06年数学真题及解析数三

1、2006 年入学数学三试题一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分把填在题中横线上（1） lim( n 1)(1)nnn【】1【考点】数列极限的定义【难易度】【详解】(1)n ln n1n(1)n1 n 1nlimlim (1) ln(1 ) e n e n e0 1.：方法一： limnnn方法二：令u ( n 1)(1)n ， n 1, 2,3,，则当 n 2k 1 时，nn)1 2k 1 1 1 2k11u (；n2k 1n 12k2k ( 2k 1)1 1 1 1 ,1当 n 2k 时， un2k2knlim( n 1)(1)n 1.故nn（2）设函数 f (x) 在 x

2、2 的某邻域内可导，且 f (x) e f (x) ，f (2) 1，则) f 2(【】 2e3【考点】复合函数的求导法则【难易度】【详解】：由题设可知 f (x) 在 x 2 的同一邻域内可导，由 f (x) e f ( x ) ，有f (x) (e f ( x ) ) e f ( x ) f (x) e2 f ( x )f (x) (e2 f ( x) ) e2 f ( x) (2 f (x) 2e2 f ( x) f (x) 2e3 f ( x) 以 x 2 代入，得 f (2) 2e3 f (2) 2e3 .) 1 ，则 z f (4x2 y2 ) 在点(1, 2) 处的全微分f f

3、(u) 可微，且（3）设函数2 dz(1,2)【】 4dx 2dy【考点】多元函数的全微分【难易度】【详解】z：方法 1：求偏导数， f (4x2 y2 ) 8x,zy f (4x2 y2 )(2y) .x以 x 1, y 2, f (0) 1 ，代入得2 f (4x 2 y 2 ) 8xdx f (4x 2 y 2 )(2y)dy 4dx 2dy .dz(1,2)(1,2)方法 2：由一阶全微分形式不变性dz f (4x2 y2 ) d(4x2 y2 ) f (4x2 y2 ) (8xdx 2 ydy) 2 f (4x2 y2 ) (4xdx ydy) 令 x 1 ， y 2 代入，于是dz

4、 | 2 f (0)(4dx 2dy) 4dx 2dy ,12（4）设矩阵 A ，E 为 2 阶矩阵，矩阵 B 满足 BA B 2E ，则 B12【】2【考点】抽象型行列式的计算【难易度】【详解】：由 BA B 2E 得 B( A E) 2E ，两边取行列式，有B A E 4 11 2 ，所以因为| A E | 2 B1 1（5）设随量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3 上的均匀分布，则PmaxX ,Y 1 19【】【考点】连续型随量分布函数的计算【难易度】【详解】： Pmax( X ,Y ) 1 PX 1,Y 1 Px 1PY 1 1 . 1 1 3 39f (x) 1 e x (

5、x ) ，X1，X2，Xn 为总体 X 的简（6）设总体 X 的概率密度为2单随机样本，其样本方差为 S2，则 ES 2 【】2【考点】样本方差【难易度】【详解】：因为 E(S 2 ) D( X ) ，故只要计算 D( X ) .X 概率密度 f (x) 是偶函数，所以 E( X ) 0D( X ) E( X ) E( X ) E( X ) x f (x)dx 2x f (x)dx222220 x e dx 2 .2 x0二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内（7）设函数 y f (x) 具有二阶导数

6、，且 f (x) 0 ，f (x) 0 ，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（）（A）0dyy（C）ydy0（B）0ydy（D）dyy0，【】（A）【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性【难易度】【详解】：方法 1：因为 f (x) 0, 则 f (x) 严格单调增加f (x) 0, 则 f (x) 是凹的又x 0 ，故0 dy y .方法 2：用两次日中值定理 y dy f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x f ( )x f (x0 )x f ()( x0 )x, x0 其中由于 f (x) 0

7、 ，从而 y dy 0又由于 dy f (x0 )x 0 ，故选 A.2f (x) 在 x 0 处连续，且lim 1，则（8）设函数）h2h0（A） f (0) 0 且 f ) 存在（B） f (0) 1且 f ) 存在（C） f (0) 0 且 f （D） f (0) 1且 f ) 存在) 存在【】（C）【考点】导数的概念【难易度】【详解】：因为 f (x) 在 x 0 处连续，所以f (0) lim f (x) lim f (x)x h 2 lim f (h 2)x0 x0h0f (h2 ) limh 02h2h0f (x) f (0)f (h 2)x h lim21,又 limx 0h

