双曲线与方程知识点归纳总结例题习题精讲

1、课程星级： 知能梳理 一,双曲线的定义 1 , 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F 1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1 F2|） 的 点 的 轨 迹 （ PF1 PF2 2a F1F2（ a为常数）；这两个定点叫双曲线的焦点； 要留意两点： （ 1）距离之差 的确定值；（ 2） 2a |F 1F 2|； 当 |MF 1| |MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； 当 |MF 1| |MF 2|= 2a 时,曲线仅表示焦点 F 1 所对应的一支； 当 2a=|F 1F 2|时,轨迹是始终线上以 F1, F2 为端点向外的两条射

2、线； 当 2a |F 1F 2|时,动点轨迹不存在； 2,其次定义： 动点到确定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 ee1时,这个动点的轨迹是双曲 线；这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线； 2a ,其中 | F F |=2c） 二,双曲线的标准方程（ b22 c 焦点在 x 轴上： 2 x 2 y 1（ a 0,b 0） a 2 b 2 第 1 页,共 16 页2 2焦点在 y 轴上： y x 1 （ a 0,b 0） a 2 b 2 2（1）假如 x 项的系数是正数, 就焦点在 x 轴上；假如 y 2 项的系数是正数, 就焦点在 y 轴上 ； a 不愿定大

3、于 b； 2 2 2 2（ 2）与双曲线 x 2 y 2 1 共焦点的双曲线系方程 2 x 2 y 1a b 是 a k b k 2 2（ 3）双曲线方程也可设为： x y 1mn 0 m n需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 三,点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系 1,点与双曲线 点 P x0 , y0 在双曲线 x a2 2y b2 21a 0, b 0 的内部 -2 x 02 y 01a2b2点 P x0 , y0 在双曲线 2 x

4、2 y 1a 0, b 0 的外部 2 x0 2 y0 1a2b2a2b2点 P x0 , y0 在双曲线 2 x 2 y 1a 0, b 0 上 2 x0 2 a 2 y0 =1 a2b22 b 2,直线与双曲线 代数法： 2 2设直线 l : y kx m ,双曲线 x 2 y 2 1 a 0, b 0 联立解得 a bb 2 a 2 k 2 x 22a 2 mkx a 2m 2 a 2b 2 0（ 1） m 0 时, bk b,直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） ； a ak b, k b,或 k 不存在时,直线与双曲线没有交点； a a（ 2） m 0 时, k 存在时,如

5、b 2 a 2 k 2 0 , k ba,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2如 b a k 0 , 2 a mk 4b a k a m a b 4a b m b a k 2 2 2 2 0 时, m b a k 0 ,直线与双曲线相交于两点； 2 2 2 2 0 时, m b a k 0 ,直线与双曲线相离,没有交点； 第 2 页,共 16 页2 0 时 m b22 2 a k 2 0 , k 2 mb2直线与双曲线有一个交点； a2k 不存在, a m a 时,直线与双曲线没有交点； 0, b 0 m a或

6、 a线与双曲线相交于两点； m 3,过定点的直线与双曲线的位置关系： 设直线 l : y kx m 过定点 P x0 , y0 ,双曲线 2 x 2 y 1a a2b2（ 1）当点 Px0 , y0 在双曲线内部时： k bbk b,直线与双曲线两支各有一个交点； aab a,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点； k 或 k b或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点； aa（ 2）当点 Px0 , y0 在双曲线上时： k b或 k 2 b x0 ,直线与双曲线只交于点 P x0 , y0 ； b； a2 a y0 bk b直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） aak

7、 2 b x0 （ y0 0 ）或 bk 2 b x0 （ y0 0 ）或 k 或 k 不存在,直线与双曲线在一支上有 2 a y0 a2 a y0 a两个交点； 当 y0 0 时, k bb或 k 不存在,直线与双曲线只交于点 Px0 , y0 ； ； ak 或 k b时直线与双曲线的一支有两个交点； aabk b直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点） aa（ 3）当点 Px0 , y0 在双曲线外部时： 当 P 0,0 时, bk b a,直线与双曲线两支各有一个交点； bak 或 k b a或 k 不存在,直线与双曲线没有交点； a当点 m 0 时, m 2 a2b2 时,过点 P

