双曲线的定义及其标准方程教案

1、教学目标圆锥曲线教案 双曲线的定义及其标准方程教案1通过教学, 使同学熟记双曲线的定义及其标准方程,懂得双曲线的定义,双曲线的标准方程的探究推导过程2在与椭圆的类比中获得双曲线的学问,培育同学会合情猜想,进一步提 高分析、归纳、推理的才能3培育同学深厚的学习爱好,独立摸索、勇于探究精神及实事求是的科学 态度教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探究推导过程是本课的重点定义中的“ 差的 肯定值” , a 与 c 的关系的懂得是难点教学过程 师：椭圆的定义是什么椭圆的标准方程是什么同学口述椭圆的两个定义,标准方程,老师利用投影仪把椭圆的定义、标 准方程和图象放出来 师：椭圆的两个定义虽然都是由

2、轨迹的问题引出来的,但所采纳的方法是不同的定义二是在熟悉上已经把椭圆和方程统一起来,在把握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程这是通过方程去熟悉轨迹曲线定义中设定的常数 2a,|F1F2|=2c ,它们之间的变化对椭圆有什么影响生：当 a=c时,相应的轨迹是线段F1F2当 ac 时,轨迹不存在这是由于a、c 的关系违反了三角形中边与边之间的关系师：假如把椭圆定义中的 “ 平面内与两个定点F1、F2的距离的和”改写为“ 平面内与两个定点 F1、F2的距离的差” ,那么点的轨迹会怎样它的方程又是怎样的 呢师生共同做一个简洁的试验,请同学们把预备好的试验用具拿出来,一起 做试验老师把教具挂在黑板上

3、,同时板书：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之 差为常数的点的轨迹是什么曲线边画、边操作、边说明师：做法是：适当选取两定点 定在 F1处,在另一边上截取一段F1、F2,将拉锁拉开一段,其中一边的端点固 AF2F1F2,作为动点 M 到两定点 F1和 F2距离之差而后把它固定在 F2处这时将铅笔 粉笔 置于 P 处,于是随着拉锁的逐步 打开铅笔就渐渐画出一条曲线；同理可画出另一支如图 2-36师：通过这个试验,你们发觉了什么 生：所画的曲线不是椭圆,是两条相同的曲线,只是位置不同其缘由都是应用“ 平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2| 或|MF 2|-|MF1| 是同一常数的条件画

4、图的师：所画出图象与椭圆完全不同,能说出属于哪一类曲线吗 生：属于双曲型曲线师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线我们摸索以下几个问题：1|MF1| 和|MF2| 哪个大 生：不肯定当点 M 在双曲线右支时,有 |MF1| |MF2| ,当点 M 在双曲线 左支时, |MF1| |MF2| 师： 2点 M 与点 F1、F2距离之差是否就应是 |MF1|-|MF 2|生：未必是也可以是 |MF2|-|MF 1| 师：如何表示这两种情形生：如要同时表示这两种情形,正确的表示是应|MF1|-|MF2| 无论哪种情形总是成立的师： 3点 M 与点 F1、F2 的距离之差的肯定值与 |F1F2| 的大小关

5、系怎样形生：由三角形的两边之差小于第三边可知,应是小于 |F1F2| 否就作不出图在上述争论的基础上,引导同学概括出双曲线的定义,老师板书课题同学试表达,老师帮助完成一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的肯定值是常数2aa0 且小于 |F1F2|的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点,这两个焦点间的距离叫 做焦距,记作 2cc0通过同学自己动手画图, 得到了双曲线定义, 同时进一步让同学在试验中观察定义中两个常数间大小关系对于动点 M 的轨迹的影响激发同学探求学问的 爱好,调动同学的求知的希望师生共同归纳：师：由定义知 |MF 1|-|MF 2|=2a ,|F1F2

6、|=2c,并设动点为 M ,请大家争论以 下几个问题：1当 0ac 时,动点 M 的轨迹是什么同学略摸索一下,回答出是双曲线2当 a=c时,动点 M 的轨迹是什么分析 如 a=c,也就是 |MF1|-|MF2|=2a=2c ,如图 2-37 所示：可以看出, 动点 M 的轨迹是分别以点 条射线F1、F2为端点,方向指向 F1F2外侧的两3当 ac0 时,动点 M 的轨迹是什么由前面归纳已知动点 M 的轨迹不存在这是由于中两边之差小于第三边的性质二、双曲线的标准方程a、c 的关系违反了三角形师：现在来争论双曲线的方程 我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程第一建立直角坐标系,即以两定点连

