数学建模(航空公司的预定票策略)

1、PAGE 数学建模模竞赛承 诺诺 书我们完全全明白，在竞赛赛开始后后参赛队队员不能能以任何何方式（包括电电话、电电子邮件件、网上上咨询等等）与队队外的任任何人（包括指指导教师师）研究究、讨论论与赛题题有关的的问题。我们知道道，抄袭袭别人的的成果是是违反竞竞赛规则则的, 如果引引用别人人的成果果或其他他公开的的资料（包括网网上查到到的资料料），必必须按照照规定的的参考文文献的表表述方式式在正文文引用处处和参考考文献中中明确列列出。我们郑重重承诺，严格遵遵守竞赛赛规则，以保证证竞赛的的公正、公平性性。如有有违反竞竞赛规则则的行为为，我们们将受到到严肃处处理。我们参赛赛选择的的题号是是（从AA/B中

2、中选择一一项填写写）： BB 我们的的队号为为： 111 参赛队员员：1. 电子子09003 徐路源源 2. 数学009011 王璐璐璐 3. 数学009011 张乐乐孝 指导教师师或指导教教师组负负责人： 数模组组 日日期： 220100 年 8 月 100 日评阅编号号（由评评阅老师师评阅前前进行编编号）：.数学建模模竞赛编 号 专 用用 页评阅编号号：评阅记录录：评阅人评分备注PAGE 24预测机票票价格和和预定数量量限额最最优问题题摘要本文所要要讨论的的问题可可以归结结为一个个趋势拟拟合和基基于二项项分布求求最优决决策的问问题。建建立了两两个模型型：分别别用来预预测机票票的未来来价格和

3、和求机票的的预定限限额。首先我们们根据所所给的220055年100月220100年3月月期间，每月经经济舱机机票平均均价格(单位:元)数数据，通通过Maatlaab软件件用函数数去拟合合，所得得函数即即为机票票预订价价格的数数学模型型。可表表示为：f(xx)=aa1*eexp(-(x-bb1)/c1)2)+a22*exxp(-(xx-b22)/cc2)2)+a3*expp(-(x-b3)/c33)22)+aa4*eexp(-(x-bb4)/c4)2)+a5*expp(-(x-b5)/c55)22) + a66*exxp(-(xx-b66)/cc6)2) 但在预预测中发发现，由由模型所所得参考考

4、价格不不合实际际。单方方面拟合合出的模模型并不不具有实实际价值值。之后后我们采用用趋势外外推法中中最小二二乘法的的周期波波动模型型来解题题。通过过与实际际价格的的比较，发现其其误差较较小且置信度度较高。所以我我们得到到的机票票预定价价格的数数学模型型即为 价格随时时间呈周周期性变变化，每每过一个个周期价价格略有有上升。这与人人民经济济生活水水平提高高分不开开的。最最后，我我们搜集集了一些些数据来来佐证我我们模型型的价值值。根据实际际情况，制定合合理的预预定策略略需从经经济利益益最大化化和社会会声誉最最好两方方面来考考虑。社社会声誉誉可以用用定了票票来登机机因飞机机满员而而不能起起飞的乘乘客不超

5、超过某一一给定值值来衡量量。则这这个问题题可化为为经济利利益最大大化为单单目标来来求解。我们假假设每位位乘客不不按时前前来登机机的概率率为p，是否前前来登机机是相互互独立的的，则不不按时前前来登机机的乘客客数服从从二项分分布。又又因为订订票需付付一定量量的定金金，且在在飞机起起飞前448小时时内取消消预订会会没收全全部订金金。对此此，我们们分情况况讨论。由概率率分布知知识可得得利润SS关于预预定量限限额M的的函数为为 由利润最最大化，利用MMatlaab软件件求出MM的最优优解，通通过检验验和灵敏敏度分析析，由模模型得出出的机票票预订限限额置信信度较高高。查阅阅资料得得，此限限额较符符合实际际