8、 x0 , y0 的直线与双曲线相切 k 第 3 页,共 16 页k b时,直线与双曲线只交于一点； a需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 四,双曲线与渐近线的关系 1,如双曲线方程为 2 x 2 y 1a 0, b 0 渐近线方程： 2 x 2 y 0y b ax a22 ba22 b2,如双曲线方程为 2 y 2 x 1（ a0,b0） 渐近线方程： 2 y 2 x 0y a bx a2b2a2b23,如渐近线方程为 y bx x y 0双曲线可

9、设为 2 x 2 y , 0 ； 0 ,焦点在 x 轴上, aaba2b24,如双曲线与 x 2 2ay 2 2by 2 2 bx 2 2a1有公共渐近线,就双曲线的方程可设（ 为 0 ,焦点在 y 轴上） 五,双曲线与切线方程 1,双曲线 2 x 2 y 1a 0,b 0 上一点 P x0 , y0 处的切线方程是 x0 x y0 y 1； y0 y 1； a2b2a2b22,过双曲线 2 x 2 y 1a 0,b 0 外一点 P x0 , y0 所引两条切线的切点弦方程是 x0 x a2b2a2b23,双曲线 x 2 2ay b2 21a 0,b 0 与直线 Ax By C2 2 0 相切

10、的条件是 A a 2 2 B b 2 c ； 需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 六,双曲线的性质 双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） 标准方程（焦点在 y 轴） 2 x 2 y 1a 0, b 0 2 y 2 x 1a 0, b 0 a2b2a2b2第 4 页,共 16 页第确定义：平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的确定值是常数（小于 F1 F2 ）的 点的轨迹叫双曲线；这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距； 定义 M MF1

11、 MF2 2a 2a F1F2 F 和一条定直线 ly y x x P y y F2 x x F1 F2 其次定义：平面内与一个定点 P e ,当 e 1 时, F1 的距离的比是常数 动点的轨迹是双曲线；定点 F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 e （ e 1 ）叫做双曲线的离心率； P y y P x x P y y F2 x x F F 2P F1 范畴 x a , y Ry a , x R对称轴 x 轴 , y 轴；实轴长为 2a,虚轴长为 2b F1 0, c F2 0, c 对称中心 原点 O0,0 F1 c,0 F2 c,0 焦点坐标 顶点坐标 离心率 准线方程

12、焦点在实轴上, c a2b2；焦距： F1F2 2c （ a ,0） a ,0 0, a , 0, a ec e a1, c2 a2 b 2 , e 越大就双曲线开口的开阔度越大 x a2y a2c c 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2 2a c 顶点到准线的距离 顶点 A1 （ A2 ）到准线 l 1 （ l 2 ）的距离为 aa2b2c 顶点 A1 （ A2 ）到准线 l 2 （ l1 ）的距离为 a2ac 焦点到准线的距离 焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l 2 ）的距离为 c a2c c 第 5 页,共 16 页渐近线方程 焦点 F1 （ F2 ）到准线

13、l 2 （ l1 ）的距离为 a2c 虚 实 0 ） c y bx 虚 实 x by aa共渐近线的双曲线系 2 x 2 y k （ k 0 ） 2 y 2 x k （ k 方程 a2b2a2b2双曲线 2 x 2 y 1 与直线 y kx b 的位置关系： 直线和双曲线的位置 a2b2利用 x a2 y b2 1 转化为一元二次方程用判别式确22y kx b定； 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行； 过双曲线上一点的切 相交弦 AB 的弦长 AB 2 1 k x1 2 x2 4x1x2 1或利用导数 通径： AB y2 y1 y0 y x0 x x x y y 1 或利用导数 a2b2线

