北京市清华附中朝阳学校2026-2027学年高三上学期开学检测数学试卷（含答案）

/北京市清华附中朝阳学校2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题一、单选题1．如果集合A={x∈Z|−1≤x<3}A．−1,0,1,2,3 B．−1,0,1,2C．0,1,2 D．0,1,2,32．下列函数中，值域为0,+∞的是（

A．y=x−1C．y=lnx3．已知向量a=3,sinθ，b=5,1，若a//A．725 B．−725 C．244．设α,β∈R，则“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．将函数y=2sinA．x=π3 B．x=π66．已知实数x，y满足lnx<lnA．tanx<tany B．12x7．已知函数fx=x4+A．y=fxC．y=fx8．某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度t>0，定义浓度对应的代谢函数gt，满足代谢变化率g′(t)>1t+1，已知原液浓度t=4时，g4A．ln2,+∞ C．2ln2,+∞9．已知函数f(x)=x|x−a|−2A．(−∞,1] B．[−2,1] C．[−1,2] 10．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα=3A．20cm2 B．203cm2 二、填空题11．函数fx=112．角θ的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边过点2,−3，则tan2θ13．当φ=__________时，函数fx=2sin14．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则AP⋅BP的取值范围为15．设t∈R，关于x的方程gx=t的实根个数记为ft，若gx=lnx，则f1=______________；已知16．某公园草坪上有一扇形小径（如图）,扇形半径为40m,中心角为120°,甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走,同时乙从A出发,沿扇形弧以每秒4π3米的速度向B慢跑,记t0≤t≤20秒时甲、乙两人所在位置分别为（1）当MN⊥OA时，函数（2）函数y=ft（3）若ft0最小，则（4）gt=f其中正确的判断序号是______（把你认为正确的判断序号都填上）三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c(1)求cosB(2)若a=47，求18．已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ(1)求x0，ω，φ(2)写出函数fx(3)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使fx+m条件①：m>0；条件②：m19．已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设点M关于原点的对称点为N，过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P，且l与直线MN交于椭圆内的点T.设△TAM的面积和△TPN的面积分别为S1和S2，若20．已知函数f(（1）当a=e时，求曲线y=（2）若不等式fx≥1恒成立，求21．已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn=1,2,3,⋯,2(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn《北京市清华附中朝阳学校2026-2027学年高三上学期开学检测数学试题》参考答案题号12345678910答案BDADCDDCBC1．B【分析】先求得集合A={−1,0,1,2}【详解】由集合A={因为B=−2,−1,0,1,2,3，可得2．D【详解】选项A，由y=x−1的定义域为R，所以x选项B，由y=1x−1的定义域为所以函数值域为：−∞选项C，由y=lnx−1的定义域为选项D，由y=1x−1的定义域为所以函数值域为0,+∞3．A【分析】根据向量平行列式可求sinθ【详解】因为a//b，所以3×1−5sinθ=0所以cos2故选：A4．D【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【详解】取α=2π3，则sinα=sinβ，但即“sinα=sinβ”取α=π3，β=4则tanα=tanβ，但即“tanα=tanβ”因此，“sinα=sin故选：D.5．C【详解】将函数y=2siny=2sinx=kπ26．D【分析】结合函数y=tanx【详解】实数x，y满足lnx<ln对于A，因为y=tanx所以tanx>tany、对于B，因为函数y=12x在对于C，取x=1，y=2，对于D，x+因为0<x<y，所以x所以x+故选：D7．D【分析】选项AB，利用奇偶函数的定义得解；选项C，利用奇偶函数的定义得到mx=f(x【详解】选项A：设hx=fh−h−x≠hx且与图像关于原点对称不符，选项A错误.选项B：设tx奇偶性：t−t−x≠tx与图像关于原点对称不符，选项B错误.选项C：设mxm−则mxm′在0,π4上m′x>0与图像先增后减不符，选项C错误.因此排除ABC，只有D符合题意.8．C【分析】通过构造函数ht=gt−【详解】设ht=g因为g′t>所以ht在0,+h4由gex>即hex>0=h4，因为所以ex>4，即所以x的取值范围是2ln9．B【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.【详解】当a>2，x>2时，当2<x<a时，f所以fx<0，不满足当x>2时，f当0<a≤2，x>2时，f由于x>2时，f(x)>0，故当a=0，x>2时，当a<0，x>2时，f(由于x>2时，f(x)>0，故综上−2≤a故选：B【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对a分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解x>2时的f10．C【分析】作出图形，利用正、余弦定理，结合基本不等式即可求得这个四边形面积的最大值.【详解】依题意圆形木板的直径为102设截得的四边形木板为ABCD，设∠A如下图所示，由cosα=35且在△ABD中，由正弦定理得asinα在△ABD中，由余弦定理，得a所以80=b得bc≤100，当且仅当b在△BCD中，∠由余弦定理可得80=a2=得mn≤25，当且仅当m所以这块四边形木板面积为12故选：C.11．0,1【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域.【详解】由题设有x−1≠0x>0故答案为：0,1∪12．12【分析】先根据任意角正切函数的定义求出tan⁡【详解】根据任意角三角函数的定义，角θ终边过点(2,−3)，其中横坐标x=2，纵坐标y=−3，因此由二倍角的正切公式可得tan⁡213．π6【分析】首先由x的取值范围，求出2x【详解】解：因为x∈π要使函数fx=2sin不妨令π3+φ≥故答案为：π14．[−【分析】取AB的中点D，连接PD,CD，利用向量数量积的运算律有(PA+PB【详解】如图，取AB的中点D，连接PD,∵PA+PB=2PD，∴PA⋅∴AP⋅BP=∴AP⋅BP的取值范围为故答案为：[−1【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得(PA+PB15．10,1【分析】令gx=lnx=t，根据函数gx=lnx的值域为R可得【详解】令gx函数gx=ln故方程gx=t，只有一个解，故f当a2<1时，即0<a显然存在t使得ft当a2≥1时，即a≥1要想存在t使得ft+1>即−a24综上所述，a的取值范围是0,1∪故答案为：0,1∪16．②③④【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系,根据题意求出N、M两点坐标,求出MN=【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系,因为甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走,所以N(2乙从A出发,沿扇形弧以每秒4π3米的速度向B慢跑,所以∠AOM=|f(5)=10f当t=10时MN⊥OA，因为f当t=15时OM⊥OA,当t由于当10≤t≤20时，ft≥f(10)，而由gt=ft−40=0得ft=40，因为f0=40，f故答案为②③④【点睛】本题考查了应用数学运算研究函数性质,考查了数学建模能力.17．(1)5(2)4【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用三角形面积公式，利用等面积法求解即可．【详解】（1）在△ABC中，c=2b由余弦定理得a2得到a=7b（2）由（1）可知a=7b，因为a=47设BC边上的高为h，则12ah=