7、线为x 轴,两定点的垂直平分线为 y 轴然后,观看双曲线的特点, 推测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是 否有类似之处 如图 2-38当点 M 移动到 x 轴上点 A1、A2时,如何求点 A1、A2的坐标生：点 A1、A2是关于原点对称的,所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a 所以点 A1和 A2的坐标分别是 -a,0和a,0师：请同学们对比椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程生： 1建立直角坐标系02设双曲线上任意一点的坐标为 Mx、y,|F1F2|=2c ,并设 F1-c,0,F2c,3由两

8、点间距离公式,得4由双曲线定义,得 |MF1|-|MF 2|= 2a,即5化简方程两边平方,得化简得：两边再平方,整理得c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2为使方程简化,更为对称和谐起见由 2c-2a0,即 ca,所以 c2-a 20设 c2-a 2=b 2b0,代入上式,得b 2x 2-a 2y 2a2b 2,也就是师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程,它同样具有方 程简洁、对称,具有和谐美的特点,便于我们今后争论双曲线的有关性质这一 简化的方程称为双曲线的标准方程结合图形再一次懂得方程中ab0 的条件是不行缺少的 b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐,也

9、有实际的几何意义具有c2=a 2+b2与椭圆中 a2=b 2+c 2的不同之处师：与椭圆方程一样, 假如双曲线的焦点在y 轴上,这时双曲线的标准方程形式又怎样呢我们可以从所画的图形上观看,对比来看一看相互间的转化图2-39、图 2-40生：从图形的对称来看,只要交换一下x 轴、 y 轴的名称,然后逆时针翻转90 使之 y 轴向上、下, x 轴水平放置即可得到焦点在 y 轴上的双曲线师：从方程上来分析,只要将方程1的 x、y 互换就可以得到它的方程此方程也是双曲线的标准方程师：如何记忆这两个标准方程生：双曲线的方程右边为1,左边是两个完全平方项,符号一正一负,为正的项相应的坐标轴为实轴, 焦点在

10、该轴上, 且分母为 a2负项相应的坐标轴为虚轴,且分母为 b2师：用一句话概括“ 以正负定实虚” 三、举例例 1 已知两点 F1-4,0和 F24,0,曲线上的点到两个焦点的距离之差为 6,求曲线方程解 由焦点坐标可知 c=4,2a=6,所以 a=3,而 b2=c 2-a 2=16-9=7所以,所求的双曲线方程为例 2 求满意以下条件的双曲线方程 1如 a=4,b=3,焦点在 x 轴上；解 1由于 a=4,b=3,并且焦点在 x 轴上,所以所求的双曲线方程为2由题意设双曲线的标准方程为：所以代入双曲线方程得所以 b2=16,所以所求的双曲线的标准方程为例 1 和例 2 可由同学自行解答,黑板上

11、板演,并对比检查对错四、小结 师生共同参加完成 1学问方面双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的c 2=a 2+b 23 个常数 a、b、c 间的关系：懂得“ 以正负定实虚” 的意义,会确定实轴、虚轴、焦点所在位置,会求双 曲线的标准方程2在教学中体会到数学学问的和谐美,几何图形的对称美五、作业：第 89 页习题七 1,2六、课后摸索题2结合图形的演示,试争论 |MF1|-|MF2|=2a ,在 2a 趋近于零的过程中双曲线的变化趋势设计说明 1关于教学目标 1由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一,因而作为本节课的 教学目标之一2MM 训练方式的基本要求, 其课堂教学要师生共同参加

12、每个环节都应给 同学创设一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会运用教具的演示,增强了数学教学的直观性,有助于培育同学观看、比较、分析、抽象、归纳及数学语 言的运用才能对全面提高同学素养起着非常重要作用,待此制定了教学目标2和 32关于教学重点 为实现教学目标, 把充分呈现双曲线的定义及其标准方程的探究、发觉、推 理的思维过程和学问形成过程作为本节课的重点3关于教学方法 根据 MM 训练方式“ 学习、教学、争论同步和谐原就” 和“ 二主方针” ,运用问题性, 给同学制造 在教学中充分发挥老师的主导作用和同学的主体作用一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会,使同学在开放、民主、愉悦和谐 的教学氛围中猎取新学问,提高才能,促进思维进展因此,采纳争论式、启示 式的教学方法4关于教学过程1利用同学已清晰的学问,转换条件提出问题,通过自己动手和联想,为 类比地探究双曲线的定义奠定基础,最终推出双曲线的定义2在双曲线的标准方程的推导过程中,揭示科学试验的规律,奇妙地把学 生从旧学问引向新学问, 使学问过渡那么自然, 同学学起来不感到困难 表达数学发觉的本质,培育同学合情推理才能、规律思维才能、科学思维方式、实事求是的科学态度及勇于探究