高中数学人教A版高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程-直线与圆锥曲线的位置关系－－定值问题

1、课题：直线与圆锥曲线的位置关系定值问题（两课时）授课教师：荣刚教学内容与考试要求分析：解析几何是高中数学的重要内容，其中直线与圆锥曲线的位置关系的内容编排在数学选修21第二章圆锥曲线与方程，是高考考查的重点。这部分内容要求学生能熟练地利用方程研究位置关系，涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式、斜率公式、点到直线的距离公式、两点间的距离公式等基本知识的灵活和综合运用，更要求学生用运动变化的观点分析问题，用函数方程的思想、数形结合的思想和特殊与一般的思想等思想方法解决问题。解答这类问题要求学生在运算的方法与策略及运算的流程上深入分析并合理选择的设计，对运算求解能力有较高要求。20

2、23年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（理科）中明确指出：运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究研究几何问题是基本方法。试题强调综合性，综合考查数形结合的思想，函数与方程的思想，特殊与一般的思想等思想方法，突出考查学生的推理认证能力与运算求解能力。直线与圆锥曲线的位置关系中的定值问题是解析几何高考试题中最常见的命题设问方式之一，问题的深层背景常为圆锥曲线（或图形）的几何性质，分析探究图形的几何性质与几何元素间的位置关系及其等价形式，并合理运用代数方法进行表征是转化的基础，也是简化运算的前提。解析几何中的定值问题在2023年至2023年的高考试题中频繁出现，其中与圆锥曲线的对

3、称性相关的一个定值问题连续5年作为高考解析几何试题的解答题。学情分析：目前学生已完成解析几何全部知识的学习，通过第一轮复习学生对该部分的知识体系已有一个相对完整的认识，已具备分析解决解几综合问题的基本知识与技能，但在问题解决方面大多还停留在模仿阶段。同时，由于直线与圆锥曲线试题涉及的知识面宽，综合性强，对运算求解能力要求较高，大多数学生的熟练程度不够，心存畏惧，而且对解题策略分析与解题过程表达方面也存在较大问题，这都需要在教师的引导下通过专题复习探究，实现突破。教学目标：本节课拟选用高考试题为例题，引导学生分析试题立意，探寻解题思路与策略，规范书写解答过程，反思总结解题规律，完善拓展知识体系，

4、实现推理认证能力与运算求解能力的提升。教学重点与难点：重点：定值问题的解题策略分析与运算求解能力培养难点：几何位置关系代数化的合理性与运算的简洁性教学媒体： 多媒体，几何画板教学设计教学环节问题设计意图教师活动学生活动目标导引复习回顾解析几何的综合问题是最具有挑战性的问题，常见的问题主要有哪些类型？涉及的基本知识与思想方法有哪些？经历的基本解题流程有哪些相似点？直线与圆锥曲线的位置关系中定值问题是高考常见的命题设问方式之一，高考命题如何立意来考查知识、思想与能力的呢？1、让学生回顾直线与圆锥曲线的位置关系综合问题的问题类型，梳理求解所用的知识与技能，回顾解题的过程与方法，为本节课的学习探究进行

5、知识准备。2、指出学习目标，让学生产生进一步学习的需求，激发学生的探究欲望。检查学生课前知识回顾整理情况，并作适当的补充。学生交流分享（或展示）知识梳理结果，完善知识体系。明确探究主题。聚焦问题展开探究例1已知抛物线C：与直线交于M，N两点，试问：轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由以具体问题为载体，学生通过寻求解决问题的思路与策略的过程，体会几何问题代数化是解析几何的基本方法，而几何问题“解析化”的途径必须进行认真的研究探索和选择。组织学生探究解题思路，巡视指导学生探究。及时发现问题与不足，作必要的点睛式讲解或提示补充，给出解题示范.学生自主探究形成自己的想法，小组内交流讨论，对

