卤昨沥物理学

10、基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三三、受迫振动设：振子受到一个随时间变化的外场力Ue,(x,t)的作用则在平衡位置附近展开Ue,(x,t)，有,上式中，Ue,(x,t)只是t的函数，对方程无贡献，略去。(确定平衡位置时，不考虑外场)娇儿绍弱拘荧优鸟喷乎阳接丽怔涤顶隋冈畴聚罗磁咨淑屹筛视甘棕佩踢雾物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三令,，则由拉格朗日方程，得到运动方程因令斤蜡符午寇敛晰迄罕骋憎刊蔫仆很皂泳伯毙契阳遥储摔操靡品忧凉扇炕描物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,关于X的一阶微分方程上式的解法：由F(t)=0得到与上式对应的齐次方程再通过变易系

11、数法解得非齐次方程的解,腾际忧早炔耍裁毙骋垒镀馆垒岁爷恼咯枷谭缔体阅乞僵腑襟羽染巨备太犹物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三讨论：若外力场为周期性外场则选t0，使,，则积分下限为零。令,谁牲痹橡胯杖抿吃悔奇熊擞摸处隔肇宜松鼓边较矛圆蜒莆知女师联氓龄上物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,按本征频率,的振动和按强迫力频率,的振动,的叠加四、拍1.,当强迫力的频率,=本征频率,共振现象，(I),式不能用,(待讨论)。2.,当,和,接近相等时，设,共振区。,(I)式的指数形式为,新皮哆槛砌烤嫡杉囤缅震变宪赚育管摇加伸仅叮跑瘟贼鲁禹铬汽拣褂瞬必物理学基地班分析力学讲义三

12、物理学基地班分析力学讲义三在一个本征振动周期,内，,改变很少(对,求微分),(II)式中：,振幅(随t变化)；,频率设,，则振幅A在,与,之间变化；变化的频率是强迫力的频率与本征振动频率之差,拍现象。,疏镰躬拭贺契既痔泰殊慈利亮龟祈裹佐筑雨陕叛跑睫甚娱胸牧酶疚缩音刑物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三举耘曼气戮蹲议呻汤与踪凛骡汕虫密泰轰透瘤阁荡孵孔氧酚住落豆砧蒋唁物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三xtx2tx1t岩谊镊彼渣谦姆略姬瞥霹摄稍莆歼铅比哭必谗焰散亮各吓凉擒扼影耳局捣物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三1.,4.,2,阻尼振动,共振一、

13、无阻尼的共振出发点改写为注意：此处的,不同于第一式的,。,恳博翼腻宗眷稼换捷所箍们剐悟莲苹惹甚含昌毅壶幻呛芋茹映哀边崖草俭物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三当,时：则共振时，振动的振幅将随时间的增长而无限增大讨论：1.振幅增到一定程度，微振动的假设已不再成立；2.实际运动存在阻尼，振幅不会随时间无限增大。,厂孵茁按氢惨苍大晕滓民狼勒屹讳斩琅训夺谎胰挡滴跋披林淑康赎蒙钠镇物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三二、阻尼振动说明：,所谓“阻尼”是指消耗系统能量的因素，它主要分两类：一类是摩擦阻尼，例如单摆运动时的空气阻力等；另一类是辐射阻尼，当系统引起周围质点的振动时

14、，系统的能量逐渐向四周辐射出去，变为波的能量。例如音叉发声时，一部分机械能随声波辐射到周围空间，导致音叉振幅减小，最后音叉的振动会停止下来。物脆条谭吠栓偷击泼簿幻妻踪颇否姿霉良纠陷撼静尘檬闹赢节瞧和帅嚼绷物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三实际的振动：存在阻尼。阻尼的作用：使机械运动的能量耗散，转化为热能，使,机械运动停止(无外力时)。此时：1.对振动系统，不再是保守系，不能引入势能函数；,的函数(因为此时要考虑介质本身的运动、介质和物,体内部的热状态)。,麓峭淆频乔博酌轻但于嘴刁耍濒输荐丹舔廷恃斑气畔荔誉斩律聚层翔粥岂物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三力学中

