几代习题课内积参考答案

1、第 4 次课 内容内积与标准正交基；正交变换； 教学要求1. 掌握内积、欧氏空间等概念;2. 熟练运用Sidt 正交化方法求标准正交基;掌握子空间的正交补概念，会求某些空间的正交补；掌握正交变换的概念，会用正交变换的等价条件和正交矩阵的某些性质.设 是Rn 上的线性变换，Rn = W1 W2，试证练 是Rn 到 W1 (或 W2 ) 的投影变换 2 = ；若 是Rn 到 W1 的投影变换，则 是Rn 到 W2 的投影；若 是Rn 到 W1 的投影变换，则 W1 = Im , W2 = Ker 。解答：(1)因为Rn = W1 W2，所以 Rn ，有分解式： = 1 + 2其中 i Wi, i

2、= 1, 2。由已知 是 Rn 到 W1 的投影算子，所以 () = 1。然后我们再把 1 做分解，因为它已经在 W1 中了，所以分解式只能是：1 = 1 + 0这就证明了 2 = 。反过来，假设 Rn 上一个线性变换 满足 2 = ，来证明它是 Rn 到某个子空间的投影算子。设 W1 = Im , W2 = Im( )。对于 Rn = = + ( ) 1所以Rn = W1 + W2。下面来说明 W1 W2 = O。假设有 W1 W2，依 W1, W2 的定义，应有 1, 2 满足 = (1) = ( )(2) ，于是： = (1) = 2(1) = ( )(2) = ( 2)(2) = 0.

3、所以Rn = W1 W2。这样 就是Rn 到 W1 的投影算子。(2)设Rn 到 W2 的投影算子是 ，对于 Rn ，有分解式： = () + () () = () = ( )().所以 = 。(3)首先依投影算子的定义可知Im W1。又因为 限制在 W1 上时是 W1 上的恒等，所以 W1 Im 。所以Im = W1。对于 Rn，如果它按Rn = W1 W2 的方式做分解的分解式是 = 0 + 第一分量为零说明 () = 0，第二分量等于它自身说明 W2。也就是说 () = 0当且仅当 W2，即 W2 = Ker 。?练习 2 用Sidt 正交化方法将欧氏空间的向量组 S 正交化，并扩充为欧

4、氏空间的标准正交基，求出指定向量 在标准正交基下的坐标。(1) R4，S = (1, 2, 2, 1)T , (1, 1, 5, 3)T , (3, 2, 8, 7)T ， = (3, 1, 1, 3)T ；R1(2) R3x，内积定义为(f (x), g(x) =f (t) g(t) dt，S = 1, x, x ， = 1 + x。21解答：(1)T1 = 1 = (1, 2, 2, 1) ,( , )21T = (2, 3, 3, 2) , = 221( , )11( , )( , )3132T= (2, 1, 1, 2) . = 3312( , )( , )1122为扩充成正交基，设

5、4 = (x, y, z, w)T ，解方程0 = (1, 4) = x + 2 y + 2 z w0 = (2, 4) = 2 x + 3 y 3 z + 2 w0 = (3, 4) = 2 x y z 2 w2得解：4 = (3, 2, 2, 3)T 。最后，把 1, 2, 3, 4 归一化得到标准正交基：11111 = 10 1,2 = 26 2,3 = 10 3,4 = 26 4.为了求 在标准正交基 1, 2, 3, 4 下的坐标，只需考虑分解： = (, 1)1 + (, 2)2 + (, 3)3 + (, 4)4 = 10 1 + 10 3.所以结果是(10, 0, 10, 0)

6、。 (2)1 = 1,2 = x (x, 1)1 = x,(1, 1)(x2, 1)(x2, x)1223 = x 1 x = x(1, 1)(x, x) 3 .归一化：rrr1232458 = , = , = .112233qq23 ，所以坐标为( 2, 0)。2 = + =2 +12123?= L(1, 2, 3)，练习 3 设 1 = (1, 0, 2, 1)T , 2 = (2, 1, 2, 3)T , 3 = (0, 1, 2, 1)T , W在R4 上定义内积为： , R4, (, ) = T .试求 W 在R4 的正交补子空间 W 的一个基。解答：只需解方程：1 x + 0 y

