数学化归方法及其应用毕业论文

1、 目录 TOC o 1-5 h z 摘要 1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 引言 2一、对化归思想的理解 2（一）化归的定义 2（二）化归的实质 2（三）化归的原则 3（四）化归的步骤 3（五）化归图释 3（六）化归的分类 3 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 二、常用化归方法及其应用 4（一）命题化归 4（二）映射化归 10（三）变量替换 17三、化归方法的实际应用 21 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 结束语 24参考文献 25数学化归方法

2、及其应用摘要：数学思想和方法是数学活的灵魂，化归思想是其中重要的一种。在解决数学问题的 过程中，我们往往把待解决的问题进行转化，将复杂的问题转化为简单的问题，将困难的问题 转化为容易的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题等等。这种数学问题之间的相互转化 就称为数学化归。数学化归在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位，是 解决数学问题的一个强有力的武器。本文将介绍化归的定义、原理、主要方法及其实际应用， 通过具体的例子和实例，使读者了解并逐步掌握化归的方法和技巧，使其应用于日常的学习和 生活。关键词：化归 典型化 特殊化 辅助命题 映射 变量替换Mathematics of R

3、eturn Method and its Application(Department of Mathsmatics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: Mathematic ideas and methods is the soul of mathematics, and the return method is an important one. In the process of solving the mathematical problems, we tend to solve the problem of

4、 conversion of the complex issue into a simple issue, the difficult issue into an easy issue, the unsolved issue into a resolved issue, and so on. This conversion between the mathematical problems is called the mathematics of return method. Mathematics of return method plays an important role in the

5、 theoretical study of mathematics and the process of the settlement of mathematical problems. It is a powerful weapon of the mathematical problems. This article describes the definition, principles, main methods and practical application of the return method. By the adoption of concrete examples and

6、 cases, the readers can understand and master the progressive return methods and techniques to apply to everyday learning and life.Key words: return methods typification specialization the supplementary questions mapping variable substitution引言辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是 在不断地发展变化着。因此，作为一个数学系统或数学结构

7、，其组成要 素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质， 产生了数学化归。数学化归在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要 的地位。例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归） ，使得 不同的数学对象化归在同一个数学系统中进行研究， 从而导致新的数学 理论的产生，因此推动了数学的发展。另一方面，化归又为解决数学问 题提供了一个有力的武器。“问题是数学的心脏” ，而几乎所有的数学问题的解决都离不开化 归，只是所体现的化归形式不同而已。计算题是利用规定的法则进行化 归；证明题是利用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用题是利 用数学模型进行化归。 可以说，离开化归，

8、 数学问题的解决将寸步难行。因此，我们必须了解并掌握数学化归的方法和技巧，使其熟练地应 用于学习和生活当中。一、 对化归思想的理解（一）化归的定义 化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问题，通过 观察、 分析、联想、类比的思维过程， 选择恰当的方法进行变换、 转化， 归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题。二）化归的实质在解决数学问题的过程中，往往把待解决的问题转化，将复杂的问 题转化为简单的问题，将困难的问题转化为容易的问题，将未解决的问 题转化为已解决的问题等等。（三）化归的原则将不熟悉的问题转化为熟知的或已解决的问题； 将抽象的问题转化 为具体的直观的问题；将复杂的问题

9、转化为简单的问题；将实际的问题 转化为数学问题，使问题便于求解。（四）化归的步骤其一，化归对象，即对什么进行化归；其二，化归目标，即化成什么；其三，化归手段方法，即如何化归。（五）化归图释欲讨论问题A，可转化为讨论问题B，然后利用问题B的解答去完 成问题A的解答。化归的一般模式为：（六）化归的分类化归可分为等价化归和半等价化归，其中半等价化归可分为强等 价化归和弱等价化归。等价化归就是指同一等价类中的元素相互转化， 化归前后的问题在 所定义的等价关系下保持某一方面的“同质”，这种同质就使化归后问 题的解答保证了化归前问题的解答。 在同一等价类中的元素可以相互转 化，其转化前后的问题保持在等价关

10、系下的同质，转化后命题属于该等 价类。在同一类等价集中的问题也可以相互转化， 但其转化前后的问题不 保持在半等价关系中的同质，近似的转化命题属于化归后问题所在的半 等价集。尽管半等价化归不一定能彻底解决原问题，但由于它的条件弱 于等价化归，因此应用范围宽于等价化归。二、 常用化归方法及其应用（一）命题化归命题的典型化化归就是指把所解命题化归为个别典型命题。设所给命题为A，A的典型命题B是指：A可推导出B并且B也可推 导出A，且利用B能容易处理A。命题的典型化化归在数学解题中随处可见。我们常常在解题时用“不妨设,”，“不失一般性”，“任取一个满足题设的图形,”等等 语言，其实质就是将命题作典型化