14、 a2b2七, 弦长公式 1,如直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A ,B ,且 x1, x2 分别为 A , B 的横坐标, , | a | 就 AB x1 2 x2 y1 2 y2 , AB 2 k 1 x1 x2 2 k 1x1 x2 24x1 x2 2 1 k 如 y1, y2 分别为 A , B 的纵坐标,就 AB 11 y1 y2 11y1 y2 24 y1 y2 ； 2 k 2 k 2,通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A , B 两点,就弦长 | AB | 2 2b ； a3,如弦 AB 所在直线方程设为 x ky b ,就 AB 1k 2 y 1y

15、2； 4,特别地,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解 八,焦半径公式 双曲线 2 x 2 y 1 （ a 0, b 0）上有一动点 M x0 , y0 aa2 b 2 当 M x0 , y0 在左支上时 | MF1 | ex0 a , | MF 2 | ex0 当 M x0 , y0 在右支上时 | MF1 | ex0 a , | MF 2 | ex0 a第 6 页,共 16 页注：焦半径公式是关于 x0 的一次函数,具有单调性,当 M x0 , y0 在左支端点时 | MF1 | c a , | MF 2 | c a ,当 M x0 , y0 在左支端点时

16、| MF1 | c a , | MF2 | c a九,等轴双曲线 x 2 2ay b2 1 （ a 0, b 0）当 ab 时称双曲线为等轴双曲线 21； a b ； 2；离心率 e 2 ； y= x ； 0 ； 3；两渐近线相互垂直,分别为 4；等轴双曲线的方程 2 x 2 y , 5； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项； 十,共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴, 实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线, 通常称它们互 为共轭双曲线； 共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆； 它们的离心率的倒数的平方和 等于 1； 需要更多的高考数学复习资料

17、 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 精讲精练 【 例 】如以下图, F 为双曲线 C : x 2 9y 2 16 1 的左焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7 ii1,2,3 关于 y 轴对 称,就 P1F P2 F P3 F P4 F P5 F P6 F 的值是（ ） 第 7 页,共 16 页A 9 B 16 C18 D 27 解： P1F P6 F P2F P5F P3F P4 F 6 ,选 C 2【 例 】设 P 为双曲线 x 2 y 1 上的一点 F ,F 是该双

18、曲线的两个焦点,如 |PF 1|：|PF2|=3：2,就 PF1F2 12 的面积为 （ ） A 6 3 B 12 C 12 3 D 24 解： a 1,b 12, c 13,由 | PF1 |:| PF2 | 3 : 2 又 | PF1 | | PF2 | 2a 2, 由,解得 | PF1 | 6,| PF2 | 4. 2 2 2| PF1 | | PF2 | 52,| F1F2 | 52, PF1 F2为 直角三角形, 1 1S PF F 1 2 | PF1 | | PF 2 | 64 12. 应选B； 2 2【 例 】某中心接到其正东,正西,正北方向三个观测点的报告：正西,正北两个观测点

19、同时听到了一声巨 响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨 响发生的位置 .假定当时声音传播的速度为 340m/ s : 相关各点均在同一平面上 思路：时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的 解：如图,以接报中心为原点 O,正东,正北方向为 x 轴, y 轴正向,建立直角坐标系 . y P O CB x A 设 A ,B , C 分别是西,东,北观测点,就 A （ 1020, 0）, B（ 1020, 0）,C（ 0, 1020） 设 P（ x,y）为巨响为生点,由 A ,C 同时听到巨响声,得 |PA|

20、=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上, PO 的方程为 y= x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故 |PB| |PA|=340 4=13602 2由双曲线定义知 P 点在以 A, B 为焦点的双曲线 x 2 y 2 1 上,依题意得 a=680, c=1020 , a b2 2 2 2 2 2b c a 1020 680 5 340 故双曲线方程为 x 2 2 y 2 2 1680 5 340 用 y= x 代入上式,得 x 680 5 , |PB|PA|, x 680 5, y 680 5 ,即 P 680 5 ,680 5 ,故 PO 680 10 答：巨响发生

21、在接报中心的西偏北 45 距中心 680 10m 处 . 第 8 页,共 16 页【 例 】已知双曲线 2 x 2 y 1 的离心率 e23 ,过 Aa,0, B0, b 的直线到原点的距离是 3 . 2求双曲 a2b23线的方程； 解：（ 1） c 233, 原点到直线 AB： x ay 1 的距离 dab ab 320 , a2 b2 c 2abb1, a 3 . . 故所求双曲线方程为 x 2y 21 . 10,就此双曲线的方程为 3【 例 】已知双曲线的渐近线方程是 y x ,焦点在坐标轴上且焦距是 2解：设双曲线方程为 x2 4 y2,当 0 时,化2510 2 x 2 y 1 ,

22、2510 44为 420 当 0 时,化为 2 y 2 x 1 , 2510 20 , 44综上,双曲线方程为 2 x 2 y 1或 2 y 2 x 120 5520 【 例 】已知双曲线 E 的中心为原点, F3,0 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中 点为 N 12, 15,就 E 的方程 2 2解：设双曲线的标准方程为 x a 2 2 1 a0, b0 ,由题意知 c3, a y b 2 b 2 9, 2 2x1 y1 a 2 21, b 设 Ax1, y1, Bx2, y2,就有： 2 2x2 y2 a 2 2 1, b 两式作差得： y1

23、 y2x1 x2 ba 22 x1 x2y1 y2 12b 15a 2 2 4b 5a 22, 150 又 AB 的斜率是 123 1,所以将 4b25a2 代入 a2b29 得 a2 4, b2 5. 2 2所以双曲线的标准方程是 x y 4 5 1. 需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 2【 例 】已知双曲线 C 与双曲线 x 2 y =1 有公共焦点,且过点（ 3 2, 2）.求双曲线 C 的方程 16 42 2解： 法一：设双曲线方程为 x

24、y =1. 由题意易求 c=2 5 . a 2 b 2 第 9 页,共 16 页又双曲线过点（ 3 2 , 2）, 3 2 2 42b=1. 2 2又 a +b =（ 2 52） 2 2, a =12 , b =8. 2 y a2故所求双曲线的方程为 x 2 12 y 2 8=1. 法二：设双曲线方程为 2 x k 2 y 4 k 1,将点（ 3 2 ,2）代入得 k=4,所以双曲线方程为 2 x 16 12 81. 【 例 】已知双曲线的渐近线方程是 y x ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,就此双曲线的方程为 2解：设双曲线方程为 2 x 2 4 y , 510 20 , 当 0 时,化为

25、2 x 2 y 1 , 244当 0 时,化为 y2 y2 1 , 2510 20 , 44综上,双曲线方程为 x 2 20 y 2 51 或 y 2 5x 2 20 1【 例 】已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2,0,右顶点为 3, 0 1 求双曲线 C 的方程； 2如直线： y kxmk0,m 0与 双曲线 C交于不同的两点 1,求实数 m 的取值范畴 x 2 y 2解析： 1设双曲线方程为 a 2 2 1a 0, b 0 b 由已知得 a 3, c2. 又 a 2 b 2 c 2,得 b 2 1. 2故双曲线 C 的方程为 x y 2 1. 3M, N,且线段 MN 的垂直平分线

26、过点 A0, y kxm , 2联立 2 x y 2 1 3整理得 1 3k2 x 26kmx3m2 3 0. 直线与双曲线有两个不同的交点, 2 1 3k 0 2 0 12m 2 1 3k可得 m2 3k 2 1 且 k2 13 设 Mx1, y1,Nx2, y2 ,MN 的中点为 B x0, y0 就 x1 x2 13k 6km 2, x0 x1 x2 2 1 3k 3km 2, y0 kx0 m 13k m 2. m 21 由题意, AB MN , kAB 1 3k 3km 2 1kk0, m 0 1 3k 整理得 3k 2 4m 1 第 10 页,共 16 页将代入,得 m 2 4m