8、2x0h0所以 f(0) 存在，故选C .（9）若级数an 收敛，则级数（n1）（A） | an1（B） n1|收敛)n a收敛nnn 2（C） （D） n1n1n1 收敛收敛nn1【】（D）【考点】收敛级数的基本性质【难易度】【详解】：方法一：题设 an 收敛，所以 an1 也收敛，所以(an an 1) 收敛，n1n1n1从而 an an 1也收敛.选 D.2n1方法二：排除法.(1)n11n1设a 是条件收敛的级数，于是 an1 n1， (1)n a ，nnnnnn1n1n1n1(1)2n11 anan1 n1，它们都发散选 D.n(n 1)n(n 1)n1n1（10）设非线性微分方程

9、y P(x) y Q(x) 有两个不同的解 y1 (x) ， y2 (x) ，C 为任意常数，则该方程的通解是（）（A） C y1 (x) y2 (x)（B） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) （C） C y1 (x) y2 (x)（D） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) 【】（B）【考点】线性微分方程解的性质；线性微分方程解的结构定理【难易度】【详解】：线性非微分方程的两个解的差是对应的微分方程的解.因为 y1 (x) y2 (x) ，所以( y1 (x) y2 (x) 是微分方程的一个非零解， C 是任意常数，所以C( y1 (x) y2 (x) 是对应的得原非方程

10、的通解，选 B .（11）设 f（x，y）与 （x，y）均为可微函数，且y （x，y）0，已知（x0，y0）是 f（x，y）在约束条件 （x，y）0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（A）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，则 f y (x0 , y0 ) 0 微分方程的通解.再加上原非方程的一个特解，便（B）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，则 f y (x0 , y0 ) 0 f y (x0 , y0 ) 0 f x (x0 , y0 ) 0 ，则（C）若（D）若 f x (x0 , y0 ) 0 ，则 f y (x0 , y0 ) 0 【】（D）【考点】多元函数极值存在的

11、必要条件；日乘数法【难易度】【详解】：引入函数 F (x, y, ) f (x, y) (x, y) ，有F (x, y) 0(1)(2)F=f (x, y) (x, y) 0yyyF = (x, y) 0 f y(x0 , y0 )代入（1）得f y(x0 , y0 )x (x0 , y0 ) (x , y ) 0, f (x , y ) y00 (x , y )x00 (x , y )y00y00若 fx(x0 , y0 ) 0 ，则 f y(x0 , y0 ) 0 .故选 D.（12）设1 ,2 ,s 均为 n 维列向量，A 是 m n 矩阵，下列选项正确的是（A）若1 ,2 ,s 线性

12、相关，则 A1 , A2 , A s 线性相关（B）若1 ,2 ,s 线性相关，则 A1 , A2 , A s 线性无关（C）若1 ,2 ,s 线性无关，则 A1 , A2 , A s 线性相关（D）若1 ,2 ,s 线性无关，则 A1 , A2 , A s 线性无关）【】（A）【考点】向量组线性相关的判别法【难易度】【详解】：方法 1：若1 ,2 , s 线性相关,则存在不全为0 的数 k1 , k2 , ks 使得k11 k22 ks s 0用 A等式两边,得k1 A1 k2 A2 ks A s 0于是 A1 , A2 , A s 线性相关.方法2 ：因为：1.1 ,2 , s 线性相关

13、r(1,2 , s ) s .2. r( AB) r(B) .所以有：矩阵( A1, A2 , A s ) A(1,2 , s ) ,因此r( A1, A2 , A s ) r(1,2 , s ) s由此可判断应为 A .（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 21列得 C，记 P 0 ，则（ ）（A） C P1AP 1（B） C PAP1 （C） C PT AP （D） C PAPT 【】（B）【考点】矩阵的初等变换；逆矩阵的计算【难易度】【详解】 11100 ：将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，即 B 00

14、A = PA 01 10 1 10将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C ，即C B 00 记 BQ 01 1 10 10 10 110因 PQ 00 00 E ，故Q P1 01 01 从而 C BP1 PAP1,故选 B .（14）设随量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ，随量 Y 服从正态分布 N ( , 2 ) ，且1122P X 1 1 P Y 2 1 ，则必有（ ）（A） 1 2 （C） 1 2 （B） 1 2 （D） 1 2 【】（A）【考点】标准正态分布【难易度】【详解】 1X1： P( X 1 1) P( ),11X - 1 N (0,1) ，且其概率密度函数

