中学数学开放题设计及教学策略

1、PAGE PAGE 46内容摘要要中学数学学新课程程新教材材已经大大量的引引入了数数学开放放题，这这不但早早已是数数学教育育家关注注的一个个热点，而且正正逐步成成为广大大一线数数学教师师所必须须面对的的一个教教学方面面问题。因为数数学开放放性问题题的非完完整性、不确定定性、发发散性、层次性性、创新新性等特特点顺应应了新课课程改革革的理念念，顺应应了新课课程中问问题解决决的需要要。数学开放放题有助助于培养养学生思思维的深深刻性、广阔性性、灵活活性、缜缜密性、创造性性和批判判性；能能引起学学生认知知结构上上的顺应应，从而而使学生生认知结结构发生生质的变变化，使使他们的的知识水水平和数数学能力力得到

2、较较大程度度的提高高；能激激发学生生学习数数学的兴兴趣，使使学生乐乐于参与与，久而而久之就就会成为为学生主主动学习习的动力力；有利利于培养养学生的的创新意意识与创创新能力力。数学学开放题题的诸多多特点决决定了数数学开放放题在教教育教学学中的诸诸多价值值。开放放题的挑挑战性有有利于激激发学生生的好奇奇心和求求知欲，开放题题答案的的多样性性使学生生可在不不同水平平的答案案的交流流中共同同讨论，互相学学习，不不断优化化，最后后得出较较好的答答案，从从而培养养学生精精益求精精、不断断探索、追求卓卓越的精精神，并并提高解解题的能能力。伴伴随着问问题的解解决，学学生解决决问题的的思路更更加开阔阔，信息息流

3、量更更加丰富富，知识识结构更更加完善善，适应应社会的的能力不不断提高高。在开开放学习习的过程程中，经经过不同同角度不不同方法法的分析析、推理理的训练练，培养养了学生生综合思思维的能能力。而而这种能能力是学学生继续续学习的的后推动动因素，这对学学生将来来走上社社会后合合理处理理问题是是至为关关键的，这正是是新课程程理念下下教育追追求的结结果。开放题教教学作为为一种新新的教学学形式，能够调调动学生生学习的的积极性性，激发发学生的的学习兴兴趣，拓拓展学生生的思维维空间，有利于于培养学学生的表表述能力力和批判判、评价价能力，有利于于提高学学生应用用数学的的能力等等。开放放题在数数学教学学中的应应用，它

4、它还直接接关系到到学生的的数学观观及其在在数学学学习中的的态度和和信念，这些都都与当前前素质教教育的要要求是相相吻合的的。因为为开放题题教学不不仅是一一个知识识获得的的过程、能力获获得的过过程，更更是一种种学生数数学素养养和人文文精神形形成的过过程。数学开放放题是相相对于封封闭题的的，是一一种比较较新颖的的题型，它时常常出现在在中考、高考中中，同时时也现身身于极少少部分教教师的课课堂中，它具有有不完备备性、发发散性、层次性性、发展展性、创创新性、综合性性等特点点。本文在分分析中学学数学开开放题及及其教学学的相关关理论基基础上，重在对对中学开开放题的的设计进进行论述述，为中中学数学学教学准准备具

5、体体的素材材。然后后以学生生为中心心，根据据建构主主义，认认知理论论和最近近发展区区来探讨讨中学数数学开放放题的教教学，结结合具体体的教学学内容在在实践中中体验，总结归归纳。以以便积累累较多的的实例，以期为为中学数数学开放放题教学学提供一一些借鉴鉴。中学数学学开放题题设计及及教学策策略1中学数数学开放放题提出出的背景景国际数学学教育的的发展经经历了多多次改革革运动，从600年代的的“新数运运动”到700年代的的“回到基基础”递到880年代代的“问题解解决”，可以以说是“历尽坎坎坷”。与此此同时，也就是是这种风风雨经历历造就了了70年年代出现现的一种种新型问问题数学开开放题。几经转侧侧，数学学开

6、放题题进入我我国，经经历了从从理论的的引入到到教学的的实验，到大面面积的推推广，最最终走进进了各种种类型的的数学测测验或考考试。各各种考试试中，不不少学生生对此类类题表现现出束手手无策，以致放放弃这类类题去花花更多的的时间和和精力攻攻克难度度更大更更繁的问问题。同同时，不不少老师师也深感感此类问问题不知知如何进进行处理理，致使使以题论论题，不不能放开开思维而而拓广。在平常的的教学中中，很多多老师还还没有很很好的进进行开放放性问题题教学或或开放课课堂教学学，甚至至还有部部分老师师对开放放题的价价值持否否定态度度，将开开放性思思维与思思维的严严谨对立立起来。现在的的新课程程改革中中，致使使许多老老

7、师明显显不适应应新课标标，新教教材的教教学，感感到十分分迷茫。这中间间不乏对对新课程程中的开开放性问问题及其其教学的的无所适适从，也也存在本本身思维维的不适适应。在新课程程改革的的实践中中，我曾曾参加一一些活动动，到不不少学校校听了一一些实验验的课堂堂，大家家都知道道新课程程理念提提出将开开放性问问题引入入课堂，有利于于发展学学生思维维的发散散性，培培养学生生的创新新意识。因此，在课堂堂教学中中或多或或少地都都会引入入一些开开放题。曾经在某某校遇到到这样一一个关于于开放性性问题的的研讨：在小学一一节“数的整整除”复习课课的课尾尾，某教教师设计计了这样样一个题题目：在在1、22、4、15和和28

