数学知识点整理

1、总绪（一）三种语言之间相互表达：中文含义表达，符号书面表达，图形直观表达。ACB例如：；在集合A里面而且在集合B里面而且在集合C外面； （二）在分类讨论时，对x分类讨论x2，不要忽略x=2,即分类要完整。（三）学习一个（概念、公式或定理）* 时，注意学习方法： 1引入*的原由，即背景是什么？ 2推导*的过程中有什么重要思想与方法技巧； 3*中各个字母符号的含义是什么？ 4*的结构特征是什么，有那些变形*，（*的正用，逆用和变用）； 5能否用图像来直观表示*； 6*有那些代表性的应用。（四）在解题时，要思考每一个条件的必要性，和每一个条件的充分性。知识点整理一、集合理解空集、子集、全集、补集、交

2、集、并集的中文含义，符号表达，图形表现。数形结合：1、数集用数轴来表示； 2、点集用直角坐标系来表示； 3、有限集用韦恩图来表示。求集合的子集时是否忘记.涉及子集概念时必须考虑空集；子集的其他表示形式： ，集合 A、B，时，是否注意到“极端”情况：或；最高次项前面的系数等于0。例如：对一切恒成立，求a的取植范围，讨论了a2的情况了吗？对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 集合运算中，有没有考虑端点取不取的到。分类中等号可不可以取不取到。ACBU . 图中各块区域的集合符号怎么表示二、简易逻辑1在集合与充要条件的关系中，是小范围推出大范围。2命题的否定

3、形式与命题的否命题之间的区别。.“P是q的充（要）条件”与“p的充（要）条件是q”之间的区别。.“p或q”“p且q”的否定，“至多”“至少”“都”的否定。“任意”和“存在”的否定。.反证法是先假设结论不成立。三、函数映射：单、满。（映射如射靶）函数：“函”封套，变化的意思定义域：已知函数式求定义域：，tanx 已知定义域求定义域：给出f(x)的定义域求f(g(x)的定义域。求解析式：值域单调性：定义判断函数单调区间，单调性知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数单调性应用：已知函数单调性注意：求单调区间时是否先确定了定义域的范围？化为同一函数的函数

4、值（指数，对数化为同底）奇偶性：定义判断奇偶性奇偶性应用若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数6。图像变换（1）平移变换f(x) （2）伸缩变换f(x) (3)对称变换f(x) 7。图像本身之间关系 f(x)=f(-x) 关于y轴对称 f(x)= -f(-x) 关于(0.0)点对称 f(a+x)=f(a-x)关于x=a对称 f(a+x)= -f(a-x)关于(a,0)点对称 f(a+x)=f(b-x)关于对称 f(a+x)= -f(b-x)关于对称f(x+a)=f(x) 周期为|a| f(x+a)=f(x+b) 周期为|a-b| 8。

5、二分法：，则必存在 方程f(x)=0的实数根，即y=f(x)与x轴交点的横坐标，即函数y=f(x)的零点 “实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9。函数模型的建立：（1）图形转化，（2）待定系数法四、指数函数、对数函数、幂函数 （一）指对数运算法则 1。 注：运算的一般规律，小数化分数，根式化指数，指数对数化同底特殊题例（二）会画下列函数的图像 注意：函数的定义域，值域，定点，单调性，奇偶性，正负范围。 指数函数的值域大于0，对数函数的定义域大于0是经常忽

6、略的地方1.解对数函数问题时，注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论.2.对数的换底公式及它的变形掌握了吗？（）五、数列（一） 等差数列 等比数列通项公式 求和公式 倒序相加法 错位相减法p+q=m+n 2p=m+n 思想（1）项数相同时，整体相加减 /乘除 （2）向中间项或首尾项转化注意：你是否已经确定一个数列是等差等比数列了，否则不能用等差等比的公式去计算。是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论（时，；时，）等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a.（二）通项公式的求解1已知前n

7、项，求通项公式。2已知数列是等差等比数列，找3已知递推关系公式求通项公式 （1）可以判断为等差等比数列： （2）类似与等差等比数列： （3）换元为等差等比数列 4已知注意用求数列的通项公式时，你注意到及了吗？（四）数列求和1等差，等比数列，用公式求和（注意q=1时）2拆项求和3错位相减 注：如何错位，为何错位；如何相减，为何相减。4.奇数项与偶数项分离。应用题：找规律，先求第1、2、3项，再从中找规律，得出第n项。六、三角变化与三角函数三角变换与三角函数（一）公式1。弧度与角度的转化（记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()）2。诱导公式，奇变偶不变，符号看象限3。同角关系4。两角关系5。