15、是偶函数.随量1 1 2P 0X 1X 11112() (0) 2() 1 .故 P1 1 1111 1) 2( 1 ) 1同理 P( Y 22因为 (x) 是单调函数，当 P| X | 1 P| Y | 1 时， 2( 1 ) 1 2( 1 ) 1 ，121211即，即 ，故选 A .1212三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分 7 分）1 y sin xyy设 f (x, y) ， x 0 ， y 0 求1 xyarctan x（） g(x) lim f (x, y) ；（） lim g(x) yx0【考点】等价无穷小；法则【难易

16、度】【详解】1 y sin xyy：() g(x) lim f (x, y) lim ,1 xyarctan xyy x x yy11 x,由于 x 0 ，所以lim y sin lim y lim,xlimy 1 xyy1 xyyyy所以 g(. 2（） lim g(arctan x1（12）arctan lim .等lim2（x 1 x2）x2 x02xx0 x0（16）（本题满分 7 分）计算二重积分 y2 xy x y ，其中 D 是由直线 yx，y1，x0 所围成的平面区域D【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】：积分区域 D 如右图，由被积函数分析知，先积 x 较为简单

17、1yDy xydxdy dyy2 xydx2001 3 x y121y dy y 2 xyd (y 2 xy ) (y 2 xy ) 2 dyx 0y3y000 1 22y2dy y3 1 2 .03990（17）（本题满分 10 分）证明：当0 a b 时， b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a 【考点】函数单调性的判别【难易度】【详解】2 cos x x证明：令 f (只需证明0 x 时, f (x) 单调增加（严格）f (cos x 2 sin x f (sin x 0sin f (x) 单调减少（严格）又 f ( ) cos 0 ，故0 x 时 f (

18、x) 0则f (x) 单调增加（严格）由b a则f (b) f (a) ，即b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a .（18）（本题满分 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M (1, 0) ，其上任意点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于 ax （常数 a 0 ）（）求 L 的方程；（）当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 8 时，确定 a 的值3【考点】导数的几何意义；微分方程的简单应用；平面图形的面积【难易度】【详解】：()设所求的曲线方程为 y y(x) ，按题意，在其上任意一点P(x, y) 处

19、的切线斜率 y 与OP 的斜率 y 的差等于 ax(a 0, x 0) ，x即有 y y ax .x并且有初始条件 y(1) 0 .，按一阶线性微分方程解的公式，y e有dx C eln x axeln xdx C x adx C x(ax C)由 y(1) 0 定出C a ，于是所求的曲线方程为y ax(x 1), a 0 .() 直线 y ax 与曲线 y ax(x 1) 的交点(0, 0) 与(2, 2a) .直线 y ax 与曲线 y ax(x 1) 所围平面图形的面积4a 322S (a) ax ax(x 1)dx 2ax ax dx 48按题意， a ，故 a 2 .33（19）（

20、本题满分 10 分）200 )1x求幂级数的收敛域及和函数 S(x) ( )n1【考点】幂级数的收敛域的求法；简单幂级数的和函数的求法【难易度】【详解】(-1）n x2n3(-1）n-1 x2n 1(n 1)(2n 1)(-1）n-1 x2n 1u：记u lim x n12， 有 limnn(2n -1)unnnn(2n -1)故知当 x2 1 即 1时，原级数绝对收敛；当 x2 1 ，即1 时，原级数通项不趋于 0，xx(-1）n-1，级数un 绝对收敛，故收敛n1级数发散，所以收敛半径 R 1 .在 x 1 处unn(2n -1)域为1,1 .为求和函数，应先在收敛区间内进行，(-1）n-

21、12n(-1）n-1 x2nn1令 f (x) n1由n(2n1)n(2n -1)n12n 1f (x) (n1(-1）n-1有n(2n -1)n(2n -1)2n -1n1n1n12(-1）n-1 x2n 1n12(-1）n-1 x2n 1n1f (x) (n-1 2n 2) ) 2(-1） x2n -12n -1 2 1 x2 2(-1）xn 2n.n02x再倒回去，有 f (x) f (0) f (t)dt 0 xdt 2 arctan x1 t200 xxf (x) f (0) f (t)dt 0 2arctan xdt00 x x 2 dt 2 x arctan t - ln(1 x

