整式基本概念及加减运算

1、.整式基本概念及加减运算例题精讲板块一 代数式、单项式、多项式代数式的定义：用基本的运算符号 (加、减、乘、除、乘方等 )把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式 .单独的一个数或字母也是代数式.列代数式： 列代数式实质上是把“文字语言 ”翻译成 “符号语言 ”.列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识.在列代数式时，应注意以下几点：1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示；2） 字母与字母相乘时可以省略乘号；3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；4） 列代数式时应注意单位

2、，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（ 5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数.2yz ， 这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的单项式：像2a ，r2 ，1x2y ， abc ， 3 x37代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、 3.单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式1ab2c ，它的指数为 12 1 4 ，是四次单2项式 .单独的一个数 (零除外 )，它们的次数规定为零，叫做零次单

3、项式.2y 的系数 .单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4 叫做单项式 4x77同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.多项式：几个单项式的和叫做多项式.例如： 7x23 x 1 是多项式 .9多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项 .多项数的次数： 多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数.整式：单项式和多项式统称为整式 .【例 1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ 2x1 3ab2 0 a10nb ba a32S23 47 R;.【巩固】 a

4、， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： ab 0 ；abc 0 ； ab a2|b | 0 ； a b b c c a0 ； a 2【例 2】 讲下列代数式分别填入相应的括号内：0； ab1 ；2a2b；b1 2a 12，21x 2，1，21ab， ， ，mn 3n 2，23x x m n3xx2b 33yx单项式（）；多项式（）；二项式（）；二次多项式（）；整式（）【巩固】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.2 xy2 ； a ； a ； mn3 ； 25 t 7 ； 3a 2b3c ； 2 ；x3bc2【巩固】 下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系

5、数和次数：x1，22 a3b4 ，5， xy ，3x1，abc3x3【巩固】 写出一个系数是2004，且只含 x 、 y 两个字母的三次单项式是.【巩固】 写出下面式子的同类项： 5x2 yc11a xy7 z2 62;.【例 3】 下列各对单项式中不是同类项的是（）A 3 x4 y2 与 4x22B 28x4 y3 与 15 y3 x4y4C 15a 2b 与 0.02ab2D 34与 43【巩固】 单项式1xa b ya 1 与 3x2 y 是同类项，求 ab 的值 .3m n3ab3 是同类项， 且 A mx2y2 ，B 3x2y2 ，求 2A 3B A 2 B A【例 4】 已知 a

6、3 b 3和9 xynxy的值【巩固】 已知关于 x，y 的单项式 3xn 3 y3 和y2 m 1 x4 是同类项，则m， n1m 22 m2 nm ， n 的值 .【巩固】 若 9a 3b 55 与 a2 b 是同类项，求【巩固】 设 m 和 n 均不为零，3x23和5x2 2m n 3是同类项，则3m3m2 n3mn29 n3yy32235m3m n6mn9n【巩固】 若 5a x b2 与 0.9a 3b y 是同类项，求x ， y 的值 .【巩固】 若 1x4a y4 zb 和 7 x8 ya 2c 是同类项，求 a bc 的值3;.【例 5】 同时都含有a ，b，c ，且系数为 1

7、 的 7 次单项式共有（）个A 4B12C15D25【例 6】 填空：若单项式n2 x2 y1 n 是关于 x，y 的三次单项式，则n【巩固】 含字母 x 和 y ，且系数为 1的四次单项式是【例 7】 将多项式x2 y4 xy22 x3 y1 按 x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.【巩固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式. 4 x42x21； 2aba ； a32ab3b3a3b ； x y .5bx【例 8】 若多项式4332不含 x 的奇次项，求ab 的值x axx 5xbx 3x 1【例 9】 若多项式 5x2 ym2 是关于 x，y 的四次二项

8、式，求m22mn n2 的值n 3 y22【巩固】 当 m 取什么值时，(m2) xm 1 y23xy3 是五次二项式？;.【例 10】设 m，n 表示正整数，多项式xmyn4m n 是几次几项式【例 11】一个多项式按 x 的降幂排列，前几项如下：x102 x9 y 3x8 y24 x7 y3. 试写出它的第七项及最后一项，这个多项式是几次几项式？2 x7a0a1 x a2 x2.a7 x7 对任意 x 的值都成立，求下列各式的值：【巩固】 已知1 a0a1a2.a7 ； a1a3a5 a7【例 12】试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类：3x22x，ax 2bxycy2 ，abba2

9、，1xx2【例 13】如左图，计算四边形AECF 的面积DGCF6bEA7aHB;.【例 14】如右图，用含有x 的代数式表示糟型钢材的体积xx2x+72xxx【巩固】 如图所示，用x 的代数式表示零件的体积xxx2x3x+5x【巩固】 如图，一块直径为ab 的圆形钢板， 从中挖去直径分别为a 与 b 的两个圆， 求剩下钢板的面积 （ 表示圆的直径）ab板块二 整式加减合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变.【例 15】按要求将下列多项式添上括号： 将多项式 9 4 x24 xy y2 中含有字母的项放在前面带有负号的括号内