6、共同的问题或疑难开展合作探究。变式探究一：问题1：立足本题的题意，你能提出哪些不同的设问情景？具体地说，请在横线上填入适当的条件：轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？让学生进一步体会深入研究探索几何问题“解析化”的途径必要性及合理选择的选择重要性，让学生学会理性思考，懂得分析寻求条件（或结论）的等价形式。引导回顾角平分线的性质，提出不同的表现形式。学生梳理角平分线的不同的表现形式，完形填空，体会同一条件的不同形式对求解的影响。问题2：回顾本题的解题过程，从整体上回看结论与条件，你有什么发现？据此，你能编拟出新题目并解决吗？ 让学生养成反思总结的习惯，在反思总结中既形成对问题本质和解题规律的

7、深刻认识，又拓展知识体系，提升能力。引导学生分析直线过的定点、P点坐标及两角相等三者的内在联系总结提炼规律，发现并获得抛物线的一条几何性质。展示结果。例2如图，椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由以具体问题为载体，让学生通过类比例1，深刻体会几何问题代数化是解析几何的基本方法，深刻体会求解定值问题的基本思想与方法，总结感悟解题的基本规律。引导学生类比例1的问题情景发现解题思路并解决问题。及时发现存在的问题与不足，作必要的点睛式讲解或提示补充。学生对比分析例1与例2的条件与设问方式，探究发现其中的异同

8、，探究获得解决问题的思路与方法，独立完成问题的解决。交流展示分享解题思路与求解过程。聚焦问题展开探究变式探究二：问题3：类比变式探究一，你能对本题给出哪些变式？能独立解决吗？问题4：将本题中点P的坐标改为，满足条件的点Q存在吗？这一结论能推广到一般吗？利用变式探究，让学生经历从特殊到一般的认知过程，达到洞察事物的本质，培养学生理性思维的优秀品质，同时达到举一反三的学习效果。提示学生回顾解题过程，从推理过程发现条件与结论的等价性及推演过程中形成的重要二级结论。学生在自主探究的基础上共同交流探讨，形成对推演过程的理性认识，总结发现中间结论：并推广。针对训练反馈提升练习已知抛物线和点，设不垂直于轴的

9、直线与抛物线交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点作为例题的补充，练习题刚好可视为例1的逆向设问，经过学习既让学生对定值问题的求解过程、方法与策略有进一步的理解感悟，同时对圆锥曲线的相似几何性质有一个整体认识，形成解题规律并提升技能。学生独立完成题目的解答。反思感悟建构拓展1、本节课你有哪些收获？（1）在定值问题的解题思想方法层面上有何感悟？（2）在运算求解与书面表达方面你有哪些体会？（3）你认为解答直线与圆锥曲线的位置关系的综合题时最关键点是什么？解题基本流程是怎样的？有哪些细节值得注意？2、由两个例题及变式你认识到的圆锥曲线新的几何性质是怎样的，能以命题的形式呈现出来？学生在问题

10、引导下回顾课堂学习探究过程，梳理并总结学习心得体会，巩固学习效果的同时建构拓展知识体系，提升自身的能力水平。引导学生养成反思总结的习惯，让学生勤思考，善总结，会学习。教师聆听学生的梳理小结，及时评价并补充完善。学生先自主回顾整理，再交流分享学习必得体会或学习成果。作业精练巩固提升作业见导学案附：本节课讲义例1已知抛物线C：与直线交于M，N两点，试问：轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由（2023年全国乙卷第20题第2问）分析：本题的关键是把证明y轴是角平分线的问题转化为解析几何中坐标计算的问题，这其中由形到数和由数到形的转换充分体现了数形结合的数学思想有多种依据能实现y轴是角的平分

11、线的代数化，如：由角平分线上的点到两边等距得原点到直线PM和PN的距离相等，三角形的内角平分的性质定理得（其中点Q的坐标为），或者导出直线PM与PN的倾斜角互补。不用的选择决定了解题过程中的运算量大小，认真分析比较发现选择倾斜角互补借助斜率和为0是最佳途径。在此选择的基础上，对定点存在性的推断可以用特殊到一般的思想解决，即先取特殊直线确定点P的坐标，再证该点坐标满足斜率和为0；也可先假定其存在性，利用直线PM和PN的斜率和恒为0构建P的纵坐标b与k适合的等式，由等式对任意k恒成立获得P的纵坐标b。解题过程的一个关键点是用点P、M、N的坐标去表示PM、PN的斜率，进而简化为k，b等式，求解时需充