故BC边上的高为42118．(1)x0=−π6(2)递增区间：−2π(3)条件①：m=π3【分析】（1）运用正弦型函数的周期性质：相邻两个零点的水平距离为半个周期，由A,B间距算出周期T，再由ω=2πT得（2）运用正弦函数的单调区间性质，将fx=sin2x+5（3）运用偶函数的性质：正弦型函数为偶函数时，相位需满足函数图像关于x=0对称，即相位的余式为0，推导得到m的通解，再根据m>0或【详解】（1）由题可知相邻两个零点Aπ12,0即T2=7π12−π点C在零点A左侧T4位置，故将点C−π6,1即sinφ−π3故函数解析式为：fx验证：代入点Aπ12,0代入点B7π12（2）由（1）可得：fx=sin当u∈−π2+2k整理得递增区间：−2当u∈π2+2k整理得递减区间：−（3）f使fx+m整理得：m条件①：m>0，取k=1，条件②：m<0，取k=0，19．(1)x24(2)0【分析】（1）根据题意有a=21a（2）连接AN，由S1=S2，得S△MAN=S△PAN，进而得MP//AN，点N与点【详解】（1）由已知有：a=21a所以椭圆方程为x2所以c2所以离心率e=（2）连接AN，因为S1所以S1+S所以点M和点P到直线AN的距离相等，由题意，点M与点P在直线AN的同侧，所以MP//AN，因为点N与点M关于原点对称，所以N1,−又A−2,0，所以k所以kMP直线MP的方程为y−32由x+2y−2=0,得x=2或x当x=2时，y=0，得当x=−1时，点P与点M所以直线l的斜率为0.20．（1）2e−1【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点1,f（2）方法一：利用导数研究函数fx的单调性，当a=1时，由f′1=0得fxmin=f1=1,符合题意；当a>1时，可证f′(1a)f′【详解】（1）∵f(x)=e∵f(1)=e∴函数fx在点(1,f(1)处的切线方程为y−e∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(−2∴所求三角形面积为12（2）［方法一］：通性通法∵f(x)=a设g(x∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，即f′(当a=1时，f′(1)=0,∴fx当a>1时，1a<1，∴∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)=aex0−1−因此f=1∴fx>1,∴当0<a<1时，f(1)=综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由f(x)≥1得aex−1−令h(m)=em+m，则由elna+x−1+ln令F(x)=所以当x∈(0,1)时，F当x∈(1,+∞)所以[F(x)]max所以a的取值范围为a≥1［方法三］：换元同构由题意知a>0,x>0，令aex于是f(由于f(x)≥1,t−lnx+lnt−令g(x)=当0<x<1时，g′(x所以当x=1时，g(x)=x［方法四］：因为定义域为(0,+∞)，且f(x)≥1令S(a)=a+lna因为S(1)=1，所以a≥1时，有S(下面证明当a≥1时，f令T(a)=ae因为T′(a)=ex−1因此要证明a≥1时，T(a由ex≥x上面两个不等式两边相加可得ex−1−lnx当0<a<1时，因为f(1)=所以a的取值范围为a≥1【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数fx的单调性，求出其最小值，由f方法二：利用同构思想将原不等式化成elna+方法三：通过先换元，令aex−1=t方法四：由特殊到一般，利用f(1)≥1可得a21．(1)集合A=1,2,3,5,7,9不具有性质（i）从集合A中任取三个元素x,y,（ii）从集合A中任取三个元素x,y,z有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设则有z−x≥2综上所述，可得集合A=1,2,3,5,7,9不具有性质(2)证明如下：由3+4+a是偶数，得实数a当a<3<4时，由a+3>4，得1<a当3<4<a时，由3+4>a，得4<a<7，即因为3+4+5=12是偶数，所以集合B={3,4,5}令a+b=3,显然a,所以集合B是集合S4(3)证明如下：先证充分性：当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a,b,c不妨设a<b<c，令x=a+因为x+y−因为x+y+所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P再证必要性：当集合M具有性质P，则存在x,y,z，同时满足①x<令a=x+y+z2由条件②得a=由条