宏观压强的微观实质和统计性质

1、宏观压强的微观实质和统计性质摘要：本文对理想气体压强公式的推导过程作了详细分析，说明了宏观量 的微观实质和统计性质。关键词：宏，微观，微观模型，统计假设，分类，统计平均值，宏观，微 观。分类号：055“气体分子运动论的基本概念”一章，从气体分子微观结构的一些简化模 型出发，运用统计的概念和统计平均的方法来揭示宏观物理量的微观本质，统 计概念的建立是物理思维方法上一个较大的飞跃，本文试从理想气体压强公式 的导出过程，阐明宏观压强的微观实质和统计性质，从中体会统计平均的方 法，进而建立初步的统计观念。一.理想气体的微观模型和统计假设理想气体可以从不同方面来解释，从微观的角度可以把理想气体概括为 以

2、下三个特点（或称为微观模型）分子本身的大小比起它们之间的平均距离来，可以忽略不计，即可把 分子视为没有1体积的质点。分子与分子之间或分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。分子间的有效作用距离很短（约10厘米），除碰撞瞬间外，相互作 用可以忽略不计，通常气体分子被放在容器中，所以重力的影响也可略去，分 子连续两次碰撞之间的运动是自由的。由上述三个特点，可以把理想气体看作是自由地无规则运动着的弹性小 球的集合。根据经验和实验，我们对处于平衡态下的理想气体分子作出以下两点假 设（或称为统计假设）分子位于各处的机会是均等的，或简称“空间均匀假设”。分子沿各方向运动的机会是均等的，或简称为“各向同性假设”。上

3、述两点假设都是在统计意义下给出的，因此又称为统计假设。二.理想气体压强公式的推导分析从上述模型和假设出发，采用统计平均的方法，可以导出理想气体的 压强公式。压强概念来自力学，按照力学观点，当一个物体表面受到另外物体作 用时，则：压力压强= （1）压力面积式（1）中的压力通常来自物体间的相互挤压。在容器中，分子对器壁有力的作用，这个力并不是由分子的重量引 起，而是分子对器壁碰撞的结果。仿照力学的压强定义，我们把单位器壁上所 受的气体分子的作用力，称为气体对器壁的压强，即：dF dIP =（2） da dtdA式（2）中的dI是分子在dt时间内施于器壁dA面的冲量.而对容器中混乱运动着的气体分子，

4、怎样才能求得dI呢？下面我们将说明，单凭力学的概念和规律是得不到结果的，必须采用一种不同于力学的新方法，即统计平均法，问题才能得到解决，具体可采取以下 几个步骤：（一）.把全部分子按速度分类设单位体积中，速度基本为：V1 ,V2 ,V3 ，Vi，的分子数分别为：n1,n2,n3, -,ni-,每类分子中基本上具有大小相等.方向相同 的速度，首先考虑具有代表性的Vi类分子与器壁的碰撞。这类分子要想在dt 时间内能够碰到dA面上，它们必须位于以dA为底，Vi的方向为母线，Vixdt 为高的柱体内（如图1所示），这一思想是解决分子碰撞问题的关键！因为通 过这一步，找到了无序中的有序，为以下的计算开辟

5、了通路。Vi类分子中的某个分子在一次碰撞中，施于器壁dA面的冲量为：2mVix（3）分析：这个结果，是把器壁dA面作为“固定”.“平滑”面的情况下， 利用微观模型特点2（弹性碰撞）和牛顿第三定律而得到的，善于思考的读者 一定会问：“平滑是宏观的概念，从微观角度看，器壁也是由分子构成的，而 且分子也不是固定的，为什么可以这样处理呢？ ”这是因为，在平衡态下由于 统计假设2,在任一时刻沿各个方向运动的分子数目都相等，所以对于入射角 为i的分子，总有反射角也为i的其它分子存在，而且就大量分子的平均效 果看来，两者的分子数是基本相同的。从等效的观点，我们可以认为某个分子 的入射角和反射角相同。这就是“

6、平滑”的道理所在。另外分子和器壁分子碰 撞时本来具有能量交换的，即碰撞前后速度的X分量并不等大反向，但因系统 处于平衡态，碰撞又是弹性的，就大量分子的平均效果来看，碰撞前后的平均 平动动能是一样的，故可以把器壁分子认为是固体的。可见，这里所讨论的：“某个分子”与器壁的碰撞已经不是牛顿力学中 一个确定对象，而是一个平均意义下的等效分子。Vi类所有分子在dt时间内施于器壁dA面的冲量为：2mVix （VixdtdA nj）（4）（4）式中（）内的量，表示柱体内Vi类的分子数。分析：这步推导中用到了微观模型特点3 （即分子是匀速直线运动）；还 用到了统计假设1（即ni与空间位置无关）。而没有考虑分子

7、在射向器壁的过 程中所受到的碰撞。这是由于有统计假设2,当某处Vi类分子因碰撞而减少 时，该处必有相应的其它分子由于碰撞变成Vi类分子，而且由于微观模型特点 1.2（即弹性质点）使得碰撞后位置基本不变，所以原处Vi类的分子基本不 变。微观模型的三个特点和两个统计假设在这一步全都用上了。（二）.对发生碰撞的各类分子求和在dt时间内，能与dA面相碰撞的分子有很多类，只要是向着dA面运 动而且在dt时间内可以到达dA面的那些类分子都对器壁有冲量作用。因此， 需要对这些类分子施于器壁的冲量求和，即在dt时间内，能与dA面相碰的各 类分子施于dA面的冲量为：22dI= 2nimV1xdAdt= nimV

8、ixdAdt分析：(5)式中，第一个求和中的限制条件Vix0表示只对向dA面运动的 分子求和；第二个求和不受Vix的限制，但因子2去掉了。这里用到了假设 2,即在任一时刻沿任一方向运动的分子数相等，也就是说Vix0的分子数和 Vix0的分子数相同。.对时间和面积取平均dI2P=m niVix(6)dt.dA分析：由(6)式所决定的压强p与dt和dA的大小有关，从微观看来，如果 dt.dA很小，则P值将有明显的起伏变化即涨落。(如图2所示)。为了使P 具有一个稳定的值，微观上要求dt时间内有大量分子与dA面相碰，但从宏观 看来，dt应是足够短的，dA也应是足够小的，因为宏观压强的测量是在短时间 内对某处进行的。 TOC o 1-5 h z 推导进行到这一步，我们已经看出了统计平均方法的基本思想分类.求和.取平均。其核心是 分类。.统计平均值概念的引入根据上述思想，我们定义分子速度的X分量平方的统计平均值：222-2 niVix n1Vix+n2V2x+Vx= nin(7)(7)式中，n= ni=n1+n2+为分子的数密度(7)式正是分类.求和.取平均值的体现，其中 ni = (n1,n2,-,ni,-)起着分类的作用，利用ni, 原则上可以求得统计平均值。.压强公式利用各向同性的统计假设2,必有：-2 -2 -2Vx=Vy=Vz TOC o 1-5