8、中中，哪个个数与众众不同？在教师师的引导导下，学学生纷纷纷回答：因为只只有2是是质数，所以22与众不不同；因因为只有有28是是4的倍倍数，所所以288与众不不同；因因为只有有4比11多3，所以44与众不不同；因因为只有有15的的十位上上是1，所以115与众众不同。教师随随机小结结：由此此可见，每个数数都与众众不同，你们的的每一种种想法都都是正确确的。课后，听听课老师师纷纷议议论。有有的说：本课引引入了开开放题，学生们们个个踊踊跃参与与，学习习积极性性明显提提高，体体现了“面向全全体学生生”这一新新理念。有的说说：这个个题目设设计得太太好了，能让学学生热爱爱问题答答案的多多样性，有利于于打开学学

9、生的思思路，培培养学生生的能力力。还有有的说：我觉得得这个题题目设计计欠妥，将“开放性性”转变成成了“随意性性”，有悖悖于我们们的教学学目标。更有的的老师说说：这样样的开放放太过分分了，会会让学生生陷入“任何一一种解答答都是可可以接受受的”这一误误区由此我与与新课改改的相关关研究员员对老师师就有关关开放性性问题进进行了一一次调查查问卷，如表11。表1 数学开开放题与与其它题题型的比比较分析析题型答案选项项及各选选项被选选中的百百分比1.开放放题与一一题多解解A.一题题多解是是对封闭闭题而言言的B.一题题多解题题可算作作开放题题C.开放放题必定定是一题题多解题题4人选AA，占116.77%2人选

10、BB，占88.3%18人选选C，占占75%2.开放放题与分分类讨论论题A.开放放题必是是分类讨讨论题B.分类类讨论题题必定是是开放题题C.开放放题与分分类讨论论题有区区别8人选AA，占333.33%10人选选B,占占41.7%6人选CC,占225%3.开放放题与探探索题A.两者者没什么么区别B.探索索题是开开放题C.开放放题必是是探索题题17人选选A，占占70.8%3人选BB，占112.55%4人选CC，占116.77%4.开放放题的结结论与答答案A.两者者没有什什么区别别B.问题题答案必必是问题题结论C.两者者是两个个不同层层次的问问题15人选选A，占占62.5%5人选BB，占220.88%

11、4人选CC，占116.77%5.开放放题与封封闭题A.开放放题与封封闭题两两者相互互排斥B.开放放题是对对封闭题题的相对对补充C.开放放题的育育人功能能比封闭闭题大4人选AA，占116.77%17人选选B，占占70.8%3人选CC，占112.55%6.开放放题在教教学中A.应大大力加强强B.应适适当增加加C.不宜宜加强8人选AA，占333.33%9人选BB，占337.55%7人选CC，占229.22%由上表可可以看出出，教师师对开放放题的具具体情况况认识不不够，对对开放性性问题的的运用等等还存在在一定的的偏差，较以前前对开放放性问题题的作用用有一定定的认可可，但对对开放到到什么程程度，与与传统

12、的的封闭性性问题怎怎样结合合运用开开发学生生的思维维，对开开放题的的具体价价值等还还不十分分了解。但是，随着教教育改革革的深入入发展，新课程程改革的的逐步实实施，数数学开放放题的教教育价值值日益突突出，新新的课程程标准已已为数学学开放题题的教学学搭建了了平台，新课程程高考也也即将随随之进入入教师的的教学中中。因此此，有必必要对开开放性问问题及其其教学的的价值和和操作予予以总结结介绍，以便顺顺利进入入平常课课堂，真真正发挥挥其应有有的作用用。2中学数数学开放放题的基基本认识识目前，中中学数学学新课程程新教材材已经大大量的引引入了数数学开放放题，这这不但早早已是数数学教育育家关注注的一个个热点，而

13、且正正逐步成成为广大大一线数数学教师师所必须须面对的的一个教教学方面面问题。因为数数学开放放性问题题的非完完整性、不确定定性、发发散性、层次性性、创新新性等特特点顺应应了新课课程改革革的理念念，顺应应了新课课程中问问题解决决的需要要。2.1中中学数学学开放题题的产生生2.1.1中学学数学开开放题的的国际概概况上世纪660年代代以后，随着声声势浩大大的“新数运运动”的急剧剧衰落，数学“回到基基础”迅速成成为700年代的的主题，数学开开放题在在这种阵阵痛后的的冷静与与理性中中应运而而生。119711年，日日本学者者岛田茂茂、桥本本吉彦、泽田利利夫等227人率率先研究究“开放式式结尾（opeenen

14、dded）问题”，并于于19777年发发表了报报告文集集算术术、数学学课的开开放式问问题改善教教学的新新方案。至880年代代，一方方面“问题解解决”成为数数学教育育的主题题，另一一方面以以布鲁纳纳为首的的教育家家将建构构主义引引向深入入，在此此背景下下，开放放性问题题迅速成成为数学学教育的的一面旗旗帜。同同时，新新西兰等等国家也也对开放放性问题题进行了了卓有成成效的教教学实验验和理论论分析。可以说说，从首首开先河河的日本本到美国国递至新新西兰等等国家对对开放题题的实践践探索和和理论研研究，直直接促进进了数学学开放题题的成熟熟并使之之迅速成成为一种种国际潮潮流。2.1.2中学学数学开开放题在在国

15、内的的发展在我国，数学开开放题从从理论的的引入到到教学的的实验递递至大面面积进入入数学考考试，大大体上经经历了几几个过程程。19800年，外国教教育（第4期期）发表表了泽田田利夫关关于数学学开放题题的研究究成果，其内容容包括开开放题的的涵义、开放题题的举例例以及开开放题教教学的优优缺点等等问题，该文拉拉开了我我国研究究数学开开放题的的序幕。19884年，浙江教教育学院院戴再平平教授首首先运用用开放题题进行测测试，测测试发现现：知识识和技能能的堆砌砌与学生生的创造造思维没没有必然然的联系系。19988年年，王慧慧斌在外国教教育资料料上介介绍了日日本的开开智法，其中也也涉及到到数学开开放题的的一些