6、情况。最后，我们根根据我们们建立的的模型对对其进行行优化。由实际际可能出出现的情情况增设设某类旅旅客（学学生、旅旅游者）的减价价票，规规定迟到到则机票票作废。在此基基础上再再建立一一个模型型。分别别求此时时飞机的的参考价价格和预预定限额额。关键字：曲线拟拟合、趋趋势外推推、周期期波动、概率分分布、利利润最大大一、问题题重述航空公司司对机票票一般采采取预定定策略。客户可可以通过过电话或或互联网网预定，这种预预定具有有很大的的不确定定性，客客户很可可能由于于各种原原因取消消预定。航空公公司为了了争取最最大利润润，一方方面要争争取客户户，另一一方面要要降低因因客户取取消预定定遭受的的损失。为此，航空

7、公公司采用用一些措措施。首首先，要要求客户户提供信信用卡号号，预付付一定数数量的定定金。如如果客户户在飞机机起飞前前48小小时内取取消预定定，定金金将如数数退还，否则定定金将被被没收。其次，航空公公司采用用变动价价格，根根据市场场需求情情况调整整机票价格格，一般般来说旺旺季机票票价格比比较高，淡季价价格略低低。（1）建建立机票票预定价价格的数数学模型型，并对对以下实实例作分分析。表表1给出出了某某某航空公公司某条条航线220055年100月220100年3月月期间，每月经经济舱机机票平均均价格(单位:元)，用模型型说明价价格变动动的规律律，并据据此估计计未来一一年内的的经济舱舱机票的的参考价价

8、格。收收集更多多的数据据来佐证证模型的的价值（要求注注明出处处）。（2）在在旺季，航空公公司往往往可以预预定出超超过实际际座位数数的机票数, 以减减低客户户取消预预定时航航空公司司的损失失。但这这样做可可能会带带来新的的风险, 万一一届时有有超出座座位数的的客户出出现, 航空公公司要通通过升级级机票档次次或赔款款来解决决纠纷, 为此此航空公公司还会会承担信信誉风险险. 某某条航线线就一中中机型，有头等舱舱20座，经济舱舱3000座，每每天一班班航班。为该航航线制定定合理的的预定策策略, 并论证证理由。表某某航空公公司某条条航线220055年100月220100年3月月经济舱舱月平均均价格(单位

9、:元)时间价格时间价格时间价格20055.10065620077.04480220088.1001068820055.11152620077.05587820088.11199620055.12250220077.06679420088.12280420066.01148220077.07792620099.01179420066.02249820077.0881018820099.02283220066.03363220077.09994820099.03390220066.04468820077.1001016620099.04497220066.05572020077.111916200

10、99.0551014420066.06664020077.12282420099.06691620066.07768820088.01173820099.07798620066.08876820088.02280620099.0881124420066.09973620088.03387220099.09994820066.10080220088.04489420099.1001056620066.11172620088.05596620099.11187220066.12267220088.06687820099.12279620077.01173220088.0771028820100.0

11、1188420077.02266220088.0881100020100.02280820077.03378020088.09997820100.033856 二、背景景航空公司司订座的的特点是是：旅客客可以在在飞机起起飞前一一百多天天里向购购票处或或航空公公司订票票，由于离离飞机起起飞时间间较长，以及旅旅客行为为的不确确定性，往往航航空公司司会售出出超过实实际座位位数的票票数，即即超售。在订座座决策中中，航空空公司面面临2种种风险：空座风风险和超超售风险险，以航航班客座座容量为为临界点点，如果果超售的的结果（即实际际到达机机场的已已预定座座位的旅旅客人数数）少于于航班容容量，会会造成座座位剩

12、余余，这就就是空座座风险；如果决决策结果果多于航航班容量量，造成成有些旅旅客被拒拒绝登机机，从而而带来超超售风险险，合理理的超售售可以减减少空位位损失，但要确确定合理理的超售售数额，却是十十分困难难的。超售是航航空公司司收益管管理的一一项重要要内容，这是解解决所谓谓的Noo Shhow问问题，提提高航空空公司效效益的重重要技术术手段，同时也也有许多多理论问问题甚至至法律问问题需要要研究。在实际际航运中中，航空空公司发发现经常常发生已已购票的的乘客没没有乘机机（叫做做No Shoow），使得一一些座位位空着虚虚飞，而而一些想想旅行的的和一些些有急事事临时到到达机场场（ 叫叫做Coo Shhow）