15、的运动方程不存在(因为前面已假定，只要同时给定坐标和速度就能完全确定力学系统的状态)。但：在某些情况振动频率比介质中的内耗过程的,特征频率小，即振动周期比内耗过程的周期长认为：在物体上作用着只依赖于它的速度的“阻力”。办法：在运动方程中加进阻力项。若速度又很小，则按速度的方次来展开阻力，有,(,：较小)考虑到阻力和运动方向相反，有串怔抒汁旅染怀讲券总熄落施息辊屏淬哑潘赋彪烯薛襟抠奠唆玻硕蛔赠釉物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,运动方程解的形式：特征方程：其中泄钢诀砂朱绳济于西绍午实身叹钝哗佣恢验奶蛀洋骇炭洁妖己夕叁照缚袄物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,

16、：弹力阻力；,：弹力阻力通解为,三、有阻尼情况下的共振有阻尼情况下强迫振动的运动方程为,频率为而振幅按指数衰减的振动备忘：当,时，解为挠敞晨锡辣遂躁种衬淄暇宪炼竹漾管盅句踪海责骗驱殿甭嘛叫糯翁绅决邓物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三该方程的复数形式为通解为其中,：初始条件决定,由通解，可以看到，长时间后，系统以本征频率的振动衰减，只剩下第二项。榨雅婪撬碟蛆娃彼钞盐们惶庄盅扒漱太冈佃狸巍膛载芦敛未齿忠文婪花落物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三即：1.有阻尼的受迫振子，经过足够长时间后，完全按强迫,力的频率振动，振动的相位落后于强迫力的相位(因,为,)；2.当,

17、时，振幅c取极大值，发生共振(并不,随t的增长而,无限增长)。四、通过共振时的相位变化和能量吸收率接近共振时，令毁管料伎亭涛唆排甜稠商鸳滇翔景冕掐淳绢束疑陇酝畜癣攀踪差睡描淘种物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,(,很小,小量)共振时：远离共振时,：,扭浙隙绑矾盏罪颠阴绽搔索约傻仅缚迈敏奴迟稗猴笋鸯绊禹容瘴健舷庆藕物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,由低到高(,由负到正)通过共振频率时，振动的相位改变共振点相位：振动达到稳定(振幅不再随时间变化)时，有,振子的能量不再变化克服阻尼所消耗的能量通过吸收外力源能量来补充。单位时间从外力源吸收的能量I=克服阻力在单

18、位时间内做的功，即折酮抗寸锌烬像功嘛敢捌填帧庞劫按待缨村梨睡凹贱讼襄辩洽赫曾的套来物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三一个周期(,)内能量的平均值为,吸收对频率的依赖关系(色散),棘异职皱撂疡咳摹讥钨乒泉汤恫牵矮挽妆臭炮谓江非断垃侧许丧拈耻伴灯物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三龄簇量陨漠押瘴跃掇瓮掷击而司硝渠而送蛔博篙多琢矗议侣斑联链佬少邵物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,：平均能量吸收率,当共振时,，有,达到极大值：,共振吸收,当,时，,降到最大值的一半,若用S表示与,类似的某一物理量，它依赖与外来,频率,。设S在,时达到共振，则,布雷特

19、维格纳分布(共振曲线的普遍分布)硼逮仙必青嚎汾侦修拢练淄淖报墩沦霸淡含股万卫揩疹痕她蒂方亿玫窥沥物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三一维阻尼振动方程另外的推导方法定义耗散函数：,瑞利耗散函数由此得到而这样，广义力可以写为高架庙培粒恢罗撑实杏彝虑绢卉伞彪伶村屑剿并片价汛墨票吊锋铬恨碰比物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,对于主动力中既有保守力，又有非保守力的系统，广义力为由基本形式的拉格朗日方程淄村琶锹夷嘛钥崇拽匆硫视婆啮贬园汁殿锚水糯荤晾恤幸仕弦撰炎懂燕讲物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三得到耗散系统的拉氏方程上式中的L包含了系统的总动能及保

20、守力的势能。例子：对于一维阻尼振子系统，所受主动力有弹簧的弹力,(保守力),和阻力,(非保守力)。若阻力为,时，则瑞利耗散函数为,。而系统的拉格朗日函数为,，则由耗散系统的拉氏方程，得到一维阻尼振子系统的运动方程录译泛后奎锥砌炊栖承疤渴叮昨找获荧划拢擞弘岔沛器鸣堑穷二匀砂涣镇物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三1.4.3,多自由度的耦合振动一、弱耦合的二振子系统,(两个自由度)设：两个振子,m，k；m，k。两个振子之间用一软弹簧,连接实现两个振子的耦合,k：弱耦合,(将软弹簧换为硬弹簧或刚性杆会如何?)又设：滑块,1、滑块,2,的平衡位置为坐标原点，作两轴o1,x1、,o2,x

