2020-2021备战中考数学-圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案

1、2020-2021备战中考数学圆的综合的综合压轴题专题复习附详细答案一、圆的综合1.如图，在OO中，AB为直径，OC丄AB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.求证：DE是OO的切线；1若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明;在(2)的条件下，若0F=1,求圆O的半径.【答案】(1)答案见解析；(2)AB=3BE；(3)3.【解析】试题分析：(1)先判断出/OCF+ZCFO=90，再判断出/OCF=AODF，即可得出结论；(2)先判断出/BDE=ZA,进而得出厶EBD-EDA,得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；(3)设BE=x，则DE=EF=

2、2x,AB=3x，半径OD=-x,进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结OD,如图.TEF=ED,/EFD=AEDF.:ZEFD=ACFO,:.乙CFO=ZEDF.TOCOF,ZOCF+ZCFO=90.TOC=OD,ZOCF=ZODF,ZODC+ZEDF=90,即ZODE=90,OD丄DE.T点D在OO上，DE是OO的切线;(2)线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE.证明如下：DEBEBDADEAD.RABDTOF=1,OE=1+2x.TAB为OO直径，ZADB=90,ZADO=ZBDE.TOA=OD,ZADO=ZA,ZBDE=ZA,而ZBED=

3、ZDEA,EBD-EDA,BD1DEBE1中，tanA=,=：,AD2AEDE2AE=2DE,DE=2BE,AE=4BE,AB=3BE；3(3)设BE=x，则DE=EF=2x,AB=3x，半径OD=-x.在RtAODE中，由勾股定理可得:圆O的半径为3.32(x)2+(2x)2=(1+2x)2,x=-9(舍)或x=2,点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出AEBD-EDA是解答本题的关键.2（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形

4、，可以得出三角形的三边与该圆相切以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如图2,圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长.圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7,求四边形各边的长.【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）圆外切四边形是

5、内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于OO相切于G,F,E,H.求证：AD+BC=AB+CD证明：TAB,AD和OO相切，AG=AH，同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.T平行四

6、边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B，D；T圆外切四边形ABCD,AB+CD=AD+BC.TAB=12，CD=8，AD+BC=12+8=20,四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40；相邻的三条边的比为5：4：7,设此三边为5x，4x，7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x-4x=8x.T圆外切四边形的周长为48cm,4x+5x+7x+8x=24x=48,x=2,此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm.【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质

7、，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键.3.如图，已知ABC内接于OO,AB是O0的直径，点F在O0上，且点C是宀的中点，过点C作O0的切线交AB的延长线于点D,交AF的延长线于点E.（1）求证：AE丄DE；(2)若/BAF=60,AF=4，求CE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）*：【解析】iv|i_d试题分析：（1）首先连接OC,由OC=OA,八，易证得OCIIAE，又由DE切OO于点C,易证得AE丄DE；(2)由AB是OO的直径，可得ABC是直角三角形，易得AEC为直角三角形，根据1AE=3求得AC的长，然后连接

8、OF,可得OAF为等边三角形，知AF=OA=AB,在厶ACB中，利用已知条件求得答案试题解析：(1)证明：连接OC，TOC=OA，ZBAC=ZOCA，ZBAC=ZEAC，.ZEAC=ZOCA，.OCIIAE，TDE切OO于点C，OC丄DE，AE丄DE；（2）解：TAB是OO的直径，.ABC是直角三角形，TZCBA=60，.ZBAC=ZEAC=30，TAEC为直角三角形，AE=3，.AC=2:，连接OF，TOF=OA，ZOAF=ZBAC+ZEAC=60，.OAF为等边三角形，af=oa=:ab，在RtAACB中，AC=2、，tanZCBA=,.BC=2，.AB=4，.AF=2考点：切线的性质4.