22、 2) .= 2arctan t01 t20(-1）n-1 x2n 1 2x arctan t - 1 .2于是n(2n -1)n1又因在 x 1 处，级数收敛，右边和函数的表达式在 x 1 处连续，因此，在 x 1 处上式仍成立，即有1n1 x2n1 n 2n 1s(x) n1 2x 2axc tan2), 1 x 1 .（20）（本题满分 13 分）设4 维向量组1 (1 a,1,1,1) ， (2, 2 a, a, a) ， (3, 3,3 a, 3) ，TTT234 (4, 4, 4, 4 a) ，问 a 为何值时， , , , 线性相关？当 , , , 线性相关时，T12341234

23、求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出【考点】向量组的极大线性无关组【难易度】【详解】：方法 1：记 A 1,2 ,3 ,4 ，则1 a11122 a22333 a444122 a22333 a444 (10 a) 11134 a34 a12a0030a0400a (10 a) 0 (a 10)a 300于是当 a 0 或 a 10 时， 1 ,2 ,3 ,4 线性相关.当 a 0 时， 1 为1 ,2 ,3 ,4 的一个极大线性无关组，且2 21 ,3 31 ,4 41 .当 a 10 时,对 A 作初等行变换.9922221 003420001 0034A 7 33

24、01 010 00046400101001019 111011100 , , , 101234011由于 2 , 3 , 4 为 1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组，且 1 2 3 4 ，故2 ,3 ,4为1 ,2 ,3 ,4 的一个极大线性无关组，且1 2 3 4 .方法 2：记 A 1,2 ,3 ,4 ，对 A 施以初等行变换，有1 a1 a22 a22333 a4442a0030a0400aaaa111A B34 a当 a 0 时， A 的秩为 1，因而1 ,2 ,3 ,4 线性相关,此时1 为1 ,2 ,3 ,4 的一个极大线性无关组，且2 21 ,3 31 ,4 41

25、.a 0 时，再对 B 施以初等行变换，有1 aa 10 11121003010401 00001 000011110 C 1, 2 , 3 , 4 .B 01如果 a 10 ， C 的秩为 4，故1 ,2 ,3 ,4 线性无关;如果 a 10 时， C 的秩为 3，故1 ,2 ,3 ,4 线性相关.由于 2 , 3 , 4 是1 , 2 , 3 , 4 的一个极大线性无关组，且1 2 3 4 ，于是2 ,3 ,4是1 ,2 ,3 ,4 的一个极大线性无关组， 1 2 3 4 .（21）（本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元和均为 3，向量1 (1, 2, 1) ， (0,

26、1,1) 是TT2线性方程组 Ax 0 的两个解（）求 A 的特征值与特征向量；（）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ ；（）求 A 及( A 3 E )6 ，其中 E 为 3 阶矩阵2【考点】矩阵的特征值的计算；矩阵的特征向量的计算；正交化；相似对角矩阵【难易度】【详解】1 31（）因为 A1 3 31 ，所以 3 是矩阵 A 的特征值， (1,1,1)T 是 A 属于 3 的特 1 31 征向量.又 A1 0 01 ， A2 0 02 ，故1 ,2 是矩阵 A 属于 0 的特征向量.因此矩阵 A的特征值是 3，0，0. 3 的特征向量为 k (1,1,1)T ，其中 k 0 为常

27、数； 0 的特征向量为 k (1, 2, 1) k (0, 1,1)T ，其中 k , k 是不全为 0 的常数.T1212（）因为1 ,2 不正交，故要正交化，1 1 (1, 2, 1) ，T 1 1 0 (2 , 1 ) 1 3 2 1 0 ， 2 22( , )16 1 1 1 11 1 11 12 ， 10 ， 1化 6 2 123 1 1 3 0令Q ( ,) ，得QT AQ 026103 31 1123 6() 由 A(1,2 ,3 ) (0, 0, 3 ) 有11 1 01101 1111) 1 21 11 A (0, 0, 3 )( , ,0 1233 1111 1 311212记 B A 3 E 121 321 ，则 P1BP ，21 3 221其中 P (1,2 , )33于是 B6 P6 P 1 ( ) PEP( ) E .1 662（22）（本题满分 13 分）2设随量 X 的概率密度为1 x , 2f X x 1, x ,其他， 4,0令Y X 2 ， F (x, y) 为二维随量(