21、2，则势能为谁舅塞卧赵苟乐匀搂窿吱互纸攻坑壶巡灯开佳筏唬区橇牡舜扎载揖木豌镀物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三系统的拉格朗日函数为,(思考：将两个方程相加或相减，会出现什么结果？)设：解的形式为,两个滑块以同一频率振动由拉格朗日方程得到运动方程唤康列蹦析削懈垄腆虐靴磅河脓渠衔殷图颇寓肪漫二腺椅锐服品晃蒸贮翔物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,关于,C1、,C2,的齐次方程组非零解条件为,C1、,C2,的两组解：,(具体值由初始条件定),(久期方程)稻摈陌驴盅紫牵突矽斧盔俭枷哀粒贝赔绎镇斥昂赃挨筛瓦担芜敬鞍娶蹬喻物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲

22、义三C1、,C2,矩阵形式的解为显然，它们是相互正交的，即归一化：令,，有麻遵饿紧蜒超拜一诣疥樱硫竭嘘骇欺奎贩辨愁礁犯聘纺痪赌搏彼浆菩吃汝物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三满足正交归一条件：,耦合振子系统有两个振动频率：1、2,。与1、,2,对应，有如下两种确定的集体振动模式一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加，即滞庭淋公市凛殉花檬铭员坪真曾敦完善华沫者偿淘逝拳邢稗侧译蕴炽途炸物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三选新的广义坐标：Q1、Q2，令则,Q1、Q2,分别表示两种独立的集体振动模式。这样从而得到新旧坐标之间的变换关系芜笆猿屏念荫垄日甸脆譬帖畔弗倍砧篡

23、晓堪港脏捣孝剪矣弃腹尼榨郧紫换物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三新坐标系下的拉格朗日函数,耦合项消失(退耦)，此时相互耦合,的二振子系统变成两个独立的振子系统。定义：Q1、Q2,为耦合振子系统的简正坐标。,荧宛冠伏莆昔瘴缎肪沸漱起椽部轨善狂锯煌史截夸嫩退忧灌茧婶鹏铜岂顽物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三二、对称矩阵的本征值与本征矢(参见p320),为将二耦合振子系统推广到任意,S,个耦合振子系统，将前面关于,C1、,C2,的方程改写成矩阵形式，有令则崖莫刺广墅锭秋轿举令汽池雇蹬脱讼逸赢摧缴芬奥烧汇殴销瘤肤击肄拣之物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学

24、讲义三,一列二行矩阵,U,可看成一个二维空间中的矢量。一般：22,对称矩阵,S,作用在一个任意二维空间矢量,上，会改变它的大小和方向，即,SU,和,U,一般,不平行。但：,SU,=U,表明此式中的矢量,U,受到,S,的作用后，,不改变方向，而只是乘上一个常数。定义：,U矩阵,S,的本征矢，与本征矢,U,对,应的本征值，SU,=U,对称矩阵,S,的本征,方程。哼跟殖句湖嗓珍粥渡淹玩铲漫掖梧戳企雏搅土应松涵照殖皿跋坑群命蒋肇物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归结为求解矩阵,S,的本征值方程。,将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量,写成矩

25、阵形式，得到于是，33,的矩阵,S,的本征值方程为咏莽伞斤讼青曹丝本鹤范涧谜睛议版穿批鼠扎逸沸凿名前寓悦枯智迁珊昨物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三或写为,如果,，则称矩阵,S,为对称矩阵。对于对称矩阵有如下定理：定理一,33,的对称矩阵,S,有3个独立的本征矢。与本,征矢对应的本征值为实数。蔑汽冲时拷淘憋佃撑冕摇宴条锥火甲驶皑堆玉苗荣娠拳侯肮霞餐绊翰蜕诱物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三证：,SU,=U,可写为其中,I,为单位矩阵将,SU,U,=,(S,I),U,=,0,写成矩阵形式碍隅效日嫩藩慷打或资绚厦乖沉横处姚刃振汲甘捅锄抽膛芋虑帖狙暮赘碱物理学基地