9、等腰RtAABC和OO如图放置，已知AB=BC=1，ZABC=90,OO的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.若厶ABC以每秒2个单位的速度向右移动，OO不动，则经过多少时间ABC的边与圆第一次相切？若两个图形同时向右移动，ABC的速度为每秒2个单位，OO的速度为每秒1个单位，则经过多少时间ABC的边与圆第一次相切？若两个图形同时向右移动，ABC的速度为每秒2个单位，OO的速度为每秒1个单位，同时ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.ABC的边与圆器案】害；(2)5-迈;峠2【解析】分析：(1)分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，ABC移至AZBZC处，A

10、C与OO切于点E,连OE并延长，交BC于F.由切线长定理易得CU的长，进而由三角形运动的速度可得答案；设运动的时间为t秒，根据题意得：CC=2t,DD=t,则CD=CD+DD-CC=4+t-2t=4-t,由第(1)的结论列式得出结果；求出相切的时间，进而得出B点移动的距离.详解：(1)假设第一次相切时，ABC移至ABC处，设O0与直线丨切于点D,连接0D,则0E丄AC,0D丄直线I,由切线长定理可知CE=CD,设CD=x,则CzE=x,TABC是等腰直角三角形，ZA=ZACB=45,ZACB=ZACB=45,.EFC是等腰直角三角形，.CF=x,ZOFD=45,OFD也是等腰直角三角形，OD=

11、DF,2x+x=1,则x=2-1,.CC=BD-BC-CD=5-1-（込-1）=5-迈,点C运动的时间为宀；2则经过秒，ABC的边与圆第一次相切；2（2）如图2,设经过t秒厶ABC的边与圆第一次相切，ABC移至ABC处，OO与BC所在直线的切点D移至D处，一。才1AC与OO切于点E,连OE并延长，父BC于F，TCC=2t,DD=t,CD=CD+DD-CC=4+t-2t=4-t,由切线长定理得CE=CD=4-t,由（1）得：4-t=2-1,解得：t=5-；2,答：经过5-迈秒厶ABC的边与圆第一次相切;(3)由(2)得CC=(2+0.5)t=2.5t,DD=t,则CD=CD+DD-CC=4+t-

12、2.5t=4-1.5t,由切线长定理得CE=CD=4-1.5t,由(1)得：4-1.5t=2-1,解得：t=点B运动的距离为212迈=20处2.AOACBD点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力5.如图1,延长OO的直径AB至点C,使得BC=2AB,点P是OO上半部分的一个动点(点P不与A、B重合)，连结OP，CPzC的最大度数为；当OO的半径为3时，OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值;若没有,请说明理由；(3)如图2,延长PO父O0于点D,连结DB,当CP=DB时，求证：CP是O0的切线.【

13、答案】(1)30；(2)有最大值为9,理由见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)当PC与OO相切时，ZOCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；由厶OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，OPC的面积最大，当PO丄OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到ZA=ZC,得到CO=OB+OB=AB,推出APBCPO,根据全等三角形的性质得到ZCPO=ZAPB,根据圆周角定理得到ZAPB=90，即可得到结论.试题解析：(1)当PC与OO相切时，ZOCP最大.如图1,所示：ZOCP=30sinZOCP=

14、OP=2=1OC42ZOCP的最大度数为30,故答案为：30；(2)有最大值，理由：OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时，OPC的面积最大,而点P在OO上半圆上运动，当PO丄OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大,、亠11也就是咼为半径长，最大值、OPC=OCOP=2x6x3=9；(3)连结AP，BP,如图2，OA=OD在厶OAP与厶OBD中，ZAOP=ZBOD，:.OAPOBD,二AP=DB,OP=OBTPC=DB，AP=PC，TPA=PC，ZA=ZC，1TBC=AB=OB，CO=OB+OB=AB，2AP=CP在厶APB和厶CPO中，十厶=ZC，:.APBCPO，.ZCPO=Z

15、APB,AB=COTAB为直径，.ZAPB=90，.ZCPO=90，PC切OO于点P,即CP是OO的切线.6.已知：如图，AB是OO的直径，PB切OO于点B，PA交OO于点C，ZAPB是平分线分别交BC，AB于点D、E,交OO于点F，ZA=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程X2-kx+2讣3=0的两根(k为常数).求证：PABD=PBAE；求证：OO的直径长为常数k；求tanZFPA的值.B【答案】见解析；(2)见解析；(3)tanZFPA=2-J3.【解析】试题分析：由PB切OO于点B,根据弦切角定理，可得上PBD=ZA,又由PF平分/APB，可证得厶PBD-PAE,然后由相似三角形