13、的旅客客却因购购不到票票而不能能成行，这不仅仅浪费了了航空公公司的生生产资源源，同时时也浪费费了社会会资源。根据对对历史销销售和离离港数据据进行分分析，可可以预测测旅客的的No Shoow率和和Co Shoow率，然后确确定超售售率进行行机票销销售。这这样做不不但可以以充分利利用热线线航班的的座位，提高航航空公司司的收益益，同时时也使得得其他想想乘机旅旅行人员员能够成成行，可可以说是是各方都都受益的的好事。德国汉汉莎航空空公司在在超售方方面所做做的工作作非常出出色，每每年能为为公司多多创造55%的收收益。因因此对超超售的研研究一直直为航空空公司所所重视。但超售售预测不不可能十十分准确确，因此此

14、可能发发生所谓谓的DBB（Deenieed BBoarrdinng）问问题，即即实Noo Shhow率率低于CCo SShoww率时，便发生生了已购购票并来来乘机的的旅客上上不了飞飞机的问问题。这这常常引引起旅客客的不满满甚至航航空公司司与旅客客的冲突突，航空空公司采采取补偿偿DB旅旅客以化化解矛盾盾的做法法，但这这样的补补偿常常常是机票票价格的的两倍以以上。发发生DBB，航空空公司的的成本迅迅速上升升，这也也是航空空公司不不愿意看看到的。因此超超售是一一把双刃刃剑，如如何解决决好Noo Shhow率率和DBB这一对对矛盾，一直是是航空公公司和学学术界都都十分关关心的问问题。目前研究究的较多多

15、的是机机票超售售模型是是静态的的。对于于一个航航班从开开始销售售之日到到飞机起起飞时，超售的的数量保保持不变变。这样样将完全全忽略机机票实际际销售情情况。超超售实际际上完全全溶于机机票销售售过程中中。在机机票销售售过程中中，航空空公司的的订座系系统一面面接受旅旅客的订订票，一一面接受受旅客的的取消订订票或是是改签其其他航班班。显然然机票的的预定速速度应大大大超过过取消速速率，在在飞机起起飞前某某时刻将将达到或或接近飞飞机的容容量，此此时航空空公司就就将面临临超售问问题。一一般来说说，航空空公司可可以控制制订票的的流量，当已定定机票超超过理想想的数量量时，就就不再接接受订票票的请求求。但是是由于

16、订订票需求求的不确确定性，目前被被拒绝的的需求未未来不再再出现，而未来来的取消消还继续续发生，则到飞飞机起飞飞时将产产生空座座，造成成航班收收益下降降。因此此机票的的超售是是一个动动态的决决策过程程。这一一过程依依赖于当当前的销销售状态态，未来来的需求求分布，机票取取消分布布和起飞飞时的NNO-SSHOWW率、三、符号号说明r飞行费用用（为常常数）飞机头等等舱容量量（为常常数）飞机经济济舱容量量（为常常数）头等舱机机票价格格（为常常数）经济舱机机票价格格（为常常数）头等舱预预定票数数量的限限额（为为常数）经济舱预预定票数数量的限限额（为为常数）每位乘客客没来登登机且未未在488小时之之前取消消

17、订票的的概率头等舱中中定了票票没有登登机的乘乘客经济舱中中定了票票没有登登机的乘乘客每位头等等舱被挤挤掉者获获得的赔赔偿金（为常数数）每位经济济舱被挤挤掉者获获得的赔赔偿金（为常数数）S平均利润润机票订金金占机票票价格的的比重X月份，初初始值为为x=11，四、模型型假设 1、各各位乘客客是否按按时前来来登机是是相互独独立的（这适用用于单独独行动的的商人、游客）。2、每趟趟飞机预预定票数数量都大大于飞机机的实际际座位数数。3、飞行行费用与与乘客人人数无关关，为一一个固定定的常数数。4、头等等舱与经经济舱顾顾客未按按时取消消订票的的概率相相等五、问题题分析与与建立模模型（1）方方法一：分析：由所给

