高中必修1第三章函数的概念与性质一题一课：构造函数法求解不等式教学设计

1、版本：人教版高中数学选修2-2一题一课 构造函数法求解不等式数学教研组 王寒教材分析构造函数法在高中数学中已有了比较广发的运用，它是数学方法的重要组成部分，也是历年高考的重点和热点，一般属于中难度及以上的题目。主要解题方法是，运用函数的概念和性质，通过类比、联想、转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，进而转化问题并解决问题。学情分析本节课是在学生学习了一般的初等函数的求导法则后的一节专题课，学生对于导数的概念、基本运算法则都有了深入的了解，而本节课主要是解决如何构造函数法求解不等式的问题，以及总结出一般的构造函数法的常见方法。本节课所涉及的题目在高考中算中难度及以上，对学生思维能力和运算能

2、力有着较高要求，这也是对学生转化划归思想的训练，可以提高学生的运算能力和数学思维。教学目标1.掌握利用导数方法构造函数解不等式问题的一般方法2.进一步理解构造函数法在求解不等式中的应用教学流程（一）知识回顾（1）和差的导数： ；（2）积的导数： ；（3）商的导数： ；（）特别地： ； ； ； ；教师活动：请同学们完成知识回顾。选取学生学案进行投影展示学生结果，并请学生及时进行点评。学生活动：填写知识回顾。设计意图：通过对知识回顾的填写，学生快速进入学习状态的同时也回忆起本节课所需的基本的知识点，为下一环节的及时练习做好知识储备。（二）及时练习已知定义在的函数的导函数为，且对任意的有，若，则的解

3、集为 .已知定义在的函数的导函数为，且对任意的有，若，则的解集为 .已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的有，若，则不等式的解集为 .教师活动：教师点评3个题目的切入点，以及对学生完成情况的点评。学生活动：学生完成练习题，并分享自己的对题目的理解和切入点。设计意图：通过对三个简单例题的热身训练，学生找到一般的解决构造函数法求解不等式的入手点，以及初步感受如何构造函数方便解题，明白为什么要通过构造函数法来解决这类解不等式的原因，为接下来较综合、难度较大的例题打下基础。（三）例题讲解【典例】定义在上的函数的导函数为，且对任意的有，若，求不等式(其中为自然对数的底数)的解集。分析：问题1.你如何理

4、解“”的？看到它你能联想起我们学过的什么公式？问题2.对于不等式 “”它与“”有何关联？你该如何构造函数呢？问题3.构造出新函数“g(x)=exf(x)”后，你能知道它的哪些信息呢？又该如何将你得到的信息与题目的不等式“”联系起来呢？小结：常见构造导函数的方法对于“”，构造 .对于“”，构造 .对于“”，构造 .对于“”，构造 .对于“”，构造 .对于“”，构造 .教师活动：教师通过对问题的层层剖析，用提问和不断追问的方式，引导学生思考例题的切入点以及构造新函数的方法。在学生有了解题思路的情况下，进行板书详细的解题格式，规范学生答题过程，并对一般常见的构造函数的结构进行总结，督促学生记好笔记。

5、学生活动：学生通过对老师所提问题的思考，找到解决这类问题的突破口，规范完成本题目，记好常见的构造函数的结构以及方法。设计意图：对“exf(x)” 和“f(x)+f(x)”结构式的分析，总结出常见几类的构造函数的方法，方便学生在今后遇见类似题目能快速反应出解题思路和方法，从而提升学生的数学思维与能力。【能力提升】定义在上的函数的导函数为，且对任意有，若，求不等式的解集。分析：问题1.你如何理解“”的？看到它你能联想起我们学过的什么公式？问题2.对于不等式 “”它与“”有何关联？你该如何构造函数呢？问题3.构造出新函数后，你能知道它的哪些信息呢？又该如何将你得到的信息与题目的不等式“”联系起来呢？

6、变式1：若其他条件不变，则不等式的解集为 .变式2：定义在上的函数的导函数为，且任意，有，若，求不等式的解集。教师活动：在有了例题的讲解后，教师引导学生分析问题，解决问题，并邀请学生上台展示自己的思路以及完整的解题过程，及时给予肯定和评价。 学生活动：学生在教师的引导下，完成能力提升以及两个变式训练，学生自愿上讲台展示自己的解题思路和完整的解答过程。设计意图：学生对常见构造函数的结构掌握熟练后，对其进行变形，如乘以或除以某个式子，增加难度的同时，更加激发了学生的学习兴趣，也达到了训练学生转化划归的数学思想。（四）技能练习1.设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）2.已

7、知定义在是定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）3.已知偶函数的导函数为，且满足，当，则使得的的取值范围为（ ）4.定义在上的函数的导函数为,有，则不等式的解集是（ ）教师活动：引导学生完成技能练习，投影展示结果，并进行点评。（如果时间不足，则将之布置为课后作业。）学生活动：完成技能练习，并分享解题思路。 设计意图：进一步巩固所学知识，加深学习印象，强化构造函数法的技能。（五）课堂小结通过本节课，你掌握了什么内容？教师活动：引导学生复习回顾本节课的重要数学思想与方法。 学生活动：学生在教师的引导下，对本节课有系统性的总结，进一步加深学习印象。 设计意图：通过课堂小结，帮助学生系统的理解本节课所学的数学思想方法，加深学生学习印象的同时也加强学生的总结意识。课后反思本节课就教学设计而言，流程完整，内容完善，做到了对知识点由浅入深的层层挖掘，对学生思维引导和提升也是循序渐进。在课堂上，教师语言干净准确，师生互动良好，学生学习氛围浓郁，体现了“以人