8、倍半角6。三角函数值 当P点为单位圆上点时，注意：在三角中，知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用（二）已知角求角 1。给出角或角终边上一点P(x,y),写出角的集合 2。给出角的集合，画出角 3。给出角终边范围，写出角的集合。例： 4。给出角的集合，画出角终边的范围（三）已知角求值，已知值求值1。看角的范围。影响角的正负；2。看角与角的联系（加一加，减一减，与特殊角的关系，2倍关系）； 3。看函数名的联系：切割化弦，诱导公式， 注意：合一变形：(其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用.4。看函数式的结构特征

9、：； （四）已知值求角 1。求出所给值的绝对值的对应锐角 2。看象限，转化为内角，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限 3。转化为R上的角注意：三角化简的通性通法（切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）（五）三角函数1。 图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、对称注意：在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半（如的周期都是, 但的周期为.） 2。y=sinx如何通过图像变换得到 3。已知的图像，求 4。综合例题：求的各种性质，图像，及如何由y=si

10、nx变化得到。（六）正弦，余弦定理 1。， 应用：边与角之间的转化，怎么判断三角形有一解还是两解（）七、向量基本概念：零向量、单位向量（如何求解）、平行（共线）向量注意：向量是可以平移的，向量通过向量平移后的向量仍为几何运算 （共线平行，三角形，平行四边形中找联系） 共面定理：，坐标运算。 （四）平行共线 1 2定比分点： 3（五）数量积： 求长度，求角度，判断垂直向量的数量积与长度夹角垂直（六）向量平移 （七）空间直角坐标系八、不等式不等式（一）不等式性质：可加性，可乘性（正负零）例：例：（二）基本不等式口诀：一正二定三相等例，（三）证明方法 1。比较法，综合法、分析法例：例：求证： 2。换

11、元法、反证法、放缩法（四）不等式解法：不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 1。高次不等式：（1）考察最高次项前系数（正，负，零） （2）标根（注意根的大小） （3）奇穿偶回 2。分式不等式：移项，通分，分式化整式（注意分母不为零） 3 解指对数不等式应该注意什么问题？（化成同底，再利用指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 4。绝对值不等式： （1）公式法： （2）分段讨论： 5。已知解集求不等式系数 （1）由解集范围确定最高次项前系数正负； （2）由解集端点的值确定不等式变为等式时的根。（五）*绝对值不等式证明（等号成立条件）1。注意不等号方向的一致性（

12、传递性）2。配数：分解因式，凑数，拆数（六）1、恒成立问题技巧：1变量分离。例： 2变量转化。例：2、有解问题3、无解问题：有解问题的反面。九、直线和圆（一）斜率与倾斜角 注意斜率不存在的情况（二）直线的点斜式 斜截式 ，截矩可正，可负，也可为0. 一般式 例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.直线在两坐标轴上的截距相等，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等（三） 注意：在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合直线的倾斜角、到的角、与的夹

13、角的取值范围依次是这类曲线过定点，你知道定点怎么求吗？f(x)=0且g(x)=0pAB|PA|+|PB|PA|-|PB|的最值（四）点点距 点线距 线线距（五）圆的标准方程 一般方程 参数方程（六）点、线，圆的位置关系 点圆 线圆 圆圆 注意：（1）处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.综合分析：与圆有关的问题肯定是研究半径r与到圆心距离d之间的关系（七）曲线与方程：一一对应，x,y的范围（八）1点关于点对称

14、 2点关于线对称 3线关于点对称 4线关于线对称 5曲线关于点对称 6曲线关于线对称（九）线性规划中最优解的判断与什么因素有关？（斜率）（十）线性规划中整数点怎么样寻找？(先确定x值，再考察y值范围)十一、圆锥曲线圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质圆锥曲线椭圆双曲线抛物线图像标准方程X,y范围对称性焦点、定点长轴短轴实轴虚轴通径离心率准线渐近线焦半径第一定义第二定义在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b，c）通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.二给出圆锥曲线方程如何处理1.化为标准方程形式

15、2.判断焦点在什么位置3.找到a.b.c或p4.与相应几何性质联系三、求圆锥曲线方程1、是否可设为标准方程2、如果可以，是设标准方程形式，还是设为统一形式（什么情况下可以把圆锥曲线方程设为）3、如果知道渐近线，如何设双曲线方程四、第一定义，第二定义的应用，联系中垂线、角平分线、三角形面积，正余弦定理，圆等图像性质已知的长度，试求出尽可能多的性质与结论五、最值问题：圆锥曲线上的点与焦点、定点、定直线、定圆的距离最值问题 直线与圆锥曲线的关系中，求曲线上的点到直线的最远（最近）距离。（找平行线间的距离）六、直线与圆锥曲线（在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零