18、给数据，用Maatlaab软件件来拟合合函数，再根据据函数来来预测经经济舱机机票的参参考价格格。记220055年100月份为为x=11，则005年111月份份为x=2，以以此类推推。即：20005年110月为为第一个个月份，如：xx=100，则表表示066年7月月拟合结果果如下：由求解报报告得知知：数学模型型为：f(x)=a11*exxp(-(xx-b11)/cc1)2)+a2*expp(-(x-b2)/c22)22)+aa3*eexp(-(x-bb3)/c3)2)+a44*exxp(-(xx-b44)/cc4)2)+a5*expp(-(x-b5)/c55)22) + a66*exxp(-(x

19、x-b66)/cc6)2)a1=2258.1 (-449311, 554477)b1=111.884 (-221.332, 45)c1=55.7554 (-330.007, 41.58)a2=-7633.3 (-4.9991ee+0006, 4.9989ee+0006)b2=99.7338 (-228044, 228233)c2=335.118 (-66.9551e+0044, 66.9558e+0044)a3=114000 (-7.9566e+0004, 8.2366e+0004)b3=227.996 (-33.6221, 59.55)c3=66.3992 (-996.33, 1109.1)

20、a4=112555 (-3.9377e+0005, 3.9622e+0005)b4=661.228 (-11.5331e+0100, 11.5331e+0100)c4=11.488e+0004 (-2.1162ee+0112, 2.1162ee+0112)a5=-3.0035ee+0008 (-22.533e+0013, 2.53ee+0113)b5=1162 (-7.008e+0055, 77.0883e+0055)c5=229.006 (-11.0442e+0055, 11.0443e+0055)a6=-12885 (-99.5111e+0044, 99.2554e+0044)b6=228

21、.336 (200.3, 366.433)c6=44.8448 (-332.556, 42.25)Gooddnesss oof ffit: SSSE: 2.2234ee+0005 R-squuaree: 00.82267 Addjusstedd R-squuaree: 00.74448 RMMSE: 788.788置信度为为：955%。根据模型型,由Mattlabb软件求求得未来来一年经经济舱机机票参考考价格如如下表所所示：时间价格20100.04471620100.05561420100.06648020100.07730720100.0888520100.099-198820100.100

22、20100.11120100.12220111.01120111.02220111.033预测的机机票价格格从20010年年9月起起变成了了负数，显然与与实际不不符合，所以该该模型并并不能帮帮助我们们解决实实际问题题。方法二：分析：我们产产用最小小二乘法法中趋势势外推法法的周期期波动模模型来解解题。季季节型时时间数列列以日历历时间为为波动周周期；循循环型时时间数列列波动周周期往往往大于一一年，且且不稳定定。尽管管两者有有所区别别，但都都呈周期期性波动动，因此此宜以正正弦曲线线为基础础，经修修正波幅幅与周期期拟合波波动规律律。正弦弦曲线预预测模型型的一般般形式为为：只要对已已知数据据按上述述各项

23、要要求加工工填入以以后，求求解六元元一次方方程组，得，代代入预测测方程即即可开始始预测。用Mattlabb软件求求出此问问题中模模型的系系数。具具体程序序见附录录一解得系数数 则未来一一年内的的经济舱舱机票的的参考价价格可按按如下模模型计算算 用此此模型我我们得出出的模型型曲线如如下 （红色色折线为为实际票票价走势势，蓝色色为通过过计算得得到的模模型曲线线）用Mattlabb软件根根据模型型给出未未来一年年内的经经济舱机机票的参参考价格格（具体程程序见附附录二）时间价格20100.04498920100.0551065520100.0661137720100.0771187720100.088

24、1204420100.0991184420100.1001134420100.1111069920100.1221009920111.01197020111.02296820111.03310022比较方法法二与方方法一，显然用用方法一一所求的的模型十十分繁杂杂，具体体计算时时又非常常得不方方便。而而方法二二所求的的的模型型简洁明明了，便便于计算算，且置置信度较较高。所所以舍弃弃方法一一所求模模型。综上所述述：机票票预定价价格的数数学模型型为：（2）分分析：开开展预定定票业务务时，对对于一次次航班，若公司司限制预预定票的的数量恰恰好等于于飞机的的容量，那么由由于总会会有一些些定了机机票的乘乘客