27、0, m 0 或 m 4. 又 3k 2 4m 1 0k0, 即 m 14 . m 的取值范畴是 1 4, 0 4, a 的值；如不 【 例 】已知直线 y ax 1 与双曲线 3x2 2 y 1 交于 A , B 点； （ 1）求 a 的取值范畴； （ 2）如以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值； （ 3）是否存在这样的实数 a ,使 A , B 两点关于直线 y 1 x 对称？如存在,请求出 2存在,说明理由； y ax 1 2 2 解：（ 1）由 2 2 消去 y ,得 3 a x 2ax 2 0 （ 1） 3x y 12依题意 3a 0 即 6 a 6 且 a 3 （ 2

28、） 0 x x 2 2a 2 3 （ 2）设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ,就 3 a x x 2 22 4 3 a 以 AB 为直径的圆过原点 OA OB x1 x2 y1 y2 0但 y1 y2 a x1 x2 2ax1 x2 1 由（ 3）（ 4）, x1 x2 3 2a a 2, x1 x2 3 2a 2 a 21 3 2a 2 a3 2a a 2 1 0 解得 a 1 且中意（ 2） （ 3）假设存在实数 a ,使 A , B 关于 y 1 x 对称,就直线 y ax 1 y 1x 垂直 2 与 2 a 1 1 ,即 a 2 直线 的方程为 l y 2x 12将 a

29、2 代入（ 3）x1 x2 4 AB 中点的横坐标为 2 纵坐标为 y 221 3得 但 AB 中点 2, 3 不在直线 y 1 x 上,即不存在实数 a ,使 A, B 关于直线 y 1x 对称； 2 2【 例 】已知双曲线 C 的中心是原点, 右焦点为 F 3,0,一条渐近线 m: x+ 2 y 0 ,设过点 A 3 2, 0 的 v 直线 l 的方向向量 e 1,k ； （1） 求双曲线 C 的方程； （2） 如过原点的直线 a / l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值； 6. （3） 证明：当 k 2时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 的距离为 2第 11

30、 页,共 16 页解：（ 1）设双曲线 C 的方程为 x2 2 y20 需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 23 ,解得 2 , 双曲线 C 的方程为 x y 212 2（ 2）直线 l : kx y 3 2 k 0 ,直线 a : kx y 0由题意,得 | 3 2k | 1 k 2 6 ,解得 k 2 2（ 3）证明 方法一 设过原点且平行于 l的直线 b : kx y 03 2 | k | 2就直线 l 与 b 的距离 d1 k 2 ,当 k

31、2 时, d 6 又双曲线 C 的渐近线为 x 2 y 0双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, 双曲线 C右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 ； 故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l的距离为 6 方法二 假设双曲线 C 右支上存在点 Q x0 , y0 到直线 l 的距离为 6,就 | kx0 1 y0 k 32 2k 6 1 2 2x0 2 y0 2 2 2 2由（ 1）得 y0 kx0 3 2k 6 1 k 设 t 3 2k 6 1 k , 2当 k 2 2时, t 3 2k 6 1 k 20 ； t 3 2k 6 1 k 263k 2k 21 1k 2 0将

32、y0 kx0 t 代入（ 2）得 1 2k x0 2 24ktx0 2t 21 02 2 2k , t 0 , 1 2k 0, 4kt 0, 2t 1 0 方程 * 不存在正根,即假设不成立, 2故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l的距离为 6需要更多的高考数学复习资料 请在淘 .宝 .上 .搜 .索 .宝 .贝 .： 高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 详细解答 A,B. 或者搜 .店 .铺 .： 龙奇迹学习资料网 【 例 】设双曲线 2 C： xa 2 y 2 1a 0与直线 l： x y1 相交于两个不同的点 1求双曲线 C 的离心率 e 的取值范畴； 第