11、化归。因为命题的典型化化归是等价 化归，所以典型命题解决后，原命题也已解决。例1 .三次方程ax3 bx2 ex d = 0 a = 0的求根问题，可等价化归为讨论方程x3 bx2 ex d =0。令x = y -（此代换为等价变换），代入3x3 bx2 ex d =0 , 化简后便是 y3 py q = 0 , 其中 p = 7 -2 b , q = 2 a3 - 1 ab e ,此方程于原方程等价，因此x3 px 03273即为原方程的典型命题。一旦后者解决了，原方程的解也就求得了。而 x3 px0的求根是容易的。例2 .在三角形ABC中，AB)AC, AD为中线，fyAE 为高。求证：

12、AB2 AC2 =2BC DE 。证明：如图，建立直角坐标系，设 A,B,D的坐标分别为a,h, -b,0, 0,0,则 C,E 的坐标为(b,0)(a,0 )。Bo(D) E C x二 AB2 =(a+b2 +h2,AC2 =(abf + h2,BC=2b, DE = a.二 AB2 - AC2 二 a b 2 - a - b 2 =4ab.而 BC DE = 2ab,/. AB2 - AC2 =2BC DE。分析：本题如果以BC,AE所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐 标系，那么，设点的坐标就比较麻烦。之所以要选取一种典型情况建立 坐标系，是因为同一个图形在不同坐标系李实质是在一个坐标系

13、中该图 的位置不同，经过合同变换（合同变换时等价变换）后，可化归为解该 题所建立的坐标系中的图形所在位置。这种特殊位置即为典型化，从而 使原问题得以解决。命题的特殊化化归命题的典型化化归与特殊化化归的区别在于：典型化化归中， 化归前后的命题属于同一等价类，而特殊化化归中的化归前后命题属于同一个半等价集。例3 .从圆的直径AB的一端A引两弦AP,AQ,过B点引该圆的切线与AP,AQ,的延长线交于f/ M , N 点.求证：NMPN =NMQN.证明 1：如图（右），连结 PQ,PB , ABN是。O 的切线，二 ABM =90，二 PMB 二 PBA 二 PQA ,二 P,M,N,Q 四点共圆，

14、二.MPN =/MQN。证明2：如图（右），连结BP,BQAB 是OO 的直径，二.APB =90 ,MN 切O O于 B，二.ABM =90 ,Rt：ABM 斜边上的高是 BP,AB2 =AP AM， 同理 AQ AN .P,M ,N,Q 四点共圆，二.MPNA=AB=，二 AP AM = AQ AN ,-ZMQN 。分析：证明1是错误的。因为由题设P,Q可位于AB的同侧或异侧,证明1考虑的是异侧情况，而证明过程不完全适用于P,Q位于AB同侧的 情形，因此所证明的命题不是原命题的等价命题。证明2是正确的。因为在证明的全过程中，其理由完全适合上图的两种情形，所以所证得命 题与原命题等价。例4.

15、如果aid an是小于1的正数，而bH, b是这些数的某一种排列。那么，所有的数1-印bi, 1-a? b2,1-a. b不可能都大于丄。4分析：取n =1的情况，此时必有a = b1。二1 -a1 a - - - a-i -12丿 4 4当n = 2时可排序使1 p aj 1 - a2 a2 丄1 = 1 ，二不可能有两个因子都4 4大于1。41 -厲 a 1 -a? a?1 _an bn f1 - a1 a11 - a2 a2对一般的，将b1,b2bn作调整，可使.不可能n个因子都大于丄。4构造辅助命题化归在很多情形中，往往需要构造一下辅助命题去帮助解决原命题,F面是一些构造辅助命题的常用

16、方法。（1）构造等价辅助命题 例5.已知x1。求证：2 x3-。x证明：构造函数f X =2.x 一3 1。则f x 0与原不等式等价。x当 x1 时，f 上=1 一丄=X、0。 f X。而f 1 =2.1 3 1 = 0，所以f x 0。故原不等式成立。（2）构造一般化辅助命题 1984 1984例 6.试证：（1+0985）-（1-J1985）能被 J1985 整除。证明：构造函数 f x = 1 x 1984 - 1 -x 1984。T f -X - -f X , f X为奇函数。而丄冬只含X的偶次项，X1. 1985 1984 - 11985 1984故命题成立必为整数。（3）构造辅助