25、很可可能由于于各种原原因取消消预定不不按时前前来登机机，致使使飞机因因不满员员飞行而而利润降降低，甚甚至亏本本。所以以，航空空公司往往往会预定出出超过实实际座位位数的机票数, 以减减低客户户取消预预定时航航空公司司的损失失。然而而，这样样做也存存在着潜潜在的风风险：当当持票前前来的乘乘客超过过飞机容容量时，必然会会引起那那些不能能飞走的的乘客（本文简简称被挤挤掉者）的抱怨怨，公司司不管如如何补救救，也会会导致声声誉受损损和一定定的经济济损失（如客源源减少，付给一一定的赔赔偿金等等）。所以，航航空公司司必须综综合考虑虑经济利利益和社社会声誉誉，确定定预定票票数量的的最佳限限额。建立模型型：1、公

26、司司的经济济利益可可以用平平均利润润S来衡衡量，每每次航班班的利润润S为机票收收入扣除除飞行费费用和可可能发生生的赔偿偿金再加加上一部部分乘客客因为没没有在448小时时之前取取消订票票而交上上的订金金。设：头等等舱中预预定出了了张票，飞机起起飞时，有位没没有按时时前来登登机。经经济舱中中预定出出了张票票，飞机机起飞时时，有位位没有按按时前来来登机,且每位位客户在在48小小时之前前便取消消预订的的概率为为，于是是在488小时之之内没有有取消预预订的概概率，已已知预交交的订金金占机票票价格的的。头等舱：2、公司司从社会会声誉考考虑，应应该要求求被挤掉掉的乘客客尽量少少。而由由于被挤挤掉者的的数量是

27、是随机的的，可以以用被挤挤掉的乘乘客数超超过若干干人的概概率作为为度量指指标。记记被挤掉掉的乘客客数超过过j人的概概率为，因为被被挤掉的的乘客数数超过jj，等价价于m位预定定票的乘乘客中不不按时前前来登机机的不超超过m-n-jj-1人人，所以以：对于给定定的n,j,显显然当mm=n+j 时时不会有有被挤掉掉的乘客客，即=0。而而当m变大时时单调增增加。综上，SS(m)和 虽然然是这个个优化问问题的两两个目标标，但是是可以将将不超过过某给定定值作为为约束条条件，以以S(mm)为单单目标函函数来求求解。七、模型型求解与与结果的的分析检检验和误误差分析析模型无无法解析析地求解解，我们们设定几几组数据

28、据，用mmatllab软软件作数数值计算算，结果果如下，我们查查阅资料料，得知知下列数数据比较较符合实实际情况况。设：求得最大大利润为为20.12万万元。当时求得最大大利润为为21.52万万元。由于实际际中有诸诸多因素素不确定定，可对对超售票票数造成成影响（如天气气状况对对起飞成成本的影影响，旺旺季时票票价产生生不正常常波动）所以通过过分析和和检验，用maatlaab软件件计算得得知，当当八、模型型的优化化对机票预预定限额额模型的的优化：考虑到不不同客源源的实际际需求，如商业业界、文文艺界人人士喜欢欢这种无无约束条条件的预预订票业业务，他他们宁愿愿接受更更高的票票价，而而不按时时前来登登机的可

29、可能性较较大；游游客与按按时上下下班的雇雇员，会会愿意以以不按时时前来登登机则机机票失效效为代价价，换取取较低额额的票价价。所以以，航空空公司为为了降低低风险，可以把把上述第第2类乘乘客作为为基本客客源，对对他们降降低票价价，但购购票时即即付款，不能按按时前来来登机即即机票作作废。设预订票票数量mm中有tt张是专专门预售售给第二二类乘客客的，其其折扣票票价为，（因为为第二类类乘客身身份的特特殊性，所以只只考虑他他们购买买经济舱舱的情况况）当mm-t位位第1类类乘客中中有k位位不按时时前来登登机时每每次航班班的利润润s为（只对于于经济舱舱） 九、模型型的评价价与推广广对机票预预测价格格模型的的评