16、的对应边成比例，证得PABD=PBAE；易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程X2-kx+2.=0的两根(k为常数)，即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：OO的直径长为常数k；由/A=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程X2-kx+2.=0的两根(k为常数)，可求得AE与BD的长，继而求得tanzFPB的值，则可得tanZFPA的值.试题解析：(1)证明：如图，PB切OO于点B，ZPBD=ZA，TPF平分ZAPB，.ZAPE=ZBPD，pbd-PAE，.PB：PA=BD：AE，.PABD=PBAE；(2)证明：如图，TZBED=ZA+ZEPA，ZBDE=ZPBD+

17、ZBPD.又:ZPBD=ZA，ZEPA=ZBPD，.ZBED=ZBDE.BE=BD.T线段AE、BD的长是一兀二次方程x2-kx+2-H=0的两根(k为常数)，.AE+BD=k，.AE+BD=AE+BE=AB=k，即OO直径为常数k.(3)TPB切OO于B点，AB为直径.ZPBA=90.TZA=60.PB=PAsin60又TPABD=PBAE，T线段AE、BD的长是一兀二次方程x2-kx+2一，上0的两根(k为常数).AEBD=2._，解得：AE=2，BD=，.AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=；j，在RtAPBA中，PB=ABtan60=(2+)x=3+2.ddVo厂在RtAPBE中，

18、tan/BPF=.=.=2-.,T/FPA=/BPF,tan/FPA=2【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用7问题发现如图，RtAABC中，/C=90,AC=3,BC=4,点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的面积是否存在

19、最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由.EB;(2)CM+MN的最小值为95.【答案】CD二152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C关于BD的对称点C，过C作BC的垂线，垂足为N，求CN的长即可;连接AC，贝yS四二SV+SV,GB=EB=AB-AE=3-2=1，则点G的轨迹为以E为圆四AGCDVADCVACG心，1为半径的一段弧.过E作AC的垂线，与oE交于点G，垂足为M，由VAEMsVACB求得GM的值，再由S=S+S求解即可.四边形AGCDVACDVACG试题解析：（1）从C到AB距离最小即为过C作AB的垂线，垂足为D,CD-AB

20、AC-BCVABCTOC o 1-5 h zAC-BC3x412CD=-,AB55(2)作0关于BD的对称点C，过C作BC的垂线，垂足为N，且与BD交于M,则CM+MN的最小值为CN的长，设CC与BD交于h，则CH丄BD,VBMCsVBCD，ZCCB=ZBDC，24CC二24VCNCsVBCD，244.CN_CCBC_Tx4_96,BD525即cm+mn的最小值为9|.(3)连接AC，则S四agcd二Svadc+SVacgGB=EB=ABAE=32=1，.点G的轨迹为以E为圆心，1为半径的一段弧.过E作AC的垂线，与oE交于点G,垂足为M,VAEMsVACB，EM_AEACEM83.GM二EM

21、-EG二5-1二m，S二S+S四边形AGCDVACDVACG二1X3X4+1X5X3,22515【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题8如图1,已知AB是O0的直径，AC是OO的弦，过0点作OF丄AB交O0于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接CG判断CG与O0的位置关系，并说明理由；求证：2OB2=BCBF；GEBBOIU1图如图2,当/DCE=2ZF，CE=3,DG=2.5时，求DE的长.【答案】（1）CG与O0相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE

22、=2【解析】【分析】（1）连接CE,由AB是直径知厶ECF是直角三角形，结合G为EF中点知ZAEO=AGEC=ZGCE,再由OA=OC知/OCA=ZOAC,根据OF丄AB可得/OCA+ZGCE=90,即卩OC丄GC,据此即可得证;BCAB(2)证厶ABC-FBO得二，结合AB=2BO即可得;BOBF3)证ECD-EGC得ECEDEGEC，根据CE=3,DG=2.5知DE+2.5DE,解之可得.【详解】解：（1）CG与OO相切，理由如下:如图1,连接CE,TAB是OO的直径，ZACB=ZACF=90,T点G是EF的中点，.GF=GE=GC,.ZAEO=ZGEC=ZGCE,TOA=OC,.ZOCA