17、方程例7.已知|g2_4lg2lg=0。求证：a,b,c三数等比数列 3丿 ib丿lc丿 TOC o 1-5 h z 证明：构造方程iga X2ig X+|gb。，l b丿 i a丿c因其系数和Ig 1 + ig 1 + ig 1=0 ,故1有根x = 1。lb丿 ia丿ic丿又由已知条件，知1两根相等,I bigba7 即 igig旦,.acbigba,b,c成等比数列构造辅助数列n例 8.求和 Sn=Mk k 1 k i k m m N。x-1x 解：设 ak = k k 1 k ik m 。构造辅助数列bk =k k 1 k 2 ik mk m1 ,= k1i.k mk m1 km 2

18、km2 bk.k=k m 2 bk ,kbk 1 - kbk = m 2 bk。bk ,k则bk 1所以kbk 1两边求和即 bn 1 - binn二 i.bk 1 - bk = m 2 二 k 4k 4=m 2 Sn - a1 an 1 ,故 Sn =m +2而 bn 1 二 n m 2 an 小二 m 2 印,.1n +m +1Snnan 1an om+2m+2(5)构造行列式a1 - an 1 o例9.已知a,b,c不全为零,且 a = bcosC ccosB,b = ccosA acosC,c = a cos B b cos A。求证:2 2 2cos A cos B cos C 2c

19、os AcosB cosC =1 。证明：要证cos2 A cos2 B cos2 C 2cosacosbcosC = 1 ,只需证cosC-1cosC-1cos B cos AcosBcosA = 0-1只需证由已知条件,-a bcosC ccosB 二 0 acosC -b ccosA =0 有非零解。a cos B b cos A - c = 0知上面齐次线性方程组有非零解a,b,c o故命题得证。规律:具有f x =axnn -1a1x anJxan形式的多项式可表示成一个行列式:Dn 1an 4an0-100-1 利用这个代换，可以解决一些多项式问题，比如多项式的因式分解解方等等。定

20、理：方程fl(x)f2(x)的所有解都是方程fi(x)f2(x)gi(x)g2(x)gi(x)g2(x)=0的解由定理可知 凹二卫二fl(X)以“二。的化归是半等价化归，gi(x) g2(x)g(x) g2(x)行列式方程的根必须代人原方程验根。(6)微分中值定理应用中辅助函数的构造在应用中值定理证题时，有时需要构造一个满足罗尔定理条件 的辅助函数。在证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理时，分别利用了一下两个辅助函数：F x 二 f x f a 上 H xa ,g(b)-g(a )F f x - f a 一斗 dg x g a 】,，g(b)-g(a)然后利用罗尔定理去证明。由于微分和积分是互逆

21、的运算，因此可以从两个中值定理的结 论入手，通过积分去寻找辅助函数。事实上，由拉格朗日中值定理的结 论：f b 二 a , a,b ,b a两边取不定积分fd丄f b f a d ,b -a得 f =4! c.b a将换成x，得f x二丄卫 8x c,b a两边作差就是证明拉格朗日中值定理所需的辅助函数。同样，对柯西中值定理两边积分，得f 二 f b f a g d，即、g（b）g（a），f J b r A g .c，从而得。g（b）-g（a）这样，就得到了解决这类问题时构造辅助函数的一般方法，即从待证明 的问题结论出发，通过积分区寻求辅助函数。例10.设f x在0,1上可导，且f 0 =0,

22、 f 1=；。试证：必存在二10,1，使 二 2（1 + 2）2。1 _匕2分析：由f = 2，将换为X后取不定积分，得（1+呼）1 2f x dx 二 一 dx ，解得 f x 纭 +C。 （1+x2）1+x所以得辅助函数F x二f x -亠。1+x证明：构造辅助函数F x二f x, 易验证F x满足罗尔定理条件,因此存在-0,1，使F=0，1 _ E2 即得f。（二）映射化归 1.恒等变换在集合A中定义一个变换 ：aA ,即J把每个A中的元素与自身对应起来，称为集合A上的恒等变换。因此，集合 A中 的恒等变换，是A到A的等价化归。下面是常用的恒等变换方法。（1）配方法配方法是数学中一种重要