16、知知识，如如开放题题应该具具备的条条件等。19900年，胡胡林瑞对对安徽省省黄山市市一所中中学的学学生也进进行了数数学开放放题的测测试。并并得出以以下结论论：高中生生的发散散性、创创造性思思维与初初中生没没有区别别；基础知知识和基基本技能能的增长长不能作作为创造造性思维维能力发发展的充充分条件件，但却却是创造造性思维维发展的的必要条条件；学生的的基础知知识不一一定能自自然地转转化为能能力。119944年，胡胡启迪写写文章也也介绍了了日本的的一堂开开放题教教学课。19933年，戴戴再平又又在浙江江省五所所中学运运用数学学开放题题进行教教学试验验，试验验发现：在中学学适当增增加开放放题是必必要的；

17、开放题题与封闭闭题应该该并存而而不是互互相排斥斥；开放题题所包含含的事件件应为学学生所熟熟悉，通通过学生生现有的的知识能能够解决决；开放题题能使学学生获得得各不相相同的各各种水平平的解答答；开放题题应体现现学生的的主体地地位；开放题题应注重重学生的的探索过过程。119944年，湖湖南省教教研室赵赵雄辉运运用数学学开放型型应用题题进行了了实验，实验认认为：学生对对开放型型应用题题非常欢欢迎；开放型型应用题题有利于于培养学学生运用用数学的的意识和和探索的的精神。至此，中学数数学开放放题教学学试验开开始广泛泛进行。19966年2月月，“开放题题数学学教学的的新模式式”立项（19997年获获得批准准）

18、为全全国教育育科学“九五”规划重重点课题题。19998年年11月月，课题题组在上上海金汇汇学校召召开“数学开开放题及及其教学学学术研研讨会”，此次次会议扩扩大了国国际交流流并形成成一些理理论认识识。此外外，上海海师范大大学小学学教育研研究所与与香港合合作，也也进行了了小学数数学开放放性问题题的课题题研究，并发表表了一些些有关文文章。这这表明数数学开放放题的研研究进入入了有计计划有组组织的研研究阶段段。2.2中中学数学学开放题题的涵义义2.2.1中学学数学开开放题的的界定数学开放放题，又又叫数学学开放型型题，或或数学开开放性题题，学术术界还没没有统一一的定义义，查阅阅相关的的文献资资料大致致分三

19、类类：（1）条条件不完完备、结结论不确确定的数数学问题题称为开开放题，代表性性观点有有：数学开开放题是是相对于于传统中中条件完完备、结结论确定定的封闭闭题而言言的，是是指那些些条件不不完备、结论不不确定的的数学问问题（刘刘萍）；开放型型问题是是指题目目的条件件不完备备或结论论不明确确，从而而蕴涵着着多种可可能性，要求解解题者自自行推断断（孙耀耀庭）。（2）答答案不确确定的数数学问题题称为数数学开放放题，代代表性观观点有：有几种种正确答答案似乎乎都带有有可能性性或成为为未完结结的问题题称为开开放的问问题（泽泽田利夫夫）；答案不不唯一的的问题称称为开放放题，开开放题的的一个显显著特性性是答案案的多

20、样样性（俞俞求是）。（3）数数学开放放题是指指条件开开放（条条件在不不断变化化）、结结论开放放（多结结论或无无结论）、策略略开放（可以采采用多种种方法和和途径去去解决）的问题题。其实，“数学开开放题”并未经经审定的的规范的的数学专专业名词词，它只只是相对对封闭题题而言的的，是相相对于封封闭题的的一种否否定。因因而，对对数学开开放题内内涵的认认识可对对比封闭闭性问题题归纳出出两个明明显的特特征，也也是最基基本的特特征：一一是条件件不完备备即条件件开放；二是结结论不确确定即结结论开放放。2.2.2中学学数学开开放题的的分类目前已有有不少的的学者依依据开放放题的按按命题要要素、解解题目的的、学习习过

21、程、问题答答案等不不同的特特性，对对中学数数学开放放题进行行了多种种分类。综合各种种情况如如表2：表2 数学开开放题的的常见题题型可归归纳成下下表按命题要要素的发发散倾向向分类按解题目目标的操操作模式式分类按学习过过程的训训练价值值分类按问题答答案的结结构类型型分类综合开放放型条件开放放型策略开放放型结论开放放型量化设计计型分类讨论论型问题探求求型规律探索索型情境研究究型构造对象象型数学建模模型知识巩固固型知识发生生型信息迁移移型有限可列列型无限离散散型无限连续续型有限混沌沌型2.2.3中学学数学开开放题的的特征（1）问问题的条条件常常常是不完完备的（条件开开放题）这类型目目是给定定结论来来反

22、探满满足结论论的条件件，而满满足结论论的条件件并不唯唯一，这这类题常常以基本本知识为为背景加加以设计计而成，主要考考查学生生对基础础知识的的掌握程程度和归归纳能力力。ABDEC【例1】如：（20003年山山东济南南市中考考试题）如图，ABCC中，已已知ABB=ACC，要使ADD=AEE，需要要添加的的一个条条件是 。（2）问问题的答答案是不不确定的的（结论论开放题题）这类问题题是在给给定条件件下探索索结论的的多样性性，主要要考查学学生的发发散性思思维和对对所学基基础知识识的应用用能力。【例2】 119944年荷兰兰数学教教育学派派的代表表人物，德朗治（de Lannge）在上海海做报告告中有这

23、这样一个个题目：“如果AA离学校校5千米米，B离离学校110千米米，问AA、B相相距几千千米？”这一题目目拟乎是是一道小小学算术术题，事事实上，它的内内涵很丰丰富，涉涉及到从从自然相相加，有有理数加加减，圆圆的几何何轨迹，点的距距离，以以至圆的的参数表表示，复复数相减减等许多多数学知知识，题题目可适适合各种种层次的的学生，可以考考虑一直直线的情情况，可可以做为为平面来来计算，也可以以在空间间测量，留给学学生的思思考空间间很大。（3）问问题的解解决策略略具有非非常规性性、发散散性和创创新性（策略开开放题）【例3】（20002年年浙江省省金华中中考试题题）试比比较下面面两个几几何图形形的异同同，如