10、；22中二次项放在前面带正号的括号内，一次项放在前面带有负号的【巩固】 将多项式 1 2a 2b 2ab a2b括号内;.【巩固】 若 2a mb 2m 3 n 与 a3 b9 的和仍是一个单项式，求m 、 n 的值 .【巩固】 两个三次多项式相加，和是（）A 六次多项式A 三次多项式A不超过三次的多项式A 不超过三次的整式【例 16】去括号，在合并同类项： 2 x3x22x 4 x23x 10【巩固】 化简：x2x2x2x2【例 17】化简： 5 a3 b21 a2 b 2ab 5a3b2153ab2 ba263363【巩固】 化简： 5( xy)2( yx)2( yx)23(xy)( xy

11、)3【例 18】化简： 2(ab)2( ba )6(ba) 211(ab);.【巩固】 化简： (ab)23(ab)22(ba )2323233B； 3B A【例 19】若 A 9a b5b 1， B7a b8b 2 .求： 2A【巩固】 求 3a 2b6a 3b3 与 6 a37a 2b3b 2 的和【巩固】 若 A2x25xy3 y2 ， B2 x23xy4 y2 ，且 2A3BC0 ，求 C .【巩固】 已知 Aa2a1， Ba 2a1 ，求 ABAA2B【巩固】 化简： 3x27x 4(x 3) x2;.【巩固】 化简： 4xy23x2 y3 x2 yxy22 xy24x2 y( x2

12、 y2 xy2 )【例 20】第一个多项式是 x22xy 2 y2 ，第二个多项式是第一个多项式的2倍少 3，第三个多项式是前两个多项式的和，求这三个多项式的和.【巩固】 已知多项式22x 3 相加得23x 3 ，求多项式 AA 与 x2 x【巩固】 已知两个多项式的和为22x 1，差是 x23 x4x 5 ，求这两个多项式【巩固】 求比多项式 5a22a3abb2 少 5a2ab 的多项式 .【巩固】 从一个多项式减去10ab2bc11，由于误认为加上这个式子，结果得到的答案是3bc3ab .求出正确的答案 .;.【例 21】有这样一道题：“已知 A 2a22b23c2 ， B 3a2b 2

13、2c2 ， Cc22a 23b2 ，当 a 1 ， b 2 ，c 3 时，求 AB C 的值 ”有一个学生指出，题目中给出的 b2 ， c3是多余的他的说法有没有道理？为什么？【巩固】 若 A3x2 y4 xyx7 ， Bx2 y3xy3 x ，且 A3B 与 x 无关，求 y 与 A3B的值 .【例 22】已知 AB3x25x1 ， AC2 x3 x25 .当 x2 时，求 BC 的值 .【例 23】已知代数式 ax4bx3cx2dx 3 ，当 x2 时它的值为20 ；当 x2 时它的值为16 ，求 x2 时，42的值代数式 ax cx3【巩固】 已知当 x2 时，代数式ax3bx2 的值是

14、1 ，求当 x2 时，这个代数式的值【巩固】 设 A 2x23xyy2x 2 y ， B 4x26 xy 2 y2y ，若 x 3a( y 5) 20，且 B2A a ，求A的值.;.【例 24】先化简，再求值：若 a3 ， b4 ， c1 ，求 7 a2 bc 8a 2cbbca2(ab2a 2bc)的值 .7【巩固】 先化简，在求值：3x25x x22 x2x ，其中 x 223223【巩固】 化简求值： 5 x 2 yx 2 y 3 x 2 y2 y x ，其中 x1，y4【巩固】 化简求值：3ab2b3a5ab12b2a，其中 a2b5，ab3【巩固】 若 a1， b2 ， c3 计算

15、： 8a n( 2an ) ( 8a n 1 ) 9ana n 1 5a2b3a2b(2 ab2a 2c)( 7ab2a2 c);.【例 25】已知 (a2) 2ab50 ，求 3a2 b2a2b(2aba2b)4a2ab .【巩固】 已知 a 、 b 、 c 满足： 5 a32 b2 0；1x2 a y1 b c 是 7 次单项式；2322222求多项式 a ba b 2abca c3a b4a c abc 的值【巩固】 对任意实数 x ，试比较下列每组多项式的值的大小：224x5x 2 与 3x 5x 2【例 26】比较大小： 5x22 x1与 5 x23x2【例 27】应用整式知识解答下

16、列各题：任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数和个位数交换位置，得到另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被99 整除一个三位数，将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列，把所得到的两个三位数相减，若差等于原来的三位数，则称这个三位数为“克隆数”。求出所有的三位“克隆数”;.课后练习指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ 2x 12 0n a b b a3aba 10 3 2SR2 34 7 2.若 mamb3 m 与 nab n 是同类项，求 ( nm) 2003 的值 .3.若0.11xa b ya b 与 5xa 1y3 是同类项，求a ， b 的值 .94.如果a m 3 b 与 1 ab4n 是同类项，且 m 与 n 互为负倒数，求n mn 3( m4)1 m 11 值 .344;.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积2aa2aa把下列多项式按 x 降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项： 13y2xy18x3 y7 x2 y2 ；3xy25x2 yx3 y2y17.求