23、的恒等变形方法， 在因式分解、根式化简、 解方程、证明等式及不等式、求函数的极值、化简二元二次方程等方面 者E有广泛的应用。由于配方是在定义域不变的情况下进行的，因此是等 价化归。例 11 .已知 x y z = 3, xy 5z = 1。求 x2 y2 z2 的最小值。解：由 x y z = 3,x 一 y 5z =1，得 x = 2 一3z,y = 1 2z 222 2 2 2xyz= 2 - 3z 亠1 2z 亠 zf 2 J4z 时5=1平-刁o6 一 73-时,八1；,1； , x2 y2 z2取得最小值3；“ 1”的巧用1”在数系中占有重要地位，作为数域里面的元素，它是单位元因此产

24、生了许多关于“ 1”的恒等式，如：仁a“aa = O ,a1 =sin2 a - cos2 a,1 二 tan , tan a cot a = 1, log a a = 1 a 0,a = 1 , 等等。因此在解题 4时，有时利用这些恒等式，往往事半功倍。dx例 12 .解 kT。A八=4一1 ，1bAB BDsinS Bcd _ 22S1s bcd ad BDsin：2AB又T AB BC /. 0 AB1。BC.仁俎 CD CD。故 adcd。BC AD AD-1 _ S ABDS ABD1BD CD sin 180 -:BBC BD sin2ABBCCDAD公式巧用公式的逆用、变形时恒等

25、变换的一个重要技巧。例如：等比数列的求和公式，逆用便成了因式分解公式;二项式定理逆用便是一类特殊数列的求和公式;隶莫佛公式Cos： isi门 訂 二cosisinn经变形Z“ 二 cosn v i sin n-= cosn v - i sin nr ,可得Z z ，sinn =2 z z2in 1Zz丿从而使复数运算成为解决三角式化简、求值的有力工具。1X8 1-X81 -X2例 14.因式分解 x14 x12 一 x2 1 x2 = 1。解:x14 - X12X2 1 二 11 -xx81 xx2 -m x2。1X总结：本题的解答，巧用了等比数列的求和公式:恒等分割nA = A型，其框图为:

26、i 4例15.求一dx(x-Ux1)解:2x 2j , 22 dx (x 1 x2 +1 2=ln x -1 - ln(x2 +1 )arctan2dxx -1x2 1, 2xdxdx2(x2 +1)x J C。 x212点数映射化归我们把平面上的点集到实数集a,b ?的化归，称为点数映射化。归。因此，可以建立平面上的点集到实数偶集的映射。实数偶集a,b 到平面直角坐标系中的点集的化归是等价化归；平面直角坐标系中的点集到实数偶集a,b泊勺化归也是等价化归。因此，我们可以使几何问题与代 数问题互相化归。这种化归，往往可以使欲解决的问题简单化。(1)几何问题代数化例16.已知M,N分别是正方形AB

27、CD的邻边AD和CD的中点，连结CM , BN相交于点P。求证：PA = AB证明：如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则正方形四个顶点的坐标分别为A0,0,B1,0,C 1,1 ,D 0,1 ,点M ,N的坐标分别为所以，直线CM的方程为y=1x 1，直线BN的方程为y=2x1 ,将两方程联立求得噹勺PA916=1X 2525AB = PA。映射由此，可归纳出几何问题代数化的图释:点C ,使.ACB取得最大值，并求出该最大值。解：如图，过AB的中点R作直线RD / x轴，以A为圆心，OR 为半径作弧交直线RD于D，再以D为圆心，DA为半径作圆/ RD / x车由， 二D至U x车由的距

28、离为OR二DA 二圆D过点代B且与x轴相切。设切点为C ,则点C即为所求。因为若设点C /为x轴正半轴上异于点C的任一点，则C /必在圆D夕卜, 由平面几何知识易知，.AC B . ACB。现设OA =a,OB| =坑043 ），则由上述作法可知:AD=OR =a minARa -b2amaxoo 二 2。a max这种方法的模式为：几何表示实复数映射化归实际上，三者可以相互化归。例18.求讥3 -x y +i + Jx2 +4的最小值。解：设乙=3 - x i, z x 2i。z+|z2 乙 +z2 =|（3 x ）+i+x+2i = 3 + 3 =3（2。而在 乙+ z2|X乙+z2中，当

29、且仅当 乙=kz2（k乏R）时取等号，即 3 - x i = k x 2i 。解得：k = 1, x = 2。2.当x = 2时，.3 - x2 14的最小值为3 2向量化归复数集到以原点为起点的向量集的化归是等价化归，反之亦然。 复数集到向量集的化归是等价化归，反之亦然。因此，平面点集、实数 偶集、复数集、向量集之间可以互作等价化归。例19.如图，设AC是平行四边形ABCD的较长的对角线，CE _ AB于E , CF _ AD 于 F。求证：AB AE AD AF = AC 2。证明：取AB, AC,AD,CE,CF为基本向量,贝卩 AE 二 AC CE,AF 二 AC CF.AC AB A