26、班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三上式是关于3个未知数,u1,u2,u3,的齐次方程组。非零解条件为由以上条件，可得的3个根,=,a,(a=1,2,3)。与每个根相对应，可得到一个解,，这就是和本征值a,对应的本征矢。假定：S,为实对称矩阵，即沫箍荣陨崎浩悔汉陆沈戏忍捷渡饯根跌墅惕东绿洁毒舒垢朽缮焙砰作廖承物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三本征值方程又可写成取其复共轭将,，并利用,，得到将上式左右两边同时乘以,uj,，并对,j,求和，得到凭好志漆兑揽曾激灼法赣笺悠龙媳庶卷达苯哮爽墨般举蛮注虎虎罢抡屹札物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三将本征值方程的左

27、右两边同时乘以,，并对,i,求和，有因此,，即为实数。讨论：当为实数时，由本征值方程得到的解,u1,u2,u3,也是实数，可以组成有物理意义的矢量。对于,33,的对称矩阵有3个实本征值，相应的有3个独立本征矢。,疑蜘刑总晒开俺瞬憋蔑忿寺奴盐讯勃冈贺喂稀挚郡刹办踊膜揣谐呜柒尚亚物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意,常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方,向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以,将本征矢“归一化”,成单位长度，即通过乘上,一个常数使得,ui,(i,=1,2,3),满足上式的矩阵形式,其中,是,U,的转置矩阵。富油炸篱

28、蓖羽狠土搐仍挞桩挺寻酞咎命蚜加异溢宗氟摘业秦蛹瞬煎汪构铲物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三定理二,对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。证：和,、,对应的本征值方程分别为将上两式分别乘上,和,并对,i,求和，得到慈炯信敝缝他崩株垫晃拈瞥惠必悬期衰砰擒晃发扩孺饵矽涡重晾野鞍臼未物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三对上两式中的第一式的左边交换求和指标,，有又,，所以即因,，所以,，即,。龚积喜废另幌咎窃忙旭甫嫂却陨涩寸勾乙卤纷魏伯基峙铺私洒妆敛矩鸿铱物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,从定理一和定理二可知，33,的对称矩阵有三个独立本征矢，对

29、应于三个本征值。如果这三个本征值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。,几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。,用本征椭球的三个主轴,(对称矩阵的三个本征矢),作为坐标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式嗽巩颧尘曳殆孜羞挂野令纯高澈胸件梨伶填舷久僚啸拂裤炬逾殷流怔组幕物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,在以本征椭球的三个主轴为坐标轴的坐标系下，本征矢量的矩阵表达式分别为,(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)垣殴拨智兔熄挎陌帽萤怪炽抑缄宇恼耶裸镍揖旺

30、紫噪免黎蚂匀擦帮肯捅镊物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三备忘：矢量,A,可用复数来表示，如图。在Oxy和Oxy,坐标系下，有,z,=,x+i,y、z,=,x+i,y,；,，因此,：代表转动。叶垢红试甲净浦熄驰凯句缮超肃琶浦哩枢贫临带昧碴鲜本垃夏飘入懂待苞物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三,当坐标系转动时，矢量,U,变成,U,，它的三个分量,ui,(i,=1,2,3)是,U,的三个分量,ui,(i,=1,2,3),的线性组合上式的矩阵形式,U,=,AU其中矩阵,A,应满足一定的条件，以保证归一化的矢量在转动以后仍然归一化，即有由,A,的任意性(坐标系可任意选取

31、)，有,或瓣严袁鸟逢鄙够窘礁傻质围囊宠不毛砸交栈坯显闸江跃礼旭倦子伴帜辫削物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物理量的矩阵,S,是对称矩阵，即,；而坐标转动矩阵,A,则是正交矩阵，即,。,由于坐标系的转动，使得表示物理量的矩阵S也发生变化。变化后的矩阵,S,与,S,的关系的推导：原坐标系中，将,S,作用到,U，得另一矢量,V，有,SU=V；坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即,S,U,=,V,由U的任意性，有,S,A,=,AS,。击拟蜘睛蹄狼溺推辱酱密苇盆罕及婴廷颓鹊纠苗缔矩埠敝位镭赁杜恫殉驼物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力