23、=ZOAC,TOFAB,.ZOAC+ZAEO=90,.ZOCA+ZGCE=90,即OC丄GC,.CG与OO相切；(2)TZAOE=ZFCE=90,ZAEO=ZFEC,ZOAE=ZF,又TZB=ZB,.ABC-FBO,BCAB.=，即BOAB=BCBF,BOBFTAB=2BO,.2OB2=BCBF；(3)由(1)知GC=GE=GF,.ZF=ZGCF,.ZEGC=2ZF,又TZDCE=2ZF,.ZEGC=ZDCE,TZDEC=ZCEG,.ECD-EGC,.EC=EDEEC,TCE=3,DG=2.5,.3=DEDE+2.5丁,整理，得：DE2+2.5DE-9=0,解得：DE=2或DE=-4.5(舍)

24、，故DE=2【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A,速度为1cm/s,若AB10cm，点0到AC的距离为4cm.1)求弦AC的长；问经过多长时间后，APC是等腰三角形.14【答案】(1)AC=6；(2)t=4或5或飞s时，APC是等腰三角形;【解析】【分析】(1)过0作OD丄AC于D,根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；(2)分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.详解】(1)如图1，过0作OD丄AC于D，易

25、知AO=5，OD=4，从而AD=一工-ji=3，AC=2AD=6；(2)设经过t秒厶APC是等腰三角形，则AP=10-t如图2,若AC=PC，过点C作CH丄AB于H,TZA=ZA,ZAHC=ZODA=90,AHC-ADO,1n-+.AC：AH=OA：AD,即卩AC：=5：3,解得t=s,经过.s后厶APC是等腰三角形；5如图3,若AP=AC,由PB=x,AB=10，得到AP=10-x,又:AC=6,则10-t=6，解得t=4s,.经过4s后厶APC是等腰三角形;如图4,若AP=CP,P与O重合,则AP=BP=5，.经过5s后厶APC是等腰三角形.14综上可知当t=4或5或一s时，APC是等腰三

26、角形.【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况AB是00直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD，交PB的延长线于D，已知AB=5,BC:CA=4:3.求证：ACCD=PCBC；当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；当点P运动到什么位置时，APCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.答案】(1)证明见解析；2)(3)当PC为OO直径时，PCD的最大面积CD=虫;350：T解析】分析】ACBC(1)由圆周角定理可得/PCD=ZACB=90,

27、可证ABC-PCD，可得=而,即可得证由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由ACCD=PCBC可求CD的值；14当点P在ab上运动时，SPCxCD，由(1)可得：CD=PC，可得TOC o 1-5 h zVpcd23142SPCx了PC=7PC2，当PC最大时，PCD的面积最大，而PC为直径时最vpcd233大，故可求解【详解】/AB为直径,证明：(1).ZACB=90/PC丄CD,.ZPCD=90.ZPCD=ZACB,且ZCAB=ZCPB.ABC-PCD.AC_BCCP_CDACCD=PCBC(2)TAB=5，BC：CA=4：3，

28、ZACB=90BC=4,AC=3,当点P运动到Ab的中点时，过点B作BE丄PC于点E点p是Ab的中点，.乙PCB=45，且BC=4.CE=BE=BC=1412ZCAB=ACPBBC4BEtanZCAB=tanZCAB=AC3PE.PE=匹2.PC=PE+CE=兀2+2运=7%222TACCD=PCBC3xCD=九2x42.cd=1处231(3)当点P在Ab上运动时，PCD=xPCxCD,4由(1)可得：CD=3PC=-XPCx4PC=2PC2,233当PC最大时，PCD的面积最大,250当PC为。直径时，PCD的最大面积=3心盲【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知

29、识，锐角三角函数，求出PC的长是本题的关键如图，OO的直径AB=8,C为圆周上一点，AC=4,过点C作O0的切线/,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与OO交于点E.求/AEC的度数；求证：四边形OBEC是菱形.【答案】(1)30；(2)详见解析.【解析】【分析】易得AOC是等边三角形，则/AOC=60,根据圆周角定理得到ZAEC=30；根据切线的性质得到OC丄/,则有OCIIBD,再根据直径所对的圆周角为直角得到ZAEB=90,则/EAB=30,可证得ABIICE,得到四边形OBEC为平行四边形，再由0B=0C,即可判断四边形OBEC是菱形.【详解】解：在AOC中，AC=4,AO=OC=4

