函数及其表示函数与导数

1、函数及其表示函数与导数第1页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 1.函数的基本概念 (1)函数定义 设集合A是一个非空的 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B中都有 的数f(x)和它对应,那么就称f : AB为从集合A到集合B的一个函数，记作 .数集 唯一确定 y=f(x),xA 第2页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 .显然,值域是

2、集合B的子集. (3)函数的三要素: 、 和 . (4)相等函数:如果两个函数的 相同，并且 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有: 、 和 .定义域 值域 定义域 值域 对应法则 定义域 对应关系 解析法 图象法 列表法 第3页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一 3.映射的概念 设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:AB是集合A到集合B的一个 . 4.由映射的定义可以看出,映射是 概念的推广, 函数是一种特殊的映

3、射,要注意构成函数的两个集合A,B必须是 .非空数集 返回目录 映射 函数 第4页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 考点一 函数的概念 下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么?(1) f(x)=lgx, g(x)= lgx2;(2) f(x)=x, g(x)= ;(3) f(x)= , g(x)=logaax;(4) f(x)=lgx-2, g(x)=lg . 【分析】 判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.第5页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返

4、回目录 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+),g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (2)函数f(x)的值域为(-,+),g(x)的值域为0,+),值域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (3)因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xR),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (4)因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg =lgx-2(x0),所以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同 , 故它们是同一函数.第6页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一 【评析】 (1) 只有当两

5、个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: 定义域不同,两个函数也就不同. 对应法则不同,两个函数也是不同的. 即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也不一定是同一函数 , 因为函数 的定义域和值域 不能唯一地确定函数的对应法则. (2)函数的对应法则可以化简,例如题型一 (3) (4) 中的函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)= ,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定, 所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素.返回目录 第7页，共30页，2022年，5月20

6、日，9点26分，星期一返回目录 对应演练判断下列各组函数是否为同一函数.(1) f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2) f(x)= , g(x)=x+1;(3) x+1 (-1x0) x-1 (0 x1),g(x)=f-1(x).(4) f(x)=第8页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 (1)两函数的定义域 、值域 、对应法则均相同 ，所以它们是同一函数. (2)y= =x+1,但x1,而y=x+1中xR , 所以它们不是同一函数. (3)函数f(x)= 的定义域为x|x0 ; 而函数g(x)= 的定义域为x|x-1或x0 , 它们的定义域不同

7、,所以不是同一函数. x-1,(0 x1) x+1,(-1x0 1,x=0 - ,x0,x=0,x0段上的图象,如图所示,作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)=- =1,ff(-1)=f(1)=1.第24页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 对应演练如图，OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0t2)截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1) 求函数y=f(t)的解析式， 并指明它的定义域;(2) 求函数y=f(t)的值域.第25页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 （1）当0t1时，所截图形是一个直角三角

8、形，其面积f(t)= t2tan60= t2; 当1t2时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即 f(t)= 2 - (2-t)(2-t)tan60 = - (2-t)2; 当t=2时，所截图形即OAB，f(t)= . t2，0t1. - （2-t）2,1t2. 此函数的定义域为(0,2. 综上,f(t)= 第26页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回目录 （2）当0t1时，0 t2 ;当1t2时， - (2-t)2 . 故函数f(t)的值域为(0, .第27页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一返回

9、目录 正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 .函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于:(1)它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元素只有一个函数值；（3）定义域中的每个元素一定有函数值.确定一个函数需要三个要素:定义域；对应法则 ； 值域.对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示 ，如列表法和图象法表示的函数.对于 f(x)，可以理解为根据对应法则f，自变量x对应的第28页，共30页，2022年，5月20日，9点26分，星期一函数值；也可以理解为根据对应法则 f 产生的函数f(x).表示函数时，前面一般加“函数”二字 .列表法、图象法和解析法是函数最常用的三种表 示方法， 函数的图 象是直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具，注意灵活使用 . (4) 对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体.对于分段函数，必须分段处理，最后