30、价与与推广优点：通通过图形形就可以以看出其其价格的的走势与与实际相相似度很很高。运运用最小小二乘法法构造方方程组解解相关系系数，并并全面考考虑截距距、波动动周期、波动幅幅度是使使其精确确度较高高的主要要原因。运用该该模型可可以在实实际中较较为准确确地估计计未来机机票的价价格。缺点：不不难发现现每个周周期过后后，价格格都略有有增长，但实际际中价格格不可能能永远增增长下去去。而且且该模型型无法估估计非正正常的数数据，比比如在旺旺季机票票的价格格可能比比平常会会高出好好几倍，在这种种情况下下就很难难做出准准确的预预测。在在随时间间的增长长中，误误差也会会越来越越大。所所以在预预测时可可以不去去考虑比

31、比较早时时期的信信息，只只考虑要要预测时时间就近近的300组数据据这样会会提高预预测的准准确度。对机票预预定量限限额模型型的评价价与推广广评价：模模型中把把头等舱舱与经济济舱的情情况都做做了考虑虑，而且且是在不不同的情情况下做做的，在在基本合合理的假假设下对对一个两两目标的的问题做做了简化化处理，即使这这样，得得到的模模型也无无法解析析地求解解，幸而而，数值值计算的的结果以以满足我我们对问问题进行行分析的的要求。推广：与与航空公公司的预预定票策策略相似似的事件件在日常常商务活活动中并并不少见见，旅馆馆、汽车车出租公公司等为为争夺顾顾客也可可以如此此处理。十、参考考文献【1】 赵 静静，但 琦，

32、 数学学建模与与数学实实验（第第2版），高等等教育出出版社，20004【2】 姜启源源，谢金金星，叶叶 俊， 数学学模型（第三版版），高高等教育育出版社社，20005【3】 陈怀琛琛，吴大大正，高高西全， MAATLAAB及在在电子信信息课程程中的应应用（第第2版），电子子工业出出版社，20003 【4】鞠鞠彦兵 冯允成成 王爱爱华，航空客客运超售售风险研研究，北京航航空航天天大学学学报，第25卷卷 第55期：第第1页 20002年年 100月 十一、附附录附录一x=11,2,3,44,5,6,77,8,9,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,220

33、,221,222,223,224,225,226,227,228,229,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,440,441,442,443,444,445,446,447,448,449,550,551,552,553,554y=6656,5266,5002,4482,4988,6332,6688,7200,6440,6688,7688,7336,8802,7266,6772,7732,6622,7880,8802,8788,7994,9926,10118,9948,10116,9916,8244,7338,8806,8722,8994,9966,

34、8788,10028,11000,9978,10668,9996,8044,7994,8832,9022,9772,110144,9116,9986,11224,9948,10556,8872,7966,8884,8808,8566x1=xxx2=ccos(pi.*x/6)x3=ssin(pi.*x/6)x4=xx.*ccos(pi.*x/6)x5=xx.*ssin(pi.*x/6)A=554,ssum(x1),suum(xx2),summ(x33),ssum(x4),suum(xx5);summ(x11),ssum(x1.*x11),ssum(x1.*x22),ssum(x1.*x33),s

35、sum(x1.*x44),ssum(x1.*x55);ssum(x2),suum(xx1.*x2),suum(xx2.*x2),suum(xx2.*x3),suum(xx2.*x4),suum(xx2.*x5);suum(xx3),summ(x11.*xx3),summ(x22.*xx3),summ(x33.*xx3),summ(x33.*xx4),summ(x33.*xx5);summ(x44),ssum(x1.*x44),ssum(x2.*x44),ssum(x3.*x44),ssum(x4.*x44),ssum(x4.*x55);ssum(x5),suum(xx1.*x5),suum(x

36、x2.*x5),suum(xx3.*x5),suum(xx4.*x5),suum(xx5.*x5)b=ssum(y);summ(x11.*yy);summ(x22.*yy);summ(x33.*yy);summ(x44.*yy);summ(x55.*yy)x=AbA =1.0ee+0004 *0.00054 0.114855 -0.00001 00.00004 -0.000344 0.010010.14485 5.339555 -0.00334 00.01101 -0.118611 0.54113-0.000011 -0.00334 00.00027 -0.000000 0.07556 -00.000230.00004 0.001011 -0.00000 00.00027 -0.000233 0.07229-0.000344 -0.18661 00.07756 -0.00023