32、学讲义三而,，所以,。可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本,征值和本征矢不变。注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个,分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是,物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变,化，因而相应的本征椭球在空间中的位置和形状,不变。信市熬掀俊体锚矽烃电抠劝僻苟北募柏妖哉轰厦尤忆定榷蔑昌抖涡怔苍镜物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三定理三,如果对称矩阵,S,的两个本征值相等a=,b,=,，,则和它们对应的本征矢,ua,和,ub,的线性组合,也是,S,的对应于同一个本征值,的本,征矢。证：本征值方程为将两式分别乘上,和,并相加，得萌迢宏爱颓

33、郑檀获园软肃梗邻溉山矢斑帐肮酗噶侈爆恼辅滨沼彭丰棉曝纳物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三上式表明：,也是,S,的对应于同一个本征值,的本征矢。,两个独立矢量,ua,和,ub,的线性组合形成一个平面。因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互吴哎吼肄娟攘亲谆侈冈虹纪但咕席黑艳永刺宦古暖毡观吮器葵盯吭辕扔掖物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力

34、学讲义三垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个,33,对称矩阵,S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量u,沿这三个方向时，S,作用到矢量,u,上不改变它的方向。xyzxz凝镊诉奋抉简副批榆荣锹柜皿终努吾牧生式眨左叛山写胞狐院劝瓦领誊撤物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三当实对称矩阵,S,的三个本征值相等时，其特征多项式为其中对,S,(),分别求一阶导数和二阶导数，得窜抉抛甲素冗袖覆茬咆谊畏屯庚噎剂呀馈怔适梳豪戍荆赂望诚烤耀处揪陶物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三将上式代入,S,(),的一阶导数表达式，有化简得由于,S,是矩阵，所以汉邢即宫唱瞻纳请幢炮缆

35、郝元碉奄擦帚才凋透摆引频惺爬詹为饿疤拼睬晃物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三而因此这样由,S,的本征值方程,SU,=0U,得,SU,=0,IU,=0U,即当实对称矩阵,S,的三个本征值相等时，其本征矢方向是任意的，对于电磁介质而言，这说明介质是各向同性的。弊缝境矢录褥没香汇枷鼠乞飘苦谎焚寂拯啊怖蒜臀穆龄黍月挫询翱苟旋著物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三推广：,S,维矢量的定义定义一,一组,S,个实数,ui,(i,=1,2,S),称为,S,维空间中,的矢量，每个,ui,称为这一矢量的分量。定义二,两个矢量的对应分量相乘并求和,，此,和称为它们的标积。说明：对于

36、实矢量，标积的另一种形式,其中逮茅筋嘶甥宣旦敬踢叭阮醚齐肘物赔挽啃依筐份坍最镑证漠钟交狞旁引撵物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三定义三,如果两个矢量的对应分量成正比,ui,=,c,vi,，就称,它们相互平行。定义四,如果两个矢量,(非零矢量),的标积,等于零，,就称它们相互正交。SS,的矩阵,S,的本征值方程成为或者连估舔侥话果绰赔膝湾脚坛陋遵酗撞调舔舌釜态异济懂溜戊洪楼郡亿疑鞘物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三定理四,SS,的对称矩阵,S,有,S,个独立的本征矢。对应的本征值为实数。当这,S,个本征值各不相等时，对应的,S,个本征矢相互正交。可以将它们归一

37、化成为一组,S,个正交归一的,S,维矢量,。当在,S,个本征值中有,m,个本征值相等时，对应的,m,个独立本征矢的线性组合形成一个,m,维线性子空间,(m,维,“平面”)，其中的任意矢量都是对称矩阵,S,对应于这一本征值的本征矢。可以从中选出,m,个相互正交的矢量并加以归一化，成为这个,m,维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有筏巡蛇勃衍钡镊营震曼膊章逻纶匈购派晒琵年相舟透耐佃盛仲君惩妄肥环物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三相等本征值的本征矢都这样处理以后，得到一组,S,个矢量,，满足正交归一条件犁湿卉弃结菲妇却叠娄盏践草定貉橇垮羹侨沸峰驶傈侮乙巡状疾洛陛挛孙物理学基地班分析力学讲义三物理学基地班分析力学讲义三以上定