11.5 导数的综合应用 microsoft word 文档doc-高中数学

1、 永久免费组卷搜题网PAGE 永久免费组卷搜题网115 导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二建构知识网络1函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；2利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1已知a0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是A0 B1 C2 D32函数f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是 （ ）A3x+2y+=0, B3x2y+=0C3x2y=0, D3x+2y=0

2、3(2006湖北)若的大小关系（ ）ABCD与x的取值有关4（2006江西）对于上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有（ ）Af(0)+ f(2)2 f(1)5若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_6方程x33x+c=0在0，1上至多有_个实数根简答:14DBDC；5 y=4x2+b，若y值有正、有负，则b0答案：b06设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）当x（0，1）时，（x）0时，有证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0f/(x)=1-cosx(仅在x=2k(kZ)处f/(x)=0当x0时，f(x)单调递增，从而有f(x)

3、f(0)即x-sinx0, xsinx(x0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)0,g(x)在x0时递增，从而有g(x)g(0)=0即故当x0时有提炼方法：证不等式的依据I：若函数f(x)在xa可导，且递增，则f(x)f(a);若函数f(x)在xa可导，且递减，则f(x)f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左右等。【例2】已知求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x2)F/(x)=(1-x)ex-1,当x0,当1x2时，F/(x)0 x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。F

4、(x)F(1)=1,又x0，讨论y=f(x)的单调性；（）若对任意x(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范围 解()f(x)的定义域为(,1)(1,+)。 对f(x)求导数得 f (x)= eq f(ax2+2a,(1x)2) eax ()当a=2时, f (x)= eq f(2x2,(1x)2) e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+) 为增函数；()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数； ()当a2时, 0 eq f(a2,a)1, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= 当x变化时, f (x)和f(x

5、)的变化情况如下表： x(-, -)(-,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。 ()()当0f(0)=1()当a2时, 取x0= eq f(1,2) (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1,得 f(x)= eq f(1+x,1x)eax eq f(1+x,1x) 1 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1 。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。【例4】 (2006全国)

6、在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量 求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。 解: 椭圆方程可写为: eq f(y2,a2) + eq f(x2,b2) =1 式中ab0 , 且 EQ blc(aal(a2b2 =3,f(r(3),a) =f(r(3),2) 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ eq f(y2,4) =1 (x0,y0) y=2 eq r(1x2) (0 x1) y = eq f(2x,r(1x2) 设P(x0,y0),因P在C上,有0 x01,y2)

7、()| eq o(OM,sup6()|2= x2+y2, y2= eq f(4,1f(1,x2) =4+ eq f(4,x21) , | eq o(OM,sup6()|2= x21+ eq f(4,x21)+54+5=9 且当x21= eq f(4,x21) ,即x= eq r(3)1时,上式取等号 故| eq o(OM,sup6()|的最小值为3 【研讨欣赏】(2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；（2）设0，=（）若存在使得|4时，x1x2，故f (x)在(,a1上为减函数，在a1

8、,3上为增函数，在3,+)上为减函数（2）当a0时，a10，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7f（x）=0在1，2上无根答案：D3由f(x)=f(x)，求导得4， 5 ; 6设底面边长为x，则高为h=，S表=3x+2x2=+x2S=+x令S=0，得x=答案： 【解答题】7 已知xR,求证：exx+1证明:设f（x）=exx1,则f（x）=ex1当x=0时，f（x）=0,f（x）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当x0时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0对xR都有f（x）0exx+18（2006江西）已知函数在与

9、时都取得极值（1）求、的值及函数f(x)的单调区间;（2）若对x-1,2,不等式f(x)4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；（）若，且，试证：。解（I）求导得f/(x)=x2+(b+2)x+b+eexb24(c-1)故方程f/(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根令f/(x)0,解得xx2又令f/(x)0,解得x1xx2故当x(,x1)时，f(x)是增函数，x(x2,+)时，f(x)也是函数，当x(x1,x2)时，f(x)是减函数。 （II）易知由已知条件得解得 10 (2006浙江)已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时， ()x （）xmxm+1oyx证明：（ = 1 * ROMAN I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以（ = 2 * ROMAN II）因为函数当时单调递增，而，所以，即因此又因为令则因为所以因