高中数学必修二 8.5.1　直线与直线平行

1、8.5.1直线与直线平行一二 一、基本事实41.思考如图,长方体ABCD-ABCD中,BBAA,DDAA,BB与DD平行吗?提示BB与DD平行.一二2.填空 一二3.做一做已知棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与AC的位置关系是.答案:平行解析:如图所示,M,N分别为CD,AD的中点,MN AC,由正方体的性质可得ACAC,即MN与AC平行.一二二、等角定理1.思考(1)如图,在四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为菱形,ADC与ADC,ADC与ABC的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?提示ADC=ADC,ADC+ABC=180.(2)平面上

2、,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”,在空间中,该结论是否仍然成立?提示仍然成立. (3)空间中两个角相等或互补,这两个角的两边是否对应平行? 提示不一定.一二2.填空如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.3.做一做(1)已知BAC=30,ABAB,ACAC,则BAC=()A.30B.150C.30或150D.大小无法确定答案:C解析:当BAC与BAC开口方向相同时,BAC=30;当BAC与BAC开口方向相反时,BAC=150.一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.两条直线和第三条直线成等

3、角,则这两条直线平行.()如果两个角的对应边互相平行,且方向都相反,则两个角互补.()答案:探究一探究二随堂演练平行线传递性的应用例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:空间四边形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中点G,证明四边形GEDD1,FB1GD1都是平行四边形,从而得到四边形B1EDF是平行四边形,再证明B1E=B1F即可.探究一探究二随堂演练证明:取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GEC1CD1D,GE=C1C=D1D,四边形GEDD1是平行四边形,GD1ED,GD1=ED.FD1B1G,FD1=B1G,四边形FB1GD1是平行四边形

4、,B1FGD1,B1F=GD1,B1FED,B1F=ED,四边形B1EDF是平行四边形,反思感悟 判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的作用.探究一探究二随堂演练变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M1,N1分别是A1D1和D1C1的中点,则四边形M1N1CA是.(填“平行四边形”或“梯形”)答案:梯形解析:如图,连接A1C1.M1,N1分别是A1D1,D1C1的中点,M1N1A1C1,且M1N1= A1C1.由正方体的性质可知:A1C1AC,且A1C1=AC,M1N1AC,且M1N1=

5、 AC,四边形M1N1CA是梯形.探究一探究二随堂演练等角定理的应用例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;(2)求证:B1M1C1=BMC.分析(1)通过基本事实4证明MM1BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1BM,同理证得C1M1CM,再由等角定理证得BMC=B1M1C1.也可以通过证明BCMB1C1M1证出BMC=B1M1C1.探究一探究二随堂演练证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,MM1AA1.又AA1BB1,MM1BB1,且MM1=BB1,四边形

6、BB1M1M为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1CM.由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐角.BMC=B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,B1M1=BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,C1M1=CM.又B1C1=BC,B1C1M1BCM,B1M1C1=BMC.探究一探究二随堂演练反思感悟 证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应

7、平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.探究一探究二随堂演练变式训练2如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是ABC,ABD,ACD和BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EFBC,FGCD.求证:EFGBCD.证明:在ABC中,EFBC,EFG与BCD的两条边分别对应平行,且方向相同,EFG=BCD.同理FGE=CDB.EFGBCD.探究一探究二随堂演练1.如果OAO1A1,OBO1B1,那么AOB与A1O1B1 ()A.相等B.互补C.相等或互补D.以上均不对答案:C解析:由题意,两角对应边平

8、行,如果方向均相同或相反,则两角相等,如果一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,则两角互补.探究一探究二随堂演练2.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是 ()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面答案:A解析:E,F分别是SN和SP的中点,EFPN.同理可证HGPN,EFHG.探究一探究二随堂演练3.若OAOA,OBOB,且AOB=130,则AOB为()A.130B.50C.130或50D.不能确定答案:C解析:根据定理,AOB与AOB相等或互补,即AOB=130或AOB=50.探究一探究二随堂演练4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC