人教版高中数学教案-微积分基本定理

1、則物體在時間間隔T,T內經過的路程可用速度函數表示為2v(t)dt。T11.6微積分基本定理一、教學目標知識與技能目標通過實例，直觀瞭解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分過程與方法通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法情感態度與價值觀通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關係，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。二、教學重難點重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關係，使學生直觀瞭解微積分基本定理的含義，並能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點瞭解微積分基本定理的含義三、教學過程1、複習：定積分的概念及用定義計算2、引入新課我們

2、講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較複雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯繫設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（v(t)o），T12S另一方面，這段路程還可以通過位置函數（t）在T,T上的增量S(T)S(T)來表達，1212即T2T1v(t)dt=S(T)S(T)12而S(t)v(t)。對於一般函數f(x)，設F(x)f(x)，是否也有bf(x)dxF(b)F(a)a若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數（即滿足F(x)f(x)）的數值差F(b)F(a)來

3、計算f(x)在a,b上的定積分的方法。注：1：定理如果函數F(x)是a,b上的連續函數f(x)的任意一個原函數，則-1-bf(x)dxF(b)F(a)a證明：因為(x)=xf(t)dt與F(x)都是f(x)的原函數，故aF(x)-(x)=C（axb）其中C為某一常數。令xa得F(a)-(a)=C，且(a)=af(t)dt=0a即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)(x)=F(x)-F(a)=xf(t)dta令xb，有bf(x)dxF(b)F(a)aa此處並不要求學生理解證明的過程為了方便起見，還常用F(x)|b表示F(b)F(a)，即abf(x)dxF(x)|bF(b)F(a)a該式稱

4、之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯繫的橋樑。它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯繫，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為後面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處於極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。例1計算下列定積分：（1）dx；（2）3(2x2111x1x2)dx。解：（1）因為(lnx)，1x所以x2121dxlnx|1ln2ln1ln2。（2）因為(x2)2x,()11xx2，所以(2x)dx32xdx3

5、1x1311x212dxx133練習：計算x2dx1122x2|3|3(91)(1)。11解：由於130 x3是x2的一個原函數，所以根據牛頓萊布尼茲公式有1x2dx=x3|1=1303=33330sinxdx,sinxdx,sinxdx。11110例2計算下列定積分：2200由計算結果你能發現什麼結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發現的結論。解：因為(cosx)sinx，所以-2-0sinxdx(cosx)|(cos2)(cos)2，2sinxdx(cosx)|(cos2)(cos0)0.20sinxdx(cosx)|(cos)(cos0)2，0220可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值

6、，還可能是0:(l）當對應的曲邊梯形位於x軸上方時（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等於曲邊梯形的面積；圖1.6一3(2）（2）當對應的曲邊梯形位於x軸下方時（圖1.6一4)，定積分的值取負值，且等於曲邊梯形的面積的相反數；(3）當位於x軸上方的曲邊梯形面積等於位於x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖1.6一5)，且等於位於x軸上方的曲邊梯形面積減去位於x軸下方的曲邊梯形面積例3汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8米/秒2刹車，問從開始刹車到停車，汽車走了多少距離？米/秒8.88米/秒,刹車後汽車減速行駛,其速度為v(t)=vat=8.88-

7、1.8t當汽3600時=解:首先要求出從刹車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度v=32公里/小03210000車停住時,速度v(t)=0,故從v(t)=8.88-1.8t=0解得t=於是在這段時間內,汽車所走過的距離是8.881.84.93秒sv(t)dt4.9304.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)24.93021.90米,即在刹車後,汽車需走過21.90米才能停住.微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯繫，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成-3-為一門影響深遠的學科，可以毫不誇張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果四、課堂小結本節課借助於變速運動物體的速度與路程的關係以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數的原函數，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多複習！五、教學後記從教以來，一直困惑於一個問題：課堂上如何突出重點並突破難點。當然，理論方面自己早已爛熟於心，關鍵是缺乏實踐方面的體驗及感悟。在今天的課堂上，當自己在生物化學班重點及難點均未解決，相反將更多時間糾纏在細節方面，而物理班級恰好