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文档简介

1、 第九章 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差本节内容:全微分一、全微分的定义二、可微的条件三、小结一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微当函数可微时 :得函数在该点连续即(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微

2、与偏导数的关系:(1) 函数可微偏导数存在 函数可微 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点的偏导数必存在,且有二、可微的条件同样可证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 得到对 x 的偏增量因此有 注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .定理2 (充分条件)若函数的偏导数则函数在该点可微分，且通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解:例3. 计算函数的全微分. 解: 内容小结1. 微分定义:内容小结2. 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续函数在可微的充分条件是(

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