北京市2010年中考数学压轴题另解及几点启示

1、第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 5 页北京市2010年中考数学压轴题另解读北京市2010年中考数学卷，偶然见到该试卷的压轴题改变了往常以初三的二次函数和圆等知识内容为重点的做法，从而设计了一道需要考生能将初二学过的三角形和四边形及初三所学的课题学习的学习方法等内容融为一起，并先进行阅读理解，随后再进行探索求解的研究性学习的考题，颇有新意.笔者亲手做过以后，发现命题者的用心是何等的良苦.思索了一下，得出了该题的另一种解法，几番比较，稍有感言，现奉献出来，欢迎大家指教2010年北京市中考数学压轴题【原题】第25题:问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD

2、，BD=BA 探究DBC与ABC度数的比值 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明 (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图 观察图形，AB与AC的数量关系为_； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为_；可得到DBC与ABC度数的比值为_； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明【标准答案】（1）相等 (2) 猜想：与度数的比值与（1）中的结论相同.证明:如图2，作， 过点作交于点，连结. , 四边形是等腰梯形. , ,，.,.,.,.,.与度数的比值为.【

3、另解】延长到点，使得连结则，在内作，延长交于.如图3在上，取一点，使得，连结、于是，四边形为 ,，,，为等边三角形,.在中,.与度数的比值为.说明:此解法包含了的情形.【几点启示】一、充分利用对称变换的数学思想方法是解好数学题常用的策略该题的第（2）问可以说是一个比较难的问题，由于已知的条件均在一个三角形中比较集中，不少同学拿到手一时觉得无法下手但是如果我们能从具体的题目跳出来，仅仅从已知线段相等到要推出角的倍数关系，显然，它们之间不不无联系由于等腰三角形的出现，抓住等腰三角形固有的轴对称性解题，将已知条件分散是解决本题的关键这一点无论是对于标准答案，还是后来的另解，我们应该能从中看出来不能因

4、为其突显轴对称性的对称轴没有作出来，而让我们觉得束手无策充分运用对称思想解题，是学好数学不可忽视的重要策略标准答案的对称轴为过等腰三角形的顶点且垂直于的直线，而另解的对称轴则为过等腰三角形的顶点且垂直于的直线对于证题过程中实现相等线段和角的位置变换，标准答案是借助于等腰梯形、等边三角形和全等三角形来实现的，而另解则是通过平行四边形、等边三角形和全等三角形来实现的二、特殊与一般的辩证关系的运用有助于数学的学习反复进行从特殊到一般或由一般到特殊的尝试，不仅有利于勾通相近知识点的联系，还会让我们产生对学习数学会不断促进大脑思维敏捷的认同，领悟出如何学习数学的道道来北京市的这道压轴题通过先总体给出问题

5、，然后分情况展示在先进行阅读理解，从特殊情形入手，让考生在不断尝试中一步一步地得出比较浅显的结论，从而达到不断地加以引领的作用的基础上；再过渡到一般性的问题，并做出放手让考生独立完成的举措，充分考查考生阅读理解、探究性学习和综合运用所知识的能力究竟如何？题风很好！三、像教孩子学走路那样，正确对待数学的命题工作可以猜测，北京市的考生中能够做出最后一问的同学不会有很多尽管有前面的添辅，猛一下子，要他们在较短的时间内，就能实现题中所需要的环境条件，可以说这是比较困难的，是要摔根头的当然，为了尽量地减小梯度，实现从已知到未知的转变，我们并非没有办法不妨尝试一下：在原题中的（1）与（2）之间增加一问：若是将直角三角形所在的整体图形即正方形作出来，如图4你能指出的特征来吗？由于在正方形中，又，故 是等边三角形增加这样的一步后，不仅让学生能够看到等腰三角形的轴对称性，还能够让他们对图形的局部与整体的关系形成较好的印象当然对后面的一问也会起到提示的作用四、学会求不是，有利于加深对已有知识和方法的理解和掌握北京市的这道压轴题，从问题（1）到问题（2）要求考生在条件发生变化后，要能跳出特殊回到一般，看看是不是能够得到应有的结论，探究的味道较浓受该题的影响，笔者进行了适当的追踪，得出了较为理想的结果回过头来看一看，