2015-16自动控制原理808离散系统

1、第八章 线性离散系统的分析8.1 离散系统概述 8.2 信号的采样与复现8.3 z变换与反变换 8.4 离散系统的数学模型8.5 离散系统的性能分析1概述定义：系统中至少有一处信号在时间上是不连续的，即是脉冲序列或数码，这样的系统称为离散系统。类型： 采样（脉冲）控制系统：离散信号以脉冲序列形式出现。 数字（计算机）控制系统：离散信号以数码形式出现。8.1 离散系统概述采样信号数字信号2. 离散控制系统的组成采样器(A/D)保持器(D/A)检测环节e(t)c(t)b(t)d(t)控制器(计算机)受控对象r(t)S连续信号离散信号连续信号采样复现8.2 信号的采样与复现连续信号离散信号采样复现采

2、样开关S保持器Gh(s)8.2.1. 采样过程0+连续信号采样脉冲信号理想脉冲信号ST采样周期， 采样持续时间。一般：T，可近似认为0，得到理想脉冲。T采样周期，k正整数，kT为理想脉冲出现的时刻。 单位理想脉冲(t)幅值（强度）为1，宽度0的冲击波。单位理想脉冲序列为连续信号在采样瞬间的值。 显然，采样过程可以看成是脉冲调制过程，则：T单位理想脉冲序列采样信号的拉氏变换，与连续信号的拉氏变换很接近。采样过程的特点：采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样器=调制器。2. 采样间隔的信息将被丢失。3. 采样的输出信号可表示表示为两个信号的乘积。 决定采样时刻 决定采样信号的幅值8.2.2 采样定理

3、给出采样周期选取的原则傅里叶级数展开采样角频率傅里叶系数离散信号与连续信号的频谱关系由于在 区间中，T(t)仅在t=0时刻有值，且：所以：定义：特点：（1）连续信号频宽为2h的单一频谱，经采样后，离散信号的频谱将沿频率轴以采样频率s为周期而无限重复。(a)连续信号频谱(b)离散信号频谱之一(s2h)正常(c)离散信号频谱之二(s2h) 畸变11/T（2）相邻两频谱不相互重叠的条件是：辅频谱k0理想低通滤波主频谱k=0采样定理（Shannon定理）： 设采样器输入端连续信号的最高频率为h ，则为了使采样信号能不失真的复现输入信号，采样器的采样频率应满足不等式：s2h 。8.2.3 零阶保持器（Z

4、OH）信号的复现：把采样信号恢复为原来连续信号的过程。理论实现方法：理想滤波器实际使用的方法：保持器保留各采样时刻之间的插值。 说明：定理给出了采样频率选取一个最基本的准则，而在实际工程中，为提高采样精度，一般总是取：s2h 。保持器：是一种时域外推装置零阶保持器（恒值外推）一阶保持器（线性外推）1.零阶保持器输出信号及特点ZOH主要特点：e(kT+)=e(kT),0(1) 输出信号是阶梯波，含有高次谐波。(2) 时间和相位滞后。2. 零阶保持器的频率特性分解ZOH(t)0 t1(a)理想单位脉冲(b)矩形方波脉冲考虑到：以及欧拉公式：ZOH的传函零阶保持器的频率特性ZOH的特性 ： 低通滤波

5、特性 。除主频谱分量通过外，还有部分辅频谱分量通过。 相角滞后特性，将使闭环系统的稳定性变差。 时间滞后特性，对系统的稳定性不利。ZOH的频率特性3. 零阶保持器的近似实现取前两项取前三项8.3 z变换及z反变换意义 与连续系统中应用拉氏变换类似，在离散系统中应用z变换，也是为了把s的超越方程或描述离散系统的差分方程转换为z的代数方程，然后写出离散系统的脉冲传递函数（z传递函数），再用z反变换法求出离散系统的时间响应。即：E(s)或差分方程z变换代数方程E(z)z反变换8.3.1 z变换的定义对于采样信号 其表达式为(设n0时，e(t)=0)：L引入z变换算子:则：e*(t)的z变换为 是一种

6、无穷级数之和说明： 通常情况下，一个连续函数如果可求其拉氏变换，则其z变换也可相应求得；如果拉氏变换在s域收敛，则其z变换通常也在z域收敛。 在z变换过程中，由于考虑的仅是连续时间函数经采样开关采样后的离散时间函数脉冲序列，或者说考虑的仅是连续时间函数在采样时刻上的采样值，因此上式表达的仅是连续信号在采样时刻上的信息，而不反映采样时刻之间的信息。 为书写方便，通常记为：常用函数的z变换见P284附录A。级数求和法 直接将级数展开，用数列公式计算：tnT例8-1 求单位阶跃采样信号1*（t）的z变换 。8.3.2 z变换的三种方法解：由于E(z)nTnn例8-2 求e-at (a0) 的E(z)

7、。E(z)anTnn2. 部分分式法思路：e(t)E(s)按部分分式法展开查附录表AE(z)例8-3 求解 的z变换 。查表A可得：解:例8-4 求正弦函数e(t)=sint 的z变换。 解:查附录表A得：化简整理得：3. 留数计算法 设pi为连续函数e(t)的拉氏变换E(s)的所有极点，则可用留数（res）计算法求z变换，即：当E(s)具有一阶极点s=p时,对应当E(s)具有q阶重复极点s=p时,其留数为定义：例8-5 求的z变换解:例8-6 求的z变换解:两阶重极点!同理可求得：1. 线性定理2. 实数位移（平移）定理3. 终值和初值定理4. 复数位移定理5. 卷积定理8.3.3 z变换的

8、基本性质设：E1(z) = Ze1(t), E2z = Ze2(t)可见：算子z有明确的物理意义。z-k代表滞后环节，它将采样信号向后延迟k个采样周期；zk代表超前环节，它把采样信号超前k个采样周期。但zk仅用于运算，在物理系统中并不存在。1. 线性定理则：2. 实数位移(平移)定理滞后定理和超前定理 含义：指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期。左移为超前，右移为滞后。 作用：相当于拉氏变换中的微、积分定理，可将离散系统时间（nT）域的差分方程转换为z域的代数方程。滞后定理：超前定理：3. 复数位移定理4. 初值定理5. 终值定理用于求取系统的稳态误差。 6. 卷积定理意义：卷积定理指出，两个采样函数卷积的z变换，就等于两个采样函数z变换的乘积。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域和z域的桥梁。注：符号“”表示卷积； “ ”表示乘积。8.3.4 z反变换定义: 所谓z反变换，是已知z变换的表达式E(z)，求相应离散序列e(nT)的过程。即：求解方法：部分分式法、幂级数法 、反演积分（留数）法。（1） 部分分式法（因式分解法，查表法） 基本思想：先将E(z)展开成部分分式的形式，通过查z变换表找出相应的 。 考虑到z变换表中，所有z变换函数E(z)的分子上都含有因子z，所以应将E(z)/z展开为部分分式，然后查表。其步骤如下：例8.7 求的Z反变