30、,AOC是等边三角形，ZAOC=60,ZAEC=30；证明：OC丄/,BD丄1.OCIBD.ZABD=ZAOC=60.AB为OO的直径，ZAEB=90,AEB为直角三角形,ZEAB=30.ZEAB=ZAEC.CEIIOB,又COIIEB四边形OBEC为平行四边形.又OB=OC=4.四边形OBEC是菱形.【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.312.如图，在ABC中，AC=BC=10,cosC=5,点P是BC边上一动点(不与点A，C重合)，以PA长为半径的eP与边AB的另一个交点为D，过点D作DE丄CB于点E.当eP与边BC相切时

31、，求eP的半径；联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围；在(2)的条件下，当以PE长为直径的eQ与eP相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.40【答案】(1)0；y=5Z2-航+SO(0 x/5如下图所示,PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA邙,12tanB=2，贝9cosB=5,sinB=5,12x5=4-5xEB=BDcosB=(4j52*5)x)5PDIIBE,EBBFPDPF?即：整理得十逬芋(0 x10)；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,5两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点

32、为D,GD为相交所得的公共弦，点Q时弧GD的中点，DG丄EP,TAG是圆P的直径，ZGDA=90,EPIIBD,由（2）知，PDIIBC,.四边形PDBE为平行四边形,.AG=EP=BD,AB=DB+AD=AG+AD=4帯：5,设圆的半径为，在厶ADG中,2rAD=2rcosB=，4rDG=厉AG=2r,DG=2r；205，解得：2r=-i,则：=10-25,相交所得的公共弦的长为10-2.：5.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中（3）,要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.13.如图，AB是半圆O0的直径，点C是半

33、圆O0上的点，连接AC,BC,点E是AC的中点，点F是射线OE上一点.（1）如图1,连接FA,FC,若ZAFC=2ZBAC,求证：FA丄AB；（2）如图2,过点C作CD丄AB于点D,点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA,FG,FG与AC相交于点P,且AF=FG.试猜想ZAFG和ZB的数量关系，并证明；连接OG,若OE=BD,ZGOE=90,OO的半径为2,求EP的长.cfE0團1Gr【答案】(1)见解析；(2)结论：ZGFA=2乙ABC.理由见解析；PE=-.6【解析】【分析】证明ZOFA=ZBAC,由ZEAO+ZEOA=90,推出ZOFA+ZAOE=90,推出ZFAO=90即可解决

34、问题结论：ZGFA=2ZABC.连接FC.由FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.因为AgAG，推出ZGFA=2ZACG,再证明ZACG=ZABC.图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.想办法证明ZGFA=120，求出EF,OF,OG即可解决问题【详解】(1)证明：连接OC.TOA=OC,EC=EA,OF丄AC,FC=FA,.ZOFA=ZOFC,TZCFA=2ZBAC,.ZOFA=ZBAC,TZOEA=90,ZEAO+ZEOA=90,ZOFA+ZAOE=90,ZFAO=90,.AFAB.(2)解：结论：ZGFA=2ZABC.理由：连接FCOF垂直平分线段AC,FG=FA,FG=FA,

35、.FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.AG二AG，ZGFA=2乙ACG,AB是OO的直径，ZACB=90,CD丄AB,.ZABC+ZBCA=90,ZBCD+ZACD=90,.ZABC=ZACG,ZGFA=2ZABC.如图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.BD=OE,ZCDB=ZAEO=90,ZB=ZAOE,.CDB竺AEO(AAS),.CD=AE,EC=EA,.AC=2CD.ZBAC=30,ZABC=60,.ZGFA=120,OA=OB=2,OE=1,AE=，BA=4,BD=OD=1,ZGOE=ZAEO=90,OGIIAC,DG讶，OG二羊AG=GDG2+AD2221,TFG=FA,FH丄AG,ah=hg121,/AFH=60。,3.af=辽,sin603在RtAAEF中，EF=AF2一AE2134OF=OE+EF=3TPEIIOG,PE_EFO_OF1PE=J2爲4，3【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14.如图，AB是eO的直径，DF切eO于点d,BF丄DF于F，过点a作AC/BF交BD的延长线于点C.求证：ZABC=ZC；设CA的延长线交eO于E，BF交eO于G，若DG的度数