实验1 斐波那契数列

1、实验1斐波那契数列一、实验内容I寸 1讨论调和级数的讨论调和级数的n变化规律。画出部分和数列s 变化的折线图，观察变化规律；n引入数列:Hn = S2n - Sn，作图观察其变化，猜测是否有极限；引入数列：Gn = S2n，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合;调和级数的部分和数列的变化规律是什么？二、实验过程画出部分和数列S 变化的折线图，观察变化规律； n代码如下：function plotfibe(n)Sn=1,3/2;for i=3:nSn=Sn,Sn(i-1)+1/i;endplot(Sn)这个函数的调用为：plot(10),plot(30),plot(80)。如下图：规律：由图可知，

2、部分和数列Sn称单调递增，且增长速度先快后慢。引入数列：丑“ =S2n - S“，作图观察其变化，猜测是否有极限;代码如下：function plotfile(n)Hn=1/2,7/12; for i=3:nHn=Hn,Hn(i-1)+1/(2*i*(2*i-1);endplot(Hn)函数调用为：plot(20),plot(50),plot(80)。如下图:规律：如图，可知Gn 呈单调递增趋势，最后趋向于稳定。故可猜测此数列有极限。引入数列：Gn S，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合; 代码如下： function Gn = Gn(n) Gn=1.5 for j=2:nSn=1for i=

3、2:2八j Sn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endplot(Gn)函数调用为：plot(10),plot(20),plot(30)。如下图： IIiiiiii1K 456789100246810 T2 14161820观察发现，Gn的图像近似于一条直线，即一阶多项式，利用MATLAB拟合代码如下：function fitGn（n）x=1:n;y=Gn（n）;polyfit（x,y,1）这个函数的调用方式为：fitGn（30），运行后返回结果是:0.6903和0.6369，即：Gn= 0.6903n+0.6369下面观察拟合数据与原始数据的吻合程度。经过拟合，得到了 Gn数列近似的通

4、项公式，为了观察其吻合程度，我们将Gn数列的 拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。具体的实现流程为：（1）定义数组fn1,Gn；（2）显示数组fn1,Gn。具体的代码如下：Function Gn （n）Gn=1.5for j=2:nSn=1for i=2:2八jSn=Sn+1/i;endGn=Gn,Sn;endfn1=;for i=1:nfn1=fn1,0.6903*i+0.6369;endx=1:n;plot(x,fn1,x,Gn,r*)调用方式为：Gn2 (10), Gn2 (20), Gn2 (30)，如下图nLE me sLE PUT sn201l.05101520n253

5、0由图可知，拟合数据数据与原始数据的拟合程度比较高，近似通项公式能很好地表示Gn。三、实验总结：观察部分和Sn数列的曲线图，可以发现，Sn呈单调递增，且增长速度先快后慢；当 n比较大的时候，Sn的图形近似于一个对数函数的曲线。观察数列Hn的图像发现，Hn也呈单调递增，并且增长速度越来越慢；与Sn比较， Hn的增长速度衰减得更加厉害，但同样近似于一个对数函数；在n比较大的部分，其曲线 近乎与X轴平行，增长十分缓慢，可以猜测，Hn是具有极限的一个数列，以下证明：不妨将 H = S2 - S，写作 Hn=an=1/(n+1)+1/ (n+2) +1/2n另有 In=bn=1/(n+1)+ 1/(n+1)+ +1/(n+1)= n/(n+1)，当 n 趋向于无穷时，In=1 故 In收敛;又因为an=bn，故Hn收敛，即Hn有极限。通过观察Gn的图像可发现，Gn大致上呈现线性增长，拟合得到其