7、+ 2 z + 1 w = 02 x + 1 y + 2 z + 3 w = 0 0 x + 1 y 2 z + 1 w = 0得通解：x = w 2 z, y = w + 2 z.所以正交补子空间 W 的基可取为 1 = (2, 2, 1, 0)T , 2 = (1, 1, 0, 1)T 。?练习 4 设 是 3 维几何空间的一个平面，A 是 上的一个固定点，B 是任意一点，AB 的全体一个欧氏空间 V 。问 W = AB | B 是不是 V 的一个子空间？为什么？如果 A 取在平面 外又如何呢？3解答：以 为 xy 平面，以过 A 垂直于 的直线做 z 轴建立直角坐标系。则 V 同构于R3

8、， W 就是 R3 中的 xy 平面，所以 W 当然是 V 的子空间。如果 A 不在 上，取B 为 A 向平面 做垂线的垂足，那么向量 2AB 的端点是 A 关于 得对称点，不在 中，所以 W 不是 V 的子空间。?练习 5 证明欧氏空间 V, V 0 同构的一个充分必要条件是存在 V 到 V 0 的一个双射 f ，使得 , V ，都有解答： 必要性是显然的，(, ) = (f (), f ().只证充分性。首先证明满足这样条件的 f 一定是 V 到 V 0 的线性(k11 + k22, ) = k1(1, ) + k2(2, )由已知条件：。因为(f (k11 + k22), f () =

9、k1(f (1), f () + k2(f (2), f ()(f (k11 + k22) k1f (1) k2f (2), f () = 0该式对 V 0 中的任意元素 f () 都成立（注意这里用到 f 是满射），所以根据 (, ) 的非性可知f (k11 + k22) k1f (1) k2f (2) = 0,所以 f 是线性，已知条件说明 f 保持内积，现在 一个保持所有运算的双射，因此是同构。又知道它保持加法和数乘，所以有了?R4练习 6 设 , , , 是的 4 个列向量，若 W a + b + c 恰为 在 W 上的正交射影。注：先从理论上证明，再举事例实践.= L(, , )，求

10、实数 a, b, c 使得解答： 设 = (a + b + c ) ，若 a + b + c 是 在 W 上的正交投影，那么必有(, ) = (, ) = (, ) = 0，于是有如下方程：a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )a(, ) + b(, ) + c(, ) = (, )解出这个关于(a, b, c) 的线性方程组即可。当 , , 线性无关时，这个线性方程组的行列式非零，存在唯一解；否则的话，解不唯一。下面看一个例子， 设 = (1, 0, 0, 0)T , = (0, 1, 0, 0)T , = (0, 0

11、, 1, 0)T , = (1, 2, 3)，下面看看按照上面的算(1, 2, 3, 4)T ，从几何意义上很容易看出 (a, b, c)法得到什么结果，方程组化为：a = 1 a + 0 b + 0 c = (, ) = 1b = 0 a + 1 b + 0 c = (, ) = 2c = 0 a + 0 b + 1 c = (, ) = 3?刚好就是想要的解。4练习 7 设 e1, e2 是平面上两个互相垂直的向量，以 e1 为始边，OT 为终边的一个角为 。又 是以 OT 为轴的反射。试证明 在 e1, e2 下的矩阵为2? .cos sin sin cos 由此证明，若正交变换 在一个

12、标准正交基下的矩阵有这种形状，则 必是以直线y = tg() x 为轴的反射。2解答： 设 = (cos , sin )，它是 OT 上的向量，则有 () = 2(, ) 。22设 = (x, y)T ，则?xcosx= 2(x cos+ ysin)2ysiny222? ?sin ) cos x2(x cos+ ycos sin x=222=.2(x cos + y sin ) sin ysin cos y222现在假设有一个形如题设的正交变换，求它的特征值 = 1， = 1的特征向量是 (cos , sin )，= 1 的特征向量是 (， 所以子空间 sin , cos )2222y = t

13、g() x 上的元素在 的作用下保持不动，它的补空间上的元素在 的作用下变2号。所以 是关于这条直线的反射。?练习 8 设 n 维欧氏空间 V = L() + V1，其中 是向量，V1 = (L()，又设1 是 V1 的一个正交变换，定义 V 的变换 , ：(a + ) = a + 1(), (a + ) = a + 1(),其中 a R, V1。求证：, 都是 V 的正交变换；若 1 是 V1 的反射，则 是 V 的反射， 是 V 的旋转。解答：(1)(a + ), (a + )= (a + 1(), a + 1()= a2(, ) + a(, 1() + a(1(), ) + (1(), 1()= a2 + (, )= (a + , a + )所以 是一个正交变换。同理， 也是正交变换。5(2)既然 1