无穷级数知识点汇总

1、n=1无穷级数知识点汇总一、数项级数（一）数项级数的基本性质.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数E，总存在N使得对于任何两个N大于的正整数m和n，总有S-S。，使ucv（n=1,2,），那么nn（i）当级数v收敛时，nn=1级数u亦收敛;nn=1（ii）当级数u发散时nn=1级数9v亦发散.nn=1推论：设两个正项级数9n=1u和9vnnn=1uv且自某项以后有一0，n9Vn那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若l=0，则当级数v收敛时，级数u亦收敛；若l=9，则当级数u发nnnn=1n=1n=

2、1散时，级数9vn亦发散.常用度量：等比级数：qn，当q1时发散;n=0p-级数：-1，当p1时收敛，当p1时收敛，当p1时绝对收敛，当0p1时条件收敛.npn=1TOC o 1-5 h z（4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数u，当面L=r1时级数u发散；当r=1或r=1时需进一步判断.nUnn=1nf8nn=1柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数u，设r=lim丁，那么r1时发散，而当r=1时需进一步判断.（6）柯西积分判别法：设u为正项级数,nn=1非负的连续函数f（x）在区间。,+8）上单调下降，且自某项以后成立着关系：f（u）=un，则级数u与积分J+8f（x

3、）dx同敛散.nn=12.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然;对于级数u，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数V，其中nnn=1其中n=1；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数n=1那么若级数u绝对收敛，则级数v和攻都收敛；若级数unnnnn=1n=1n=1n=1条件收敛，则级数v和攻都发散.nnn=1n=1绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同若级数u和v都绝对收敛，它们的和分别为U和V，则它们各项之积按照任何方nnn=1n=1它们的柯西乘积式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为U

4、V.特别地，在上述条件下，(u11nn=1n=1也绝对收敛，且和也为UV.，这里c=uv+uv+uv+unn=1TOC o 1-5 h zn1n2n-1n-12（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数（-1）n-1u满足limu=0，nnnn-8n=1且X单调减少（即uu），则（-1）n-1u收敛，其和不超过第一项，且余和的符号nnn+1nn=1与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值.二、函数项级数（一）幕级数1.幕级数的收敛半径、收敛区间和收敛域TOC o 1-5 h z（1）柯西-阿达马定理：幕级数工a（x-x）n在x-xRn000n=0内发散，其中R为幕级数的

5、收敛半径.（2）阿贝尔第一定理:若幕级数a（x-x）n在x=己处收敛，则它必在|x-xfc-x也发散.n000n=0推论1：若幕级数axn在x=5&w0）处收敛，则它必在x工时发散.nn=0推论2：若幕级数a（x-x）n在x=5处条件收敛，则其收敛半径R=&-x，若又有n00n=0a0，则可以确定此幕级数的收敛域.na（x）（3）收敛域的求法：令lim1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.n-8a（x）n2.幕级数的运算性质(1)幕级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有:Xn，收敛域仍取交集.八0nJn=0n=0i=0(2)幕级数的和函数S(x)在收敛域内

6、处处连续，且若幕级数ka(X-X)n在x=nn=0-R,x+R)内连续；又若幕级数a(x-X)nn=0在x=x+R处收0敛，则S(x)在(x-R,x+R内连续.00(3)幕级数的和函数S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分收敛半径不变.3.函数的幕级数展开以及幕级数的求和(1)常用的幕级数展开:ex=1+x+X2HFXn+2!n!EXn,Xe(-8,+8).n!n=01,、从而！乙(一X)1+Xn=01一、一=Z-/(-1)nX2n.1+X2n=0sinx=x-X3+X5-3!5!X2n+1F(-1)n(2n+1)!+二(-1)nn=0X2n+1(2n+1)!X(一8,+8).1.1X2nc

7、osX=1-X2+X4F(-1)n2!4!(2n)!+.=n=0X2n(-1)n!(2n)!Xe(-8,+8).n=0=1+X+X2+Xn+=Xn!Xe(-1,1).1-X、11/八1、Xn-八ln(1+x)=x_x2+_x3+(1)nxn+1+,=(1)n-1,xe(1,1.23n+1nn=1(1+x)a=1+ax+a(a-1)a(a-1)(a-n+1)X2HF2!n!Xn+，X(1,1).1x3(2n-1)!x2n+1arcsinx=x+F23(2n)!2n+1+.=(2n)!X2n+1,4n(n!)2(2n+1)n=0 xe-1,1._1/八1arctanx=x-x3hf(-1)nX2n

8、+1+工(-1)n1X2n+1!Xe-1,1.n=0(2)常用的求和经验规律：级数符号里的部分X可以提到级数外;系数中常数的幂中若含有n，可以与X的幂合并，如将cn和xn合并为(cx)n；对axn求导可消去a分母因式里的n，对axn积分可消去a分子因式里的n+1；nnnnn=0n=0系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n+1)!等可考虑正余弦函数的展开；有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解.(二)傅里叶级数.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立)若f(x)以21为周期，且在l,/上满足：连续或只有有限个第一类间断点

9、；只有有限个极值点；则f(x)诱导出的傅里叶级数在-1,l上处处收敛.傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：f(x)，x为连续点;S(x)1g21fm，x为间断点;2f(T+0)+f(-0)，x为边界点I2.以2(为周期的函数的傅里叶展开展开:f(x)S(x)=n.nnx+bsinn()anxo+acos2In(n=1(1)在(,(上展开:ao=1!f(x)dx1f(、a=-Jf(x)cosn1-(nnxdx;b=1J1f(x)sinndxn(-(2)正弦级数与余弦级数：4.一些在展开时常用的积分：（1）J兀0(-1)n+1+1f,八sinnxdx=;Jcosnxdx=0;n0J2071工7J一

10、n冗sinnxdx;J2cosnxdxsin；n0n2（3）L.,(-1)n+1兀兀,(-1)n一1f,2兀(-1)nxsinnxdx=;Jxcosnxdx=；Jx2cosnxdx=0n0n20n2（4）J1eaxsinnxdx=eax(asinnx-ncosnx)+C；a2+n21eaxcosnxdx-eax(nsinnx+acosnx)+C；a2+n2（5）11sinaxsinnxdx=sin(a+n)x+sin(a-n)x+C；2(a+n)2(a-n)奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:a-00a-0；nb-2Jlf(x)sinn冗x,dxnlo1a=-J1f(x)dx01oa-2J1f(x)cosn冗x,dx；n101b-0