12、分借助根与系数的关系整体代入简化计算。解答：假设轴上存在点符合题意。则由得： 设，于是有： 代入化简得： 由消去y整理得： 由根与系数的关系，得： 代入得：，化简得： 由题意，当k变动时，总有 等式对任意实数k恒成立 故 y轴上存在点，当k变动时，总有成立变式探究一问题1：立足本题的题意，你能提出哪些不同的设问情景？具体地说，请在横线上填入适当的条件：y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？答案：原点到直线PM和PN的距离相等；，其中点Q的坐标为；PM、PN关于y轴对称；点N关于y轴的对称点在直线PM上；等等。问题2：回顾本题的解题过程，从整体上回看结论与条件，你有什么发现？据此，你能编拟出

13、新题目并解决吗？答案：如图所示，P，Q关于顶点O对称；直线M、R关于y轴的对称；M，N，Q三点共线；P，N，R三点共线。以四个中任意两个为条件，余下两个来结论的便是均为真命题。变式1：已知抛物线C：与定点，经过点M的动直线与抛物线相交于P，Q两点。试证明：变式2：已知抛物线C：与直线交于M，N两点，点N关于轴的对称点为Q，试问：当k变动时，直线MQ是否过定点，说明理由例2如图，椭圆，过点的动直线l与椭圆相交于两点在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由(2023年四川卷)分析：类比例1的分析与解答，本题的关键是利用三角形内角平分的性质定

14、理将条件等价转化为y轴平分AQB，进而转化为kQA+kQB=0。之后假定点Q(0, b)存在，构建Q的纵坐标b与直线l的斜率k适合的等式，由等式对任意k恒成立获得Q的纵坐标b。解答：由椭圆的对称性可知，若定点Q存在，则点Q必在轴上，设点则由得：AQO=BQO 设，于是有： 代入化简得： 由消去y整理得： 于是有： 由根与系数的关系，得： 代入得：，化简得： 由题意，任意对，恒成立 故 y轴上存在点，使得恒成立变式探究二：问题3：类比变式探究一，你能对本题给出哪些变式？能独立解决吗？变式3：已知，过点的动直线l与椭圆相交于两点A关于y轴的对称点为D，试问：直线BD是否过定点？若BD过定点，求出定

15、点的坐标；否则，请说明理由变式4：已知，过点的动直线l与椭圆相交于两点A关于y轴的对称点为D，试问：直线BD是否过定点？若BD过定点，求出定点的坐标；否则，请说明理由问题4：将本题中点P的坐标改为，满足条件的点Q存在吗？这一结论能推广到一般吗？变式5：已知椭圆，过点的动直线l与椭圆相交于两点在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由推广：已知椭圆和点，过点P的动直线l与椭圆相交于两点，A关于x轴的对称点为D，则：直线BD经过x轴上一定点Q，且；若，则。 练习已知抛物线和点，设不垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直

16、线过定点（2023年陕西卷）小结：1直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题的解题策略：（1）基本数学思想：函数方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想、化归转化思想。（2）基本数学观点：运动与变化的观点（3）解答直线与圆锥曲线的位置关系的综合题时最关键点是选择适当的途径将图形的几何特征解析化，即分析图形的几何特征及其等价形式，借助点的坐标、曲线方程及解析几何的基本公式由几何性质建立所需量的方程（组）。（4）求解的基本流程如下：细心审题探明题意、研究图形探究表征、合理选择引参列式、交于两点需判别式，两根关系韦达定理，设而不求整体代入，消参化简必得定值。（5）值得注意的细节：直线的斜率是否存在，给出一元二次方程的判别式并使之大于0，正确写出两根之和与两根之积；对式子变形运算时尽量先化简并整体处理。2圆锥曲线一条定值性质：（1）如图，点P是椭圆上一点，关于轴对称则：若E为定点，则TQ过定点G，且；若G为定点，则PQ过定点E，且有；若，则过点E的直线与椭圆相交于PQ两点，则（2）已知点P为抛物线对称轴上异于顶点的一个定点，过点P的直线与抛物线E相交于AB两点，点A关于x轴的对称点为D，则：直线BD经过一定点Q，且；当点P在x轴正半轴时，有作业：1已知点为抛物线