30、D 二 AC 彳,即 AB AC AD AC 二 ACFCDBr - 2 二 AB AC AB CE AD AC AD CF = AC。得 AB AC CE AD AC CF AC?, 即 AB AE AD AF 二 AC?。由此得： AB AE AD AF =AC2。反函数化归设函数f ：A，B是双射，若f的逆映射L存在，则 L也是 双射，则称f4为f的反函数。所以，函数f的反函数L存在当且仅当f 是双射。若函数f存在反函数f ，则从f的定义域A到值域B的化归是 等价化归，从值域B到定义域A的化归也是等价化归。例20.设a,b,c是不等于1的正数。证明：.b. c.alglglgcaba b

31、 ci。分析：因为对数函数与指数函数互为反函数，而一个函数如果存在反函数，则是唯一的，即是惟一的，即函数与其反函数是一一对应的, 因此可以在两者之间互相化归，且这种化归是等价化归。b2.丿bcalglglg.令 x=a c,y = b a,z = c ,贝 U lg x = lglg y = lg c - lg a llg b , lg z - Ug a - lg b llg c。三式相加,得 lg x lg y lg z = 0 , 即 lg xyz = 0 ,二 xyz = 1 ,alg. c b =1。clglg即 a c b a此外，在处理反三角函数问题时，往往采用反函数化归，化问题为

32、三角函数讨论。但解反三角函数问题必须注意反函数的主值区 间，否则函数不可逆，此时的化归是半等价而不是等价的。（三）变量替换所谓变量替换，是指把一个数学式子中的某一些量以另一些与 此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较为简单或易于解决的化归 过程，其实质是数集到数集的映射化归。变量替换是数学解题的一种重要化归方法。在讨论几种常用的变量替换之前，首先了解一下变量替换的分类。一种分类，根据替换的变元的个数，变量替换可分为一元和多 元变量替换。 另一种，若是“以元代式”的替换则叫做第一类变量替 换，若是“以式代元”的替换则叫做第二类变量替换。由此，可以得出变量替换的化归原理：,.g(x)=ty二 f

33、lgxJ*#y二 ft这是一个互逆化归过程。通过变换t = g x ,可以把y = f x】化 归为y二f t，这是第一类变量替换；反之，通过t二g x，把y二f t化为 y = f g x 1,这是第二类变量替换。下面讨论几种常用的变量替换。整式变换在 八f g x g x =t 卜y = f t中，若g x为整式，则称该变换 为整式变换。例：在有理数范围内因式分解 x2 5x 6 x2 7x 6 -3x2。设y = x2 6x 6，则原式=yx y x j3x2 二 y24x2 二 y2x y 2x = x2 4x 6 x2 8x 6。由上题可以看出，变量替换关键在于通过观察式子的规律设出

34、g x，使计算和证明过程加以简化。分式变换在解方程、证明不等式、求函数值域、解不等式、证明恒等式等化 归中往往采用分式作变换替换，这种分式的变量替换包括第一类变量替 换和第二类变量替换。以解方程为例，在实数范围内求方程 3x4 -7x3 8x2 -7x 0的解。采用倒数方法，方程两边同除以x2，得f1、 f 1 13 x2 = 7 x+_ | + 8 =0。 令 y=x+_ ， 得 3y2_7y + 2=0 。 当Ix丿 i x丿xy -：,-21，3y2 -7y 2=0 与原方程同解，解得 y 2，y-（舍3去）。所以x - = 2，即x=1。故原方程的根为x = 1。x无理变换无理变换在解

35、无理方程时经常使用。下面是适用于无理变换的无理 方程的形式及变换方法。（1）F=AnfxLB2nfx C=0，设 y = gx = 2n f x 。 F = An f (x )十 Bn+ c = 0，设 y = g(x )= ；： f (x )。 f(x)F=nfxA2nnfxB2mC=0，设 y = nfx例 21 .解方程 65 x 2 - 43. 65 - x 2 = 53 652 - x2 。解：根据分式变换，方程两边同除以3 65 x 2 ,得旦1(65 -x 丿5岳设心65 x ,65-x解得 y7 八4，即 x=o,x=63。经验根，x =0,x =63均为原方程的根。形如fx,nb ex + d，通常作代换g；：.；(a,c不同时为0)三角变换下列形式，通常采用三角变换求解。(1) f x, a2 -x2 a 0，其中f是x和、a2 - x2的代数函数。令 x = asin t = g(t j a ：0,一 兰t 兰 一 |或令 x