反函数教学设计陈天鸿

1、教案目标： 1明白反函数的概念,弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系 2会求一些简洁函数的反函数 3在尝试,探究求反函数的过程中,深化对概念的熟识,总结出求反函数的一般步骤,加深对函数 与方程,数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的熟识 4进一步完善同学思维的深刻性,培养同学的逆向思维才能,用辩证的观点分析问题,培养抽象, 概括的才能 教案重点：求反函数的方法 教案难点：反函数的概念 教案过程： 教案活动 设计意图 一,创设情境,引入新课 1复习提问 由实际问题引入新课,激 函数的概念 发了同学学习爱好,呈现了教 y=fx 中各变量的意义 案目标这样既可以拨去 “反函 2同学们在物理课学过

2、匀速直线运动的位移和时间的函数关系, 数 ”这一概念的奇妙面纱,也可 即 S=vt 和 t= （其中速度 v 是常量）,在 S=vt 中位移 S 是时间 t 的 使同学知道学习这一概念的必 要性 函数；在 t= 中,时间 t 是位移 S 的函数在这种情形下,我们说 t= 是函数 S=vt 的反函数什么是反函数,如何求反函数,就是本节课学习 的内容 3板书课题 第 1 页,共 5 页二,实例分析,组织探究 1问题组一： （用投影给出函数 与 ； 与 （ ） 的图象） （ 1 ）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？ 从同学熟知的函数动身, （生答： 与 的图像关于直线 y=x 对称；

3、 与 抽象出反函数的概念,符合学 生的认知特点,有利于培养学 （ ）的图象也关于直线 y=x 对称 是求一个数立方的运 生抽象,概括的才能 算,而 是求一个数立方根的运算,它们互为逆运算同样, 与 （ ）也互为逆运算） （ 2）由 ,已知 y 能否求 x？ 通过这两组问题,为反函 （ 3） 是否是一个函数？它与 有何关系？ 数概念的引出做了铺垫,利用 旧知,引出新识,在 “最近进展 （ 4） 与 有何联系？ 2问题组二： 区 ”设计问题,使同学对反函数 （ 1）函数 y=2x+1x 是自变量 与函数 x=2y+1y 是自变量 是否是同 有一个直观的粗略印象,为进 一函数？ 一步抽象反函数的概念

4、奠定基 （ 2）函数 x 是自变量 与函数 x=2y+1y 是自变量 是否是 础 同一函数？ （ （ 3 ） 函 数 （ ） 的 定 义域 与 函 数 ）的值域有什么关系？ 3渗透反函数的概念 （老师点明这样的函数即互为反函数,然后师生共同探究其特点） 三,师生互动,归纳定义 1（依据上述实例,老师与同学共同归纳出反函数的定义） 函数 y=fxx A 中,设它的值域为 C我们依据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x = j y 假如对于 y 在 C 中的任何 一个值,通过 x = j y ,x 在 A 中都有唯独的值和它对应,那么 , x = j y 就表示 y 是自

5、变量, x 是自变量 y 的函数这样的函数 x = j yy C 叫 做函数 y=fxx A 的反函数 .记作 : 考虑到 “用 x 表示自变 量 , y 表 示 函 数 ”的 习 惯 , 将 中 的 x 与 y 对 调 写 成 2引导分析： 在上述探究的基础上,揭示 1）反函数也是函数； 2）对应法就为互逆运算； 反函数的定义,同学有针对性 地体会定义的特点,进而对定 3）定义中的 “假如 ”意味着对于一个任意的函数 y=fx 来说不愿定 义有更深刻的熟识,与自己的 有反函数； x=f y 的值域,定 预设产生冲突冲突,体会反函 数在剖析定义的过程中,让 4）函数 y=fx 的定义域,值域分

6、别是函数 义域； 同学体会函数与方程,一般到 特殊的数学思想,并对数学的 5）函数 y=fx 与 x=f y 互为反函数； 符号语言有更好的把握 6）要懂得好符号 f ； 7）交换变量 x, y 的缘由 3两次转换 x, y 的对应关系 通过动画演示,表格对比, 使同学对反函数定义从感性认 识上升到理性熟识,从而消化 （原函 懂得 数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的,原函数中的函数值 y 与反函数中的自变量 x 是等价的） 4函数与其反函数的关系 定义域 函数 y=fx 函数 CA 值 域 CA 四,应用解题,总结步骤 1（投影例题） 【例 1】求以下函数的反函数 （1） y=

7、3x-1 2y=x +1 第 3 页,共 5 页【例 2】求函数 的反函数 （老师板书例题过程后,由同学总结求反函数步骤） 通过对具体例题的讲解分 析,在解题的步骤上和方法上 2总结求函数反函数的步骤 : . 为同学起示范作用,并准时归 1由 y=fx 反解出 x=f y 纳总结,培养同学分析,摸索 2把 x=f y 中 x 与 y 互换得 的 习 惯 , 以 及 归 纳 总 结 的 能 力 3写出反函数 的定义域 . （简记为：反解,互换,写出反函数的定义域） 题目的设计遵循了从明白 【例 3】（ 1） 有没有反函数 . 到懂得,从把握到应用的不同 层次要求,由浅入深,循序渐 （ 2） 的反

8、函数是 进并表达了对定义的反思理 （ 3） x0 的反函数是 解同学摸索练习,师生共同 分析订正 五,巩固强化,评判反馈 进 一 步 强 化 反 函 数 的 概 1已知函数 y=fx 存在反函数,求它的反函数 y =f x 念,并能正确求出反函数反 馈同学对学问的把握情形,评 （ 1） y=-2x+3x R （ 2）y=- x R,且 x 价 学 生 对 学 习 目 标 的 落 实 程 3 y= x R,且 x 度具体实践中可实行同学板 演,分组竞赛等多种形式调动 求 f 2已知函数 fx= x R,且 x 存在反函数 , 同学的积极性 7的值 “问题是数学的心脏 ”同学带 着问题走进课堂又带

9、着新的问 五,反思小结,再度设疑 题走出课堂 本节课主要争辩了反函数的定义,以及反函数的求解步骤互为反 函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？ 我们将在下节争辩 （让同学谈一下本节课的学习体会,老师适时点拨） 第 4 页,共 5 页六,作业 第 1 题,第 2 题 进 一 步 巩 固 所 学 的 知 习题 识 教案设计说明 “问题是数学的心脏 ”一个概念的形成是螺旋式上升的,一般要经过具体到抽象,感性到理性的过 程本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数,进而又通过如干函数的图象进一步加以诱导剖 析,最终形成概念 反函数的概念是教案中的难点,缘由是其本身较为抽象,经过两次代换,又接受了抽象的符号由 于没有一一映射,逆映射等概念的支撑,使同学难以从本质上去把握反函数的概念为此,我们大胆地 使用教材,把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示,进而探究缘由,查找规律,程序是从问题出 发,争辩性质,进而得出概念,这正是数学争辩的次序,符合同学认知规律,有助于概念的建立与形 成另外,对概念的剖析以及习