16、？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.）（1）直线与圆锥曲线的 相交， 相切， 相离 联立方程： 0 =0 0（2）直线与圆锥曲线的交点个数问题 从图像上观察：相切，与渐近线平行，与对成轴平行 从方程上考虑：最高次项前系数，（3）弦长 ：过焦点的弦联系第二定义 一般直线：（4）弦的中点（中垂线）点差法（5）圆的直径=垂直=斜率互为负倒数=向量数量积为0=联立方程，韦达定理七、轨迹问题1、直接法：建系设点，列式，化简，检验2、定义法：与已知曲线的定义联系起来，设方程（包括中垂线、角平分线、直线、正余弦定理，圆等）3、转移代入法：设点，点与点坐标的关系，代入，化简

17、4、参数法：设点，坐标用参数表示，化简消去参数，检验十二、立体几何立体几何基本能力：看图与画图基本思想：类比思想、转化思想、展开思想一、定性问题：平行垂直线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直辅助平面两条相交两条相交垂直交线辅助平面当考虑直线与平面平行的同时，注意到直线包含于平面的情况没有？ 找多边形在某个面上的射影即找这个多边形各顶点在平面上的射影。二、定量问题角： 传统方法 向量方法*线线角（异面直线所成角） 平移，相交所成锐角 线面角 找垂线找射影 面面角 三垂线法：找垂足，再作棱的垂线 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是.a*距离A线线距dBbA点面

18、距（体积法）dB三*、空间向量的应用：(1)用设基底去算，求长度，求夹角 （2）用设空间直角坐标系去算建系怎么建，对于不同的图形怎么去建立最好的坐标系 设点怎么设，直线上的点怎么设，平面内的点怎么设 法向量怎么求，能直接找到吗? 公式怎么用四、棱柱两个反例：推书模型；底面为菱形的直棱柱两个特例：爪子定理*；一个侧面与底面垂直五、棱锥，正棱锥一个反例：侧面都是全等三角形的非正棱锥一个特例：顶点在底面上的射影是底面三角形的内心，外心，垂心六、球：球的本身知识(1)垂面定理 （2）*纬度与经度差的平面角表示。 （3）*球面距的求解：球面距等于球心角弧度数乘上球半径。球与正方体，长方体，正四面体，两两

19、垂直三直线的内切与外接问题。（正四面体的边长如何与其外接球的半径联系起来？（正方形过渡）十三、排列组合*基本思想：分类讨论，真难则反分清四个方面的因素：（1）是分步计数还是分类计数 （2）是有序的还是无序的 （3）以什么元素为分步标准 （4）元素是否区别，元素是否重复判断一个排列组合题目的类型1.既不是排列也不是组合：列举法：贺卡问题2.排列问题（1）排队问题：特殊元素特殊位置优先考虑；相邻问题捆绑法先捆再排；不相邻问题插空法先排再插；定序问题除序法，相间问题例举法。 （2）排数字：首位不能为零；整除性问题；比大小的问题 （3）染色问题3组合问题（1）元素为不相交集合的分类讨论 （2）元素为相

20、交集合的分类讨论 （3）几何型问题排除法 （4）分配问题先分堆再分配4.排列组合混合型：先组合（选）再分配注意：解排列组合问题的规律是：（1）先选后排（2）特殊位置，特殊元素优先考虑（3）相邻问题捆绑法（先绑后排）；（4）不邻问题插空法（先排后插）；（5）至多至少问题反面考虑，（6）多元问题分类讨论；十四、二项式定理*二项式定理排列数、组合数公式 注意：什么时候用阶乘式方便。什么时候用展开式方便二项式定理 注意公式的正用，逆用，变用二项式通项公式注意：二项展开式中，第r+1项的二项式系数为注意系数与二项式系数的区别，注意填空题时，最后要你求的是项还是第几项还是项的系数，还是项的二项式系数？注意用通项式求解特定项、常数项、有理项，二项式系数与系数最大的项，最大最小项赋值法求二项式系数之和，奇数项二项式系数之和，偶项式二项式系数之和求系数之和:赋以x=1,x=-1拓展，处理抽象函数的问题十五、概率一、