24、图图，请分分别写出出它们的的两个相相同点和和两个不不同点。 正方形正五边形相同点：正方形形的对角角线相等等，正五五边形的的对角线线也相等等；不同点：正方形形是中心心对称图图形，正正五边形形不是中中心对称称图形。此题是考考察学生生正多边边形的知知识和有有关性质质，通过过观察分分析能从从正多边边形的边边、角（中心角角、内角角和）对对称性有有无外接接圆与内内切圆，从一个个顶点作作三角形形的个数数等方面面去理解解，就可可以写出出很多相相同点与与不同点点。2.2.4中学学数学开开放题的的现实意意义从皮亚杰杰发生认认识论的的观点看看，数学学开放题题能引起起学生认认知结构构上的顺顺应，从从而使学学生认知知结

25、构发发生质的的变化，使他们们的知识识水平和和数学能能力得到到较大程程度的提提高。数数学开放放题的主主要目的的是培养养学生的的创新意意识与创创新能力力，核心心是灵活活地运用用数学思思想方法法解决问问题。数数学开放放题的诸诸多特点点决定了了数学开开放题在在教育教教学中的的诸多价价值。对学生来来说，李李永桃认认为，数数学开放放题有助助于培养养学生思思维的深深刻性、广阔性性、灵活活性、缜缜密性、创造性性和批判判性。俞俞求是认认为，数数学开放放题有助助于培养养学生的的创造性性思维。开放题题的答案案不统一一，给学学生提供供了较多多寻求新新颖独特特方法的的机会，也正是是这种寻寻求答案案的过程程，刺激激了学生

26、生强烈的的问题意意识。问问题意识识有利于于培养学学生思维维的广阔阔性、灵灵活性、发散性性和独创创性。强强烈的问问题意识识常常会会引起学学生浓厚厚的探究究兴趣，使学生生产生强强烈的探探求欲望望，寻找找解决问问题的方方法，并并在寻找找多种答答案和最最优解的的过程中中培养学学生思维维的深刻刻性与严严谨性，从而培培养学生生的集中中性思维维。刘萍认为为，开放放题的挑挑战性有有利于激激发学生生的好奇奇心和求求知欲，为学生生主动学学习创造造了条件件。在开开放题的的学习中中，学生生必须打打破原有有的思维维模式，展开丰丰富的联联想和想想象，从从多角度度、多方方位、多多层次进进行思考考，其思思维方向向和模式式的发

27、散散性有利利于创造造能力的的形成。开放题题的层次次性使全全体学生生真正参参与教学学活动成成为可能能，即使使学习困困难的学学生也能能做出一一种或几几种答案案，并从从中体验验到成功功的乐趣趣。从而而有利于于数学教教育面向向全体学学生，实实现“人人学学有价值值的数学学，人人人都能获获得必需需的数学学，不同同的人在在数学上上得到不不同的发发展”的“新课改改”目标。开放题题的开放放性决定定了没有有现成的的固定的的解题模模式，需需要学生生独立地地进行探探索，这这就为培培养学生生的主体体性创造造了条件件。范黎明认认为，在在开放题题的教学学中，学学生接触触到许多多实际问问题，有有的有许许多答案案，有的的有多种

28、种解法，其中许许多问题题不能靠靠一个人人的力量量在有限限的时间间内完成成，必须须依靠大大家的力力量和集集体的智智慧分工工合作进进行，在在这种合合作、交交流的教教学过程程中，学学生们不不仅学到到了知识识，而且且学会了了与人合合作，学学会帮助助他人等等。俞求求是认为为，开放放题答案案的多样样性使学学生可在在不同水水平的答答案的交交流中共共同讨论论、互相相学习、不断优优化、最最后得出出较好的的答案，从而培培养学生生精益求求精、不不断探索索、追求求卓越的的精神，并提高高解题的的能力。开放题的的可操作作性给学学生提供供了能充充分表达达自己观观点的舞舞台，拓拓展了学学生发挥挥各自想想象的空空间，创创造了数

29、数学思想想方法相相互交流流的条件件。因为为在开放放学习过过程中，人人可可以动手手操作，个个可可以参与与探索，并且不不同层次次的学生生都能享享受到成成功的快快乐。朱朱乐平认认为，由由于数学学开放题题本身有有层次，即使学学习困难难的学生生也能做做出一种种或多种种答案，使学生生体验到到成功的的乐趣，这就有有利于培培养学生生的自信信心。能能激发学学生学习习数学的的兴趣，使学生生乐于参参与，久久而久之之就会成成为学生生主动学学习的动动力。在在开放学学习的过过程中，经过不不同角度度不同方方法的分分析、推推理的训训练，培培养了学学生综合合思维的的能力。而这种种能力是是学生继继续学习习的后推推动因素素，这对对

30、学生将将来走上上社会后后合理处处理问题题是至为为关键的的，这正正是新课课程理念念下教育育追求的的结果。开放题的的集中性性和系统统性特征征体现在在课堂教教学中就就是以全全方位多多角度对对某知识识点或某某题型进进行思路路发散而而内容相相对集中中的研究究学习，当问题题得到彻彻底解决决后，学学生对此此的收获获不是一一“点”而是一一条“线”或是一一个面，这样在在解决一一个开放放题的过过程中就就构建了了一个知知识系统统，课堂堂效率大大大提高高，从而而帮助学学生扔掉掉了课后后费力费费时效率率低下的的构造与与链接的的包袱，可见开开放题是是减轻学学生过重重课业负负担的重重要手段段。对教师来来说，开开放题的的出现