33、 12 页,共 16 页2设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA 12 5 PB ,求 a 的值 2解： 1将 y 1 x 代入双曲线 x 2 y 2 1 中得 1 a2x 2 2a2 x2a 2 0 a1 a 20 所以 4a 4 8a 21 a 0 2, 解得 0 a 2,且 a1,又双曲线的离心率 e 1 a a 2 a 12 1, 0 a 2 且 a1, e 2且 e 2. 62设 Ax1, y1, Bx2, y2, P0,1 PA 12PB 5 , x1, y1 1 x2, y2 1由此得 x1 12 512x2 5由于 x , x 都是方程的两根, 1 2 且 1a 20,

34、1712x2 2a 1 a 22, 12 5x2 2 1 a 2a 22. 消去 x2 ,得 1 a 2a 289 260 , a2 289 169 , a 17 13 . 由 a 0,得 a 17 【 例 】已知倾斜角为 45 的直线 过点 l A1 , 2 和点 B , B 在第一象限, | AB | 3 2 . 1 求点 B 的坐标； x 222 如直线 l 与双曲线 C : 2 y 1 a 0 相交于 E ,F 两点,且线段 EF 的中点坐标为 4 , 1 ,求 a 的值； a3 对于平面上任一点 P ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 | PQ | 的最小值为 P 与线段 AB

35、距 已知点 P 在 离 . x 轴上运动,写出点 Pt , 0 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式 . y x 3 解： 1 直线 AB 方程为 y x 3 ,设点 B x , y ,由 2 2 及 x 0 , y 0 得 x 4 , y 1 , x 1 y 2 18 点 的坐标为 B 4 , 1 （ 2）由 x 2 a 2 y y x 321 得 a 12 1x 2 6x 10 0 ,设 E x1, y1 , F x2 , y2 ,就 x x 2 1a 6 a 22 4 ,得 a 22 2（ 3） 解法一 设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q x , x 3 , | PQ

36、| t x x 3 , 2记 f x t x 2 x 3 22 x t 3 2 2 t 3 2 1 t 4 , 当 1 t 3 2 4时,即 1 t 5 时, | PQ | min f t 3 |t 3| 2, 当 t 3 2 4 ,即 t 5 时, f x 在 1 , 4 上单调递减, | PQ | min f 4 t 4 2 1 ； 当 t 3 2 1 ,即 t 1 f x 在 1 , 4 上单调递增, | PQ | min f 1 t 1 2 4 时, 2t 1 4 t 1 ; |t 3| 综上所述, ht 2 1 t 5 ; 2t 4 1 t 5 . 解法二 过 A , 两点分别作线段

37、 AB 的垂线,交 x 轴于 A 1 , 0 , B 5 , 0 , 当点 P 在线段 A B 上,即 1 t 5 时,由点到直线的距离公式得： | PQ | min |t 3| ； 2当点 P 的点在点 A 的左边, t 1 | PQ |min | PA | t 1 2 4 ； 当点 P 的点在点 A 的右边, t 时, | PQ | min | PB | t 4 215 时, 第 13 页,共 16 页t 2 1 4t 1; 43,焦点到渐近线 综上所述, ht |t 3| 2 1t 5; 421t 5. t 【 例 】设 A, B 分别为双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1a0, b0

38、 的左,右顶点,双曲线的实轴长为 b 的距离为 3. 1求双曲线的方程； 2已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M, N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 OM ON t OD,求 t 的值及点 D 的坐标 解： 1 由题意知 a 2 3,一条渐近线为 y b2 3 x. 2 2x y 1. 12 3 即 bx 2 3y 0. |bc| 3. b 2 3双曲线的方程为 b 212 2设 Mx1, y1, N x2,y2, Dx0,y0,就 x1x2 tx0, y1 y2 ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2 16 3x 84 0, x0 4 3, y0 3 x0 4 3, 就 x1 x2 16 3, y1 y2 12. x0 y0 1.