《高等数学(下册)》第八章练习题及答案

1、 高等数学（下册）第八章练习题及答案高等数学(下册)第八章练习题一、填空题1设z=sin(xy),贝賤=2设z=cos(x求曲线卩=2x2在点(121)处的切线方程与法平面方程。Iz=x3设z=z(x,y)是由方程F(x-z,y-z)=0确定的隐函数，F具有一阶连续偏导数，且F+F丰0,其中u=x-z,v=y-z,求竺，乞uvdxdyy),(1,2)3函数z=6(x-y)-x2-y2的极值点为4设z=exy,贝0dz=5设=ln，贝0竺=zyzx二、选择题1、函数f(xfy)=x求曲面x2-y2+xz=z2-3在点(1,2,1)处的切平面及法线方程。设u=gx2+y2+z2,而z=x2siny

2、，求更dx求曲线x=et,y=e-t,z=t，对应于t=0点处的切线和法平面方程。求函数z=x2y(4-x-y)在闭域x0,y0,x+y0)上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。 高等数学(下册)第八章练习题答案一、填空题11设z=sin(xy)则血=c_x_y_土d_2.设=cos(x2刃,则|_兀(%)(3，3)3函数z=6(x_y)_x2_y2的极值点为4.设z=exy,则dz=exy(ydx+xdy)5.设-=In-,则匹=zyOxx+z二、选择题1、函数f(x,y)=x3+y3_3x2_3y啲极小值点为(A)A.(2,2)B.(0,0)C.(2,0)D.(0,2)2、f(

3、x,y)在点(x,y)处偏导数(x,y)、广(x,y)存在TOC o 1-5 h z00 x00y00是f(x,y)在该点连续的(d)(a)充分条件，(b)必要条件，(c)充要条件，(d)既非充分条件又非必要条件.3、设f(x.y)=ln(x+召)，贝Of(1,1)=(B)2xx1155(A)3，(B)3，(C)6,(D)5.3366三、计算题r1、求曲线(y=2x2在点(121)处的切线方程与法平面方程z=x3解：y=4x,z=3x2切向量T=1,4,3n切线方程为畔=呼=弓143法平面方程为x一1+4(y一2)+3(z1)=0艮卩x+4y+3z一12=02、设z=z(x,)是由方程F(x-

4、z，y-z)=0确定的隐函数,F具有一阶连续偏导数，且F，+F丰0,UV其中u=x-z,v=y-z,求襄，襄&dy解：令f(x,y,z)=F(x-z,y-z)则f=Ff=F,f=-F一F,xuyvzuv饭fF=X=udxfF+FzuVFvF+Fuv或将F(x一z，y一z)=0两边对+y=4(x、ye0,4)上都是最小值0)求偏导得弋(1-|)+F；(罐)=0dzF=udxF+Fuv同理可求詈=FvF+Fuv3、求曲面x2-y2+xz=z2-3在点(1,2,1)处的切平面及法线方程解：令F(x,y,z)=x2一y2+xz一z2+3贝0F=2x+z,F=-2y,F=x一2zXyz故n=3,-4-1

5、切平面方程3(x-1)-4(y-2)-(z-1)=0艮卩3x-4y-z+6=0法线方程響=畔=耳3一4-1du4、=2xex2+y2+z2(1+2zsiny)=2xex2+y2+工他说y(1+2x2sin2y)dx5、切线方程弓=y-l=罕,法平面方程：x-y+z=o厶最大值为z(2,1)=4、最小值为Z=0(在整个边界：x=0(ye0,4),y=0(xe0,4),maxmin7、竺=-2sin(2x-y),dx矿sin(2x一y).dfdx=y3exy3、堂dy=3xy2exy3.9、极小值点为(一2,-1),f(2,1)=3.极小值解:竺=f+2df.+yfdxdxdudvdz=dx+冬d

6、y=(dxdydz_dfdy=dUdf+2+du=+xfidvyd)x+dv+xf)dy.dv解:密=一丄cos(xy)-sin(xy)dxx2xI=Xcos(xy)一ysin(xy)12、切平面方程为：6x一11y一14z+2=0法线方程为：一1=習.一6111413、四、解：点M到三条直线距离平方和为f(x,y)=x2+y2+(x+y+1)22解：由已知方程xz=siny+f(xy,z+y)的两边直接对y求偏导，得：dzdzdzcosy+xf+fx=cosy+xf1+(+1)f2当於时M=12dy1dy2dyxf2综合应用题1.在xoy平面上求一点M(x,y),使它到三条直线x=0,y=0

7、,x+y+1=0的距离平方和为最小，并求其最小值.fXfy11得唯一驻点(-4，4)由问题实际意义可得所求点为(-4，-且最小值为f(-4，-4)=2(提示：这是条件极值，用拉格朗日乘数法做)答案：所求点是(-).TOC o 1-5 h z141414五、证明题1设机u,v)具有连续偏导，证明由方程机axbz，aycz)=0所确定的函数z=f(兀,丁)满足力+c=adxdy证：令F(x,y,z)=e(axbz,ay一cz)MF=a，F=a，F=b一cxuyvzuvdzFadzadzdzab+ac=一x=u，=vb+c=uv=adxFb+cdyb+cdxdyb+czuvuvuvb+cuv注:如果直接将方程两边求导得：卄蚁I-哎I=0瓷=b+cuv2证明曲面yx+Jy+.z=a(a0)上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数令F（x,y，）=x+y+；z-a，则F=1,F=，Ff=K=x2xy2Jyz2zn法向量为n=解：设曲面上任一点为(，儿，0)，则E+瓦+逐川n切平面方程为-(x-xo)+=(y-yo)+=