31、以以及对其其教育功功能的肯肯定，既既反映了了数学教教育观念念的转变变，也适适应了迅迅速发展展的时代代需要。实际上上反映了了人们对对于数学学教学新新模式的的追求，是人们们站在新新时代历历史的高高度上对对数学教教育改革革的新探探索。我我国教育育部基础础教育司司明确指指出：“课程是是一个历历史范畴畴，课程程目标、课程结结构、课课程内容容都将随随着时代代的发展展而变革革。”因此，教材应应体现科科学性、基础性性和开放放性。开开放题课课堂教学学的数学学观是动动态的、全面的的甚至可可出错的的。数学学观即对对数学本本质的认认识，教教师的数数学观直直接影响响着其教教学观。如果教教师能用用动态的的、全面面的观点点

32、来理解解数学，那么他他所用的的教学方方法就会会是启发发式的，其教学学观就是是以学生生为中心心的。在开放题题引入课课堂后，教师的的角色定定位，即即在教学学过程中中，教师师不是教教学活动动的唯一一主角，而是“编剧”和“导演”；不只只是知识识的单纯纯传授者者，而是是教学内内容和教教学活动动的设计计者、促促进者、示范者者、组织织者、协协调者。教师的的注意力力应集中中到设计计问题、引导学学生“建构”知识、调节教教学程序序、评判判学习活活动等方方面上。同时，开开放题还还要求教教师注意意讲究“放”的策略略，既要要大胆地地“放一放放”，把时时间留给给学生，让学生生有机会会去探索索全面、正确的的结论，又要善善于

33、把握握全局，调控“放”力度。凡是学学生能提提的问题题，教师师决不代代替；学学生能思思考的问问题，教教师决不不暗示；学习能能解决的的问题，教师决决不插手手，真正正做到适适时而“放”，提高高“放”的整体体效率。这就要要求教师师转变教教育观念念，认真真钻研教教材，精精心设计计教学，使教师师实施教教学的注注意力转转移到设设计好每每一道题题、上好好每一堂堂课的重重心中去去，保证证学生在在课堂上上能够高高质量高高效率地地学习，做到减减负不减减重。3中学数数学开放放题的相相关研究究3.1中中学数学学开放题题的设计计3.1.1中学学数学开开放题的的设计原原则中学数学学开放题题是一种种相对于于长期以以来只有有“

34、唯一答答案”的封闭闭性问题题提出来来的，体体现的是是一种数数学思维维方式方方法，具具有鲜明明的针对对性，问问题的偏偏制优劣劣将直接接影响开开放题的的实效，因此中中学数学学开放题题的设计计要考虑虑以下几几个原则则：3.1.1.11现实性性原则所谓现实实性是指指既要结结合学生生的生活活实际，又要适适合学生生的知识识背景，还可是是指切合合现实实实践性。只有符符合学生生的具体体情况并并体现时时代特征征的问题题，才能能有效的的使问题题继续下下去。同同时，也也只有符符合学生生的“最近发发展区”并具有有一定的的挑战性性，才能能调动学学生的求求知和探探索的欲欲望，达达到应有有的效果果。3.1.1.22层次性性

35、原则数学开放放题具有有条件的的不确定定性与结结论的不不确定性性等特征征，因而而这种特特征必定定要求问问题要有有层次感感与灵活活性，对对不同认认知水平平的学生生来说都都有探索索的余地地，能让让不同的的学生体体验不同同的数学学活动，能让不不同的学学生学习习不同的的数学。问题的的解决要要求能涉涉及到多多种策略略，即使使是同一一答案的的获得，也能有有多种途途径和方方法。同同时问题题所涉及及的要具具有较高高的价值值，可使使学生通通过问题题的解决决，体验验到数学学探索与与发现的的乐趣，感受到到数学的的魅力，领悟到到数学中中的欢乐乐。3.1.1.33延展性性原则一道开放放题的价价值不光光体现在在题目本本身，

36、还还体现在在它能否否有效的的将课本本的知识识迁移到到题目中中；或者者通过它它能更好好的理解解，深化化所学的的数学知知识或方方法；或或者能进进一步的的引伸拓拓广；或或者发展展成为另另一个新新的问题题。3.1.1.44思想性性原则题目引导导学生关关心社会会发展，体现了了数学的的社会化化功能，编制的的开放型型应用问问题要有有现实感感、时代代感，解解决现实实生活中中碰到的的实际问问题；开开放型应应用题能能体现德德育功能能，能对对学生热热爱祖国国、健全全人生、积极向向上有潜潜移默化化的作用用；开放放型应用用问题的的设计既既要保持持问题的的实际背背景，又又要使学学生在理理解社会会信息上上不产生生困难；问题

37、的的“可读性性”好（容容易被看看懂读懂懂）；模模型的“可移植植性”强，学学生从建建模的求求解的过过程中不不仅能体体会理论论与实践践相互作作用，还还能将得得到的数数学模型型“移植”到众多多情境中中去；很很大一部部分好的的开放型型问题都都会展现现计算机机的作用用，甚至至可以预预言越来来越多的的建模求求解过程程可以用用或者必必须用计计算机；问题应应当允许许学生查查阅（在在较为方方便的情情况下）有关资资料来解解决，甚甚至要求求学生查查阅资料料后，根根据资料料中的数数据来解解决问题题，这一一过程培培养了学学生观察察事物、查阅资资料、调调查研究究、分析析数据等等方面的的能力，让学生生学会用用数学工工具去采

38、采集、处处理、分分析问题题的规律律，无疑疑对学生生是一种种科研的的微缩模模拟训练练等。以上这些些在一个个问题中中很难做做到面面面俱到，但在开开放型问问题系统统中应当当作为一一个目标标来追求求。在以以上所述述中，开开放型问问题是否否体现重重要的数数学思想想及数学学教育思思想是一一个关键键因素，在设计计问题时时，应多多考虑解解决问题题时涉及及到重要要的数学学教育的的思想，这是评评价数学学开放性性问题好好坏的一一个重要要标准。3.1.2数学学开放题题的设计计方法数学开放放题的资资料来源源主要有有两种：第一，直接源源于一些些参考资资料（包包括教材材），如如高中中数学开开放题集集、高中数数学开放放题题型

39、型突破例例释、现行的的新课标标教材等等；第二二，源于于对封闭闭题等的的改造或或改编。变视角 新解释变内涵 新方法关于数学学开放题题的设计计方法国国内上都都有学者者进行探探讨，并并提出了了许多可可行的方方案，根根据创造造的三要要素：“结构、关系、顺序”，我们们可以构构建设计计开放题题的如下下框图模模式：变结构 新形式变外延 新结论封闭性问题变情境 新方式变顺序 新组合问题分解ABCD（1）弱弱因法。指在传传统数学学题中减减少某些些已知条条件或用用较隐蔽蔽条件替替换原来来的条件件，再适适当修改改题目指指令，即即可得到到数学开开放题。【例4】 课课本原题题：如图图AB=AC，BD=BC求证：AABC

40、BDCC。若将条件件去掉，改编成成如图，满足什什么条件件时，ABCBDCC。这就就是一例例很好的的开放题题。（2）隐隐果法。把传统统数学题题的结论论隐去，使其结结论待定定或多样样化。【例5】 原原命题：试证明明：CABEHPF将结论“2”隐去，改编成成是否存存在最大大的正整整数M，使得。（3）换换形法。把传统统数学中中的某个个图形换换成其它它图形， 观察结结论的正正谬性，可得新新型的数数学开放放题。【例6】 课课本原题题：ABBC中，已知AAB=AAC，P为BCC上任一一点，。求证：改编时，将“ABCC中，AAB=AAC”换成“等腰梯梯形ABBCD中中，ABB=CDD”是否能能得出同同样结论论

41、呢？通通过学生生画图、证明，进一步步将思维维引向多多样、广广泛。ABCDEF（4）移移动法。把原题题中的直直线或点点进行移移动，或或将静态态变为动动态，从从而得数数学开放放题。【例7】 课课本原题题：如图图，已知知AD为为圆的直直径，BC切圆圆于D，AB、AC与与圆交于于E、FF。求证：AAEAB=AFAC改编时，将BCC向上或或向下移移动，问问原结论论是否成成立。CBDA（5）特特殊化一一般法。是指把把原命题题中的特特殊条件件转化为为一般条条件，或或把特殊殊位置转转化为一一般位置置。【例8】 课本本原题：如图，和交于AA、B，点在上上，ADD为的直径径，延长长DB交交于C。求证：改编时，将不

42、放放在上，AAD由直直径改为为弦，看看原结论论是否成成立。ABCEHGD（6）逆逆向思维维法。将将原命题题中的条条件和结结论对调调，构成成逆向思思维题。【例9】 课本本习题：ABCC的高AAD、BBE交于于H，AD延长长线交外外接圆于于G，求证：DD为HGG的中点点。改编时，将结论论：“DH=DG”改为条条件，问BE与与AC有有何关系系？（7）建建模法。根据某某些数学学知识和和数学方方法，在在相关情情景下，设计应应用性开开放题。【例100】 某某企业进进行技术术改造，有两种种贷款方方案：第第一种，一次性性贷100万元，第一年年获利11万元，以后每每年比前前一年增增加300%的利利润。第第二种，

43、每年贷贷款1万万元，第第一年可可获利11万元，以后每每年增加加利润55千元，两种方方案都是是10年年，到期期一次性性还本付付息，试试比较两两种方案案的优劣劣。（8）引引进变数数探求结结论。把问题中中的某个个确定的的常数换换成变数数，来探探求变数数的取值值，可得得一些开开放题。【例111】 把把分解因因式，将将2换成成或将115换成成，可得得开放性性题目：要使下下列二次次三项式式能在整整数范围围内因式式分解，、分别可可取哪些些整数？并因式式分解： （9）比比较某些些对象的的异同点点。【例122】试指出出下列两两个代数数式的共共同点：。20002年浙浙江省金金华市中中考试题题，比较较正方形形和正五

44、五边形的的异同（前面已已出现）。（10）利用不不同知识识的联系系与区别别进行推推广或类类比。【例133】将克水水和克糖糖混合配配成糖水水，现向向该糖水水内同时时添加克克糖和克克水，问问糖水变变甜了吗吗？你能否理理解，该该问题的的实质就就是比较较和的大小小，结果果如何呢呢？请你你按照以以下步骤骤解答。用具体体的数据据试验一一下（至至少用33组）；通过的试验验，猜想想一般结结果；我们给给出方法法：“设甲、乙两个个代数式式，如果果要证明明甲乙乙，只要要证明甲-乙乙0即可。”那么，你能够够用上述述方法证证明中你的的猜想吗吗？现在你你可以回回答开头头提出的的问题了了吧！在开放题题的编制制、开发发中，要要

45、十分重重视开放放题的设设问方式式，语言言的暗示示性要恰恰当，防防止将思思维导入入歧途；要把握握问题的的开放度度，不同同水平的的学生应应采用不不同的设设问方式式，提出出不同的的解题要要求；开开放题中中所包含含的事件件应为学学生所熟熟悉，其其内容是是有趣的的，是学学生所愿愿意研究究的，是是通过学学生现有有的知识识能够解解决的可可行的问问题；要要注意问问题的可可发展性性，给学学生一个个提问题题的机会会，也许许比解题题本身更更重要。3.2中中学数学学开放题题与教师师素质理论是行行动的先先导，数数学开放放题教学学的成功功与否，关键在在于教师师的数学学观。如如果教师师用静态态的、片片面的观观点将数数学理解

46、解为是由由概念、性质、定理、法则等等要素组组成的公公理化系系统，认认为其教教育价值值仅仅在在于逻辑辑推理能能力的培培养，那那么他采采用的教教学方法法就会是是灌输式式的，其其教学观观就会以以教师为为中心；如果教教师用动动态的、全面的的观点来来理解数数学，那那么他采采用的教教学方法法就会是是启发式式的，其其教学观观就会以以学生为为中心。“数学活活动论”的观点点认为“数学不不应该看看成事实实性结论论的汇集集，而主主要地应应被看成成是人类类的一种种创造性性活动”。从这这一角度度出发，在数学学开放题题的教学学中，我我们不应应该只注注重解题题得到了了多少结结论，得得到了什什么结论论，更应应该注意意解题中中

47、学生的的思维过过程，把把解题看看作数学学探索、数学发发现的活活动过程程。因此此，教师师对于开开放题的的看法以以及教师师所具备备的能力力和知识识，对开开放题的的教学起起着关键键作用。而目前的的数学教教师对数数学开放放题的认认识并不不乐观，对开放放题的认认识较以以前全面面些，但但还存在在众说纷纷纭，不不一而终终。因此此有必要要先澄清清几个认认识：数数学开放放题不同同于习惯惯上所说说的“一题多多解”，因为为“一题多多解”的问题题一般是是条件完完备且结结论也确确定的问问题，只只是由于于解题思思路而异异或解题题手段的的不同所所造成的的多种解解法而已已。数学学开放题题也不同同于一般般的分类类讨论题题，因为

48、为数学开开放题的的每一个个答案都都可以成成为问题题的一个个相对独独立的完完整答案案，而分分类讨论论题的每每一个答答案只能能是问题题的完整整答案的的一部分分。数学学开放题题的“结论”是在问问题系统统内部相相对于问问题的“条件”而言的的，它与与问题的的条件成成并列关关系，是是问题的的一部分分；问题题的“答案（解法）”是相对对于整个个问题而而言的，它与问问题本身身成并列列关系。数学开开放题与与封闭题题并不排排斥，一一个问题题是开放放还是封封闭的，有时还还取决于于提出问问题时学学生的知知识水平平。数学开放放题在教教学中的的价值认认识上也也存在差差异，数数学开发发题的优优点是开开放题顺顺应了开开放社会会

49、时代发发展的需需要；开开放题的的教学可可使全体体学生主主动参与与，并能能给予学学生更多多地体验验成功的的机会；开放题题的教学学有利于于实现教教学民主主，建立立新型的的师生关关系，师师生观重重新定位位；开放放题的教教学可使使学生更更全面理理解数学学本质，有助于于培养学学生的优优化意识识、创造造意识和和创新能能力，体体会数学学美；开开放题的的解答利利于培养养学生元元认知；开放题题的研究究过程，有利于于教师素素质的提提高。而而不少教教师批判判开放题题，认为为开放题题在单一一的技能能训练、知识学学习上费费时费力力，效率率低下，受考试试文化的的影响，要使更更多师生生接受、重视乃乃至于推推广开放放题，显显

50、得十分分艰难；开放题题的教学学往往因因课时制制约，课课堂上常常出现学学生思维维在低层层次上重重复的现现象；开开放题的的教学对对教师要要求较高高，难推推广；开开放题很很难以制制定客观观公正的的评分标标准，故故在用开开放题作作考试题题时困难难重重；现有适适合教学学的开放放题有限限，开发发设计更更多更好好的开放放题又面面临较多多困难。除了教师师对数学学开放题题的有关关理论不不太了解解外，更更主要的的是还有有现实因因素：一一是开放放题答案案的不确确定性，让人心心里没有有踏实感感；二是是开放题题的教学学比较费费时间，往往受受现实的的限时“课堂教教学”的制约约；三是是在“应试教教育”的现实实下，开开放题与

51、与封闭题题相比，毕竟是是“冰山之之一角”，考试试中断然然不会出出现很多多。3.3中中学数学学开放题题与考试试3.3.1数学学开放题题进入中中学数学学考试教育部在在20000年33月发布布的关关于20000年年初中毕毕业、升升学考试试改革指指导意见见中明明确指出出：“数学考考试应设设计一定定的开放型型问题”。（教教育部在在其下发发的文件件中明确确要求在在考试中中设计某某类题型型，这是是建国以以来第一一次）。以后在在20001年77月教育育部制订订的全全日制义义务教育育数学课课程标准准（实验验稿）和20003年年4月颁颁布的普通高高中数学学课程标标准（实实验）中又分分别强调调了数学学开放题题的意义

52、义和作用用。新的的国家课课程标准准已为数数学开放放题在中中小学数数学教育育搭建平平台，从从根本上上打破了了数学封封闭题长长期一统统天下的的现状。随着教育育改革的的深入发发展和素素质教育育的进一一步实施施，数学学开放题题的教育育价值日日渐破冰冰而出。其实在在数学开开放题在在开始光光明正大大地进入入数学中中考试题题和数学学高考试试题之前前，我国国各省、市数学学中考和和数学高高考就已已进行过过一定的的尝试和和探索。在19982年年山西省省太原市市中考就就出现过过一个数数学开放放题（即即例144）。【例144】已知知O内切切于四边边形ABBCD，AB=AD，连结AAC，BBD，由由这些条条件你能能推出

53、哪哪些结论论？（要要求：绘绘出工整整的图，不写画画法，图图中除AA，B，C，DD，O五五个字母母之外，不再标标注其他他字母，不再添添加任何何辅助线线，不写写推理过过程，推推出五条条结论给给满分，推出五五条以上上者给予予加分）此题119966年又被被宁夏自自治区中中考重复复采用。开放题被被选拔性性考试采采用，说说明人们们日益认认识到开开放题的的测试能能力水平平，特别别是测试试创造能能力水平平中的重重要作用用。进入入新课程程改革，伴随教教育行政政部门对对数学开开放题的的意义和和作用的的正式肯肯定，数数学开放放题中考考试题和和数学高高考试题题之中必必将占有有一席之之地，并并将呈现现出百花花齐放、异彩

54、纷纷呈的局局面。3.3.2中学学数学开开放题在在考试中中需注意意的几个个问题尽管在操操作层面面上，数数学开放放题已经经进入了了中考和和高考，而且这这也是考考试发展展的一大大趋势，但依然然有些问问题需要要我们进进一步思思考：3.3.2.11试题的的开放度度与难度度控制好试试题的开开放度是是数学开开放题设设计是否否成功的的一个关关键。无无视这个个关键，单纯追追求答案案的多样样性，有有可能导导致试题题设计的的失败，这种失失败最突突出的表表现就是是试题难难度失控控。试题题的开放放度与难难度并不不完全成成正比。【例155】已知知点A（1，22）和BB（-22，5）。试写写出一个个二次函函数，使使它的图图

55、象经过过A，BB两点。三点确定定一条抛抛物线，题目少少了一个个条件，因此答答案很多多，这种种试题的的开放度度极大，但难度度并不十十分高，同时也也没有鼓鼓励学生生“多方面面、多角角度、多多层次”的探索索，难以以考查学学生的创创新能力力，反而而给阅卷卷工作平平添很多多麻烦。其实，开开放型试试题首先先是起点点要低，不管是是基础好好能力强强的学生生，还是是基础差差能力弱弱的学生生都能动动手尝试试，并有有一定的的进展和和收获。其次，开放型型试题的的难度要要有坡度度，有层层次，开开放型试试题应该该比一般般的常规规题更能能区分学学生思维维和能力力的差异异。再次次，开放放型试题题能有多多种结论论，要让让学生有

56、有发现余余地。最最后，开开放型试试题在解解决问题题的每一一个层次次上能有有多种解解法，能能体现出出综合题题的功能能。另外外，开放放型试题题还应注注重思维维方式和和思维能能力的考考查，其其解答应应不拘泥泥于形式式和格式式（特别别是对于于非形式式化开放放题更应应如此），它应应有别于于常规题题注重基基本知识识和基本本能力的的考查。3.3.2.22答案的的弹性化化与评分分标准的的刚性化化开放题的的一个突突出特点点就是结结论的多多样性，因而也也就导致致了答案案的弹性性化，可可评分标标准却是是刚性化化的，两两者之间间似乎难难以找到到平衡点点。开放放题的解解答水平平主要体体现在解解题者能能给出多多少答案案，

57、给出出哪些答答案，给给出怎样样的答案案。特别别值得注注意的是是，并不不是给出出的答案案数量越越多，解解答水平平就越高高，分数数赋值就就越高。【例166】已知知，试写写出满足足条件的的（，）。这里有以以下两种种解答：解答：（2，2），（5/4，55），（3/22，3），（77/5，7/22），（5/33，5/2）解答：（2，2），（0，0），（7/5，77/2），（33-，33+）从答案数数量上看看，解答答要多，但从答答案类型型上看，解答要丰富富。两者者孰优孰孰劣，伯伯仲自明明，一般般而言，开放题题的解答答水平主主要体现现为如下下几个指指标：解解答的多多样性、解答的的完备性性、解答答的深刻刻性。

58、达达到以上上指标，可视为为解答水水平较高高，分数数赋值相相应就高高些。3.3.2.33陈题改改造与题题型创新新在考试中中引进开开放题，应注意意下面几几个问题题：当前的的一段时时间内，必须坚坚持以传传统题型型为主，适度引引入开放放型题；引入开开放题必必须由浅浅入深，逐步过过渡；试题中中的开放放型题的的编制，最好以以现行教教材中的的题目为为原形；努力突突破“单项选选择题”、“填空题题”、“解答题题”的传统统题型，适当进进行题型型创新，如“设计图图形”、“短文论论述”等，为为数学开开放题注注入新的的活力。比如：【例177】写出出一段文文字说明明定义的的合理性性。3.3.3中学学数学开开放题考考试的评

59、评分方法法由于开放放题更符符合新课课程发展展的评价价理念，在新课课程的学学业水平平评价中中应大力力加以提提倡，但但从以往往的中考考或高考考试题来来看，虽虽然增改改了一些些开放性性问题，而这些些题都包包含着高高级思维维能力的的因素，且评价价标准还还是根据据“积分点点”来制定定，没有有把这类类题目按按开放题题来处理理，不能能很好的的发挥开开放题的的应有功功能。这这一问题题不解决决，开放放性问题题就难以以进入学学生学业业评价，深入平平时的教教学之中中。因此此在进行行答案评评分时，要注意意根据答答案分清清学生所所处的思思维层次次，体现现学生思思维进程程的评价价。同时时根据开开放题本本身所具具有的思思维

60、含量量来确定定层次，对于样样板式的的标准答答案，教教师应不不拘泥于于其表述述，而应应深入考考查该题题思维层层次的划划分依据据和方法法。还可可以采用用多个教教师综合合评分的的方法来来权量。3.4中中学数学学开放题题与新课课程改革革3.4.1中学学数学开开放题与与数学新新课程标标准数学新课课程标准准的基本本理念中中提出：“数学课课程应为为学生提提供选择择和发展展的空间间，为学学生提供供多层次次、多种种类的选选择，以以促进学学生的个个性化发发展和对对未来人人生规划划的思考考”而开放放性问题题恰好能能给学生生提供多多层次的的问题和和思维水水平。新课程中中也出现现了开放放性参考